調(diào)洪演算解析解法

陳起紅

(余姚市江河水利建筑設(shè)計(jì)有限公司，浙江 余姚 315400)

1 問(wèn)題的提出

調(diào)洪演算在水利計(jì)算中廣泛應(yīng)用，由于水位、下泄流量、蓄水量三者之間存在非線性關(guān)系，不能直接求解，故一般用圖解法、試算法等，隨著計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，數(shù)值計(jì)算也較方便。但采用解析解法，用一般函數(shù)直接計(jì)算更方便。調(diào)洪演算是一階常微分方程，如中間變量用水位或下泄流量，除了假定與成線性關(guān)系可以求解外，一般沒(méi)有解析解。本文采用蓄水量為中間變量，通過(guò)假定是的一元兩次方程關(guān)系，可以得出函數(shù)解?？稍谒畮?kù)調(diào)洪演算或洪水預(yù)報(bào)中應(yīng)用。

2 調(diào)洪演算解析解法

調(diào)洪演算計(jì)算方程如下:

式中:I為時(shí)段入庫(kù)流量(m3/s);q為下泄流量(m3/s);w為蓄水量(m3);t為時(shí)間(s)，若假設(shè):

式中:a，b，c為系數(shù)。

把式(2)代入式(1)得:

式中:w0為初始值，m3;t為計(jì)算時(shí)段長(zhǎng)，s。

計(jì)算出w后，可由式(2)求得q，再推出庫(kù)水位。

若t時(shí)段內(nèi)q不連續(xù)，先算出至蓄水量w1的時(shí)間，可分為t=t1+t2，先算出至w1的時(shí)間。

再由初始值w1及t2算出時(shí)段末的W。

為建立q與w的一元二次方程，可用最小二乘法進(jìn)行數(shù)值擬合。

令:M=∑［q-(aw2+bw+c)］2

根據(jù)以下方程式求出a，b，c:

式中n為個(gè)數(shù)。

若下泄流量隨水位有不同的運(yùn)行方式或者為提高計(jì)算精度，可分段擬合。

3 算例

某水庫(kù)堰頂高程59.98m，堰寬B=70m，M=1.77。不同水位的水庫(kù)庫(kù)容曲線及下泄流量見(jiàn)表1。

表1 不同水位蓄水量和下泄流量表

分2種方案，方案1采用庫(kù)水位59.98～63.50m整段擬合，方案2采用59.98～61.50m和61.5～63.50m兩段擬合。各個(gè)方案計(jì)算成果見(jiàn)表2。

調(diào)洪計(jì)算成果見(jiàn)表3。

表2 各方案系數(shù)表

表3 各方案調(diào)洪演算成果表

從以上分析看，采用解析解法與數(shù)值計(jì)算的成果比較接近。

4 結(jié)語(yǔ)

調(diào)洪演算為一階常微分方程，通過(guò)采用中間變量 (蓄水量)，假設(shè)與非線性關(guān)系為一元二次方程，實(shí)際是求解黎卡提 (Riccati)方程，若時(shí)段內(nèi)入庫(kù)流量為常量時(shí)，有函數(shù)解，可直接求出計(jì)算結(jié)果。此計(jì)算方法可在水庫(kù)調(diào)洪演算和洪水預(yù)報(bào)中應(yīng)用。

［1］吳王城.工程水文學(xué)［M］.北京:水利電力出版社，1985.

［2］周義侖，靳禎，秦軍林.常微分方程及其應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2013.

［3］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué) ［M］.北京:高等教育出版社，1989.