解決帶電粒子在有界磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的圓心的三種途徑

楊軍 白瓊燕

摘 ? ?要： 帶電粒子在有界磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的問題綜合性較強(qiáng)，是高中物理教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)。解決這類問題既要用到物理學(xué)中的洛侖茲力、圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，又要用到數(shù)學(xué)中的平面幾何的相關(guān)知識(shí)。其中解決問題的關(guān)鍵是確定圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，只有找到圓心的位置，才能正確做出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用物理規(guī)律和數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題。本文給出三種找圓心的常用途徑。

關(guān)鍵詞： 帶電粒子 ? ?有界磁場(chǎng) ? ?圓心

途徑一：兩個(gè)方向定圓心

理解：這里的兩個(gè)方向指粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的任意兩點(diǎn)（一般為入射點(diǎn)和出射點(diǎn)）的速度方向，由于向心力的方向與線速度方向始終互相垂直，洛倫茲力（即向心力）沿半徑指向圓心，知道兩個(gè)點(diǎn)的速度方向，畫出粒子軌跡上兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的洛倫茲力，其交點(diǎn)即為圓心。

如圖甲所示：P為入射點(diǎn)及其速度方向，M為出射點(diǎn)及其速度方向;可通過入射點(diǎn)和出射點(diǎn)分別作出垂直于入射方向和出射方向的直線（如圖乙），兩條直線的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心。

甲 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 乙

例1.如圖1所示，一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為q的帶電粒子從x軸上的P（，0）點(diǎn)以速度v，沿與x正方向成60°的方向射入第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，并恰好垂直于y軸射出第一象限。求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和射出點(diǎn)的坐標(biāo)。

解析：分別由射入、射出點(diǎn)做兩條與速度垂直的線段，其交點(diǎn)O即為粒子做圓運(yùn)動(dòng)的圓心，由圖可以看出，軌道半徑為

r=■=■ ? ?①

洛侖茲力提供向心力qBv=■ ? ?②

由①②解得r=■，B=■

射出點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（r+rsin30°）=1.5r，因此射出點(diǎn)坐標(biāo)為（0，■a）。

途徑二：一個(gè)方向一條弦定圓心

理解：這里的一個(gè)方向指粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)任意一點(diǎn)及其速度方向及軌跡上的另一點(diǎn);可以連接這兩個(gè)點(diǎn)得到一條弦，分別作出弦的垂直平分線和已知速度方向的洛倫茲力的作用線，則兩條線的交點(diǎn)即為圓心。

如圖（a）（b）所示，A點(diǎn)為粒子的入射點(diǎn)及其速度方向，b點(diǎn)為出射點(diǎn)，只要連接A、B并作出其垂直平分線和過A點(diǎn)的洛倫茲力作用線，兩條線的交點(diǎn)即為圓心。如圖（C）（D）

（a） ? ? ? ? ? ? ? ? （b） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （c） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（d）

例2.如圖所示，矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的長(zhǎng)為L(zhǎng)，寬為■。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，質(zhì)量為m，電荷量為e的電子沿著矩形磁場(chǎng)的上方邊界射入磁場(chǎng)，欲使該電子由下方邊界穿出磁場(chǎng)，求：電子速率v的取值范圍。

解析：帶電粒子射入磁場(chǎng)后，由于速率大小的變化，導(dǎo)致粒子軌跡半徑的改變，如圖所示。

當(dāng)速率最小時(shí)，粒子恰好從d點(diǎn)射出，由圖可知其半徑R■=■，再由R■=■得v■=■

當(dāng)速率最大時(shí)，粒子恰好從c點(diǎn)射出，連接ac并作出垂直平分線，與入射方向的洛倫茲力的作用線相交于O點(diǎn)。

由圖可知其半徑R■滿足R■■=L■+（R■-■）■，即R■=■，

再由R■=■得v■=■

電子速率v的取值范圍為：■≤v≤■

途徑三：一個(gè)方向一個(gè)角定圓心

理解：這里的一個(gè)方向指粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)入射點(diǎn)及其方向，而一個(gè)角指粒子通過磁場(chǎng)區(qū)后速度的偏向角（入射方向與出射方向的夾角），只要作出偏向角的補(bǔ)角的平分線和入射點(diǎn)洛倫茲力的作用線，兩線的交點(diǎn)即為圓心。

例3.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個(gè)圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出），磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面，O點(diǎn)為該圓形區(qū)域邊界上的一點(diǎn)?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m，帶電量為+q的帶電粒子（不計(jì)重力）從O點(diǎn)以初速度v0沿x軸方向進(jìn)入磁場(chǎng)，已知粒子經(jīng)過y軸上P點(diǎn)時(shí)速度方向與+y方向夾角為θ=30°，OP=L，求：

（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向。

（2）該圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。

解析：過p點(diǎn)沿v■的反方向作延長(zhǎng)線交x軸與A點(diǎn)，則∠OAP即為偏向角的補(bǔ)角，作該角的角平分線與入射點(diǎn)O的洛倫茲力的作用線，兩線的交點(diǎn)即為圓心O′，OO′為粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，如圖所示，設(shè)半徑為R，粒子在Q點(diǎn)飛出磁場(chǎng)，

由幾何關(guān)系有（L-R）sin30°=R，所以R=■L

由牛頓第二定律有qv■B=m■，故R=■

由以上各式得磁感應(yīng)強(qiáng)度B=■

（2）設(shè)磁場(chǎng)區(qū)的最小面積為S

由幾何關(guān)系得直徑■=■R=■L

所以S=π（■）■=■L■

參考文獻(xiàn)：

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