函數(shù)性質(zhì)與基本函數(shù)

王健

知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)

●單調(diào)性的判斷方法

①定義法：在定義域內(nèi)先后進(jìn)行取值、作差、變形、判正負(fù).注意作差時(shí)須將差值f（x1）-f（x2）分解因式到可以判斷正負(fù)為止.

②導(dǎo)數(shù)法：對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性 （必修不作要求）.

③圖象法、復(fù)合函數(shù)法.其中復(fù)合函數(shù)法判斷單調(diào)性遵循“同增異減”的原則.

●奇偶性的判斷步驟

①先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;

②其次化簡判斷函數(shù)值是否恒為零（既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)）;

③最后依據(jù)“同偶奇反”的原則，由定義判斷出函數(shù)f（x）與f（-x）的關(guān)系.

含有指數(shù)的函數(shù)的判斷過程需注意將f（x）與f（-x）用相同的形式來表示，如f（x）中含有ax，那么也要將f（-x）中的a-x化為來表示. 含有對(duì)數(shù)的函數(shù)可以通過觀察對(duì)數(shù)的真數(shù)部分相等還是互為倒數(shù)最終判斷出f（x）與f（-x）的關(guān)系，如lnx與ln互為相反數(shù).

●求周期的方法

①定義法：對(duì)定義域內(nèi)任意的x，存在非零常數(shù)T，使得f（x+T）=f（x）恒成立，則T即為函數(shù)y=f（x）的一個(gè)周期.如f（x+a）=-的周期T=2a.

②公式法：y=asin（ωx+φ），y=acos（ωx+φ）的最小正周期T=;y=tan（ωx+φ）的最小正周期T=.三角函數(shù)周期一般用公式法求.

③歸納法或圖象法：通過已知條件進(jìn)行歸納或直接觀察圖象得出周期.

【提醒】

（1） 注意函數(shù)單調(diào)性的隱性描述與應(yīng)用：

①符號(hào)乘積描述：任意a，b∈D，a≠b，（a-b）[f（a）-f（b）]的正負(fù)恒定.

②幾何描述：任意一點(diǎn)處的切線斜率的正負(fù)恒定（必修不作要求）.

③導(dǎo)數(shù)描述：單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)正負(fù)恒定（必修不作要求）.

常見的與單調(diào)性有關(guān)的問題：比較函數(shù)值大小、解不等式、求函數(shù)值域、求參數(shù)的范圍等.注意所求單調(diào)區(qū)間不可超出定義域的范圍.

（2） 函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論：

①若奇函數(shù)f（x）在原點(diǎn)有定義，則必有f（0）=0.

②奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間部分有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)則有相反的單調(diào)性.

（3） 周期性常應(yīng)用于三角函數(shù)、函數(shù)求值、數(shù)列求和等問題中.要能準(zhǔn)確區(qū)分出f（x+a）=f（x+b）反映的是函數(shù)周期特征，f（a-x）=f（b+x）反映的是函數(shù)對(duì)稱特征.一個(gè)周期函數(shù)周期的整數(shù)倍還是這個(gè)函數(shù)的周期，若無特別說明，一般在求周期問題中所求的是最小正周期.

（4） 一般地，若一個(gè)函數(shù)有兩個(gè)對(duì)稱特征（對(duì)稱軸和對(duì)稱中心），則其一定為周期函數(shù).其中對(duì)稱中心與其相鄰的對(duì)稱軸的距離是周期的，相鄰的兩條對(duì)稱軸或兩對(duì)稱中心的距離是周期的.

【自查題組】

（1） 定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意的x1，x2∈（-∞，0]（x1≠x2），有（x2-x1）·[f（x2）-f（x1）]>0.則當(dāng)n∈N*時(shí)，有 .

（A） f（-n）

（C） f（n+1）

（2） 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增的是 .

（A） f（x）= ? ? （B） f（x）=x2+1 （C） f（x）=x3 （D） f（x）=2-x

（3） f（x）=為R上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a= .

（4） 函數(shù)f（x）=log（x2-4）的單調(diào)遞增區(qū)間是 .

（5） 奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f（x+2）為偶函數(shù)，則f（1）=1，則f（8）+f（9）= .

知識(shí)要點(diǎn)：指數(shù)、指數(shù)冪與對(duì)數(shù)運(yùn)算

●指數(shù)、指數(shù)冪運(yùn)算公式

① n次方根：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，=a;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，=a.

② 運(yùn)算性質(zhì)：aras=ar+s，=ar-s，（ar）s=ars，（ab）r=arbr （a>0）.

③ 指數(shù)冪運(yùn)算：a=（a>0），a-n=（n>0）.

●對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式

①指對(duì)互化：ab=N？圳logaN=b（a>0且a≠1）.

②和差公式：logaM+logaN=logaMN，logaM-logaN=loga.

③化簡公式：loga MbN=loga b，aloga b=b（b>0）.

④換底公式：loga b=（c>0且c≠1），MlogaN=Nloga M.

【提醒】

①指數(shù)、指數(shù)冪與對(duì)數(shù)運(yùn)算是解相應(yīng)的方程、不等式和比較大小等典型?？紗栴}的基礎(chǔ)，解題時(shí)注意利用公式統(tǒng)一函數(shù)、方程、不等式或代數(shù)式的形式，如：化成同底的指數(shù)或?qū)?shù)形式.

②解對(duì)數(shù)函數(shù)問題應(yīng)注意真數(shù)與底數(shù)的限制條件：真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1.

③含參代數(shù)式開偶次方要注意討論其正負(fù)才能去掉絕對(duì)值，如=a.

【自查題組】

（6） 設(shè)a=log32，b=ln2，c=5-，則a，b，c的大小關(guān)系為 .

（7） 方程+=3x-1的實(shí)數(shù)解為 .

（8） 不等式log2（2x-1）·log2（2x+1-2）<2的解集是 .

（9） 化簡：①20.5+0.1-2+2--3π0+; ②a.

（10） 已知2lg（x-2y）=lgx+lgy，則的值為 .

知識(shí)要點(diǎn)：分段函數(shù)和含有絕對(duì)值的函數(shù)

●分段函數(shù)的特征

分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，但在不同范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式.其定義域是各段函數(shù)的定義域的并集，值域是各段值域的并集，最大值是各段函數(shù)最值中的最大值，最小值是各段函數(shù)最值中的最小值.

●分段函數(shù)圖象畫法

研究分段函數(shù)的重要方法是從它的圖象入手，畫分段函數(shù)的圖象應(yīng)先根據(jù)各段函數(shù)的表達(dá)式畫出該段的函數(shù)圖象，然后將各段函數(shù)圖象通過定義域結(jié)合在一起，構(gòu)成所求的完整圖象.

●分段函數(shù)的常見問題

①求值問題：解此類問題的關(guān)鍵是判斷自變量的值屬于分段函數(shù)定義的哪一段，再代入相應(yīng)的表達(dá)式計(jì)算.關(guān)于周期函數(shù)的題目，代值所得結(jié)果會(huì)出現(xiàn)循環(huán)（如【自查題組】第12題），這時(shí)需要反復(fù)確認(rèn)自變量的值所屬分段函數(shù)定義域的范圍，結(jié)合相應(yīng)解析式來計(jì)算結(jié)果.

②解析式問題：比如知道f（x）在某一分段區(qū)間的函數(shù)解析式求對(duì)稱區(qū)間的函數(shù)解析式，這種情況通常需要結(jié)合函數(shù)的奇偶性，先將-x代入f（x）的解析式，求出f（-x），再由函數(shù)的奇偶性探究f（x）與f（-x）的關(guān)系，最后寫出所求函數(shù)表達(dá)式.

●含絕對(duì)值的函數(shù)的處理策略

①換元法：如函數(shù)y=x2+2x-1可化為y=x2+2x-1后令t=x換元為二次函數(shù)y=t2+2t-1（t≥0）.

②圖象變換法：y=f（x）的圖象可由先保留y=f（x）原來在x軸上方的圖象、把x軸下方部分沿x軸向上翻折后得到;y=f（x）的圖象可由先保留y=f（x）在y軸右方的圖象、去除y軸左方的圖象、然后將y軸右方的圖象關(guān)于y軸向左翻折后得到.

③化為分段函數(shù)：通過分類討論絕對(duì)值內(nèi)代數(shù)式的正負(fù)去絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù).

【提醒】

（1） 分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不能把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù).解析式形式：f（x）=f1（x），x∈D1，f2（x），x∈D2，…

（2） 含有參數(shù)的分段函數(shù)問題，利用圖象法研究時(shí)要注意參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象范圍的影響，關(guān)注各段圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)與參數(shù)的聯(lián)系，注意關(guān)鍵點(diǎn)的計(jì)算.

（3） 求有關(guān)分段函數(shù)性質(zhì)的問題時(shí)，應(yīng)關(guān)注端點(diǎn)取值、每段函數(shù)圖象是相連的還是斷開的、能否取到特殊點(diǎn)（如奇函數(shù)能否取原點(diǎn)）等.

【自查題組】

（11） 設(shè)函數(shù)g（x）=x2-2（x∈R），f（x）=g（x）+x+4，x

（12） 已知函數(shù)f（x）=2x，x≤1，-f（x-3），x>1，則f（2014）的值為 .

（13） 已知函數(shù)f（x）=lgx，010.若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是 .

（14） 若f（x）=ax（x>1），4-x+2（x≤1）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

（15） 設(shè)a為實(shí)常數(shù)，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=9x++7. 若f（x）≥a+1對(duì)一切x≥0成立，則a的取值范圍為 .

【參考答案】

（1） C

（2） A

（3） 1 【f（0）=0】

（4） （-∞，-2） 【復(fù)合函數(shù)單調(diào)性遵循同增異減的原則判斷】

（5） 1 【根據(jù)f（x）=-f（-x）與f（x+2）=f（2-x）求解】

（6） c

（7） x=log34

（8） {xlog2<x<log23} 【log2（2x-1）·log2[2×（2x-1）]<2，令t=（2x-1），則log2t·log2（2t）=log2t·（log22+log2t）<2.再令m=log2t，則有m2+m-2<0，解得-2

（9） ①100;②-

（10） 4 【注意對(duì)數(shù)式中真數(shù)大于0】

（11） -，0∪（2，+∞） 【如圖1所示】

（12） -2

（13） （10，12） 【f（x）圖象如圖2所示，若滿足題意，則平行于x軸的直線與圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為a，b，c】

（14） [4，8）

（15） {aa≤-} 【x=0時(shí)，f（0）=0，所以由f（x）≥a+1得a≤-1;x>0時(shí)，f（x）=-f（-x）=9x+-7，根據(jù)均值不等式可知[f（x）]min=6a-7，由題意可知6a-7≥a+1恒成立，當(dāng)a≥0時(shí)不等式不恒成立，所以a<0，故a≤-. 綜上所述，a≤-】

（9） 化簡：①20.5+0.1-2+2--3π0+; ②a.

（10） 已知2lg（x-2y）=lgx+lgy，則的值為 .

知識(shí)要點(diǎn)：分段函數(shù)和含有絕對(duì)值的函數(shù)

●分段函數(shù)的特征

分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，但在不同范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式.其定義域是各段函數(shù)的定義域的并集，值域是各段值域的并集，最大值是各段函數(shù)最值中的最大值，最小值是各段函數(shù)最值中的最小值.

●分段函數(shù)圖象畫法

研究分段函數(shù)的重要方法是從它的圖象入手，畫分段函數(shù)的圖象應(yīng)先根據(jù)各段函數(shù)的表達(dá)式畫出該段的函數(shù)圖象，然后將各段函數(shù)圖象通過定義域結(jié)合在一起，構(gòu)成所求的完整圖象.

●分段函數(shù)的常見問題

①求值問題：解此類問題的關(guān)鍵是判斷自變量的值屬于分段函數(shù)定義的哪一段，再代入相應(yīng)的表達(dá)式計(jì)算.關(guān)于周期函數(shù)的題目，代值所得結(jié)果會(huì)出現(xiàn)循環(huán)（如【自查題組】第12題），這時(shí)需要反復(fù)確認(rèn)自變量的值所屬分段函數(shù)定義域的范圍，結(jié)合相應(yīng)解析式來計(jì)算結(jié)果.

②解析式問題：比如知道f（x）在某一分段區(qū)間的函數(shù)解析式求對(duì)稱區(qū)間的函數(shù)解析式，這種情況通常需要結(jié)合函數(shù)的奇偶性，先將-x代入f（x）的解析式，求出f（-x），再由函數(shù)的奇偶性探究f（x）與f（-x）的關(guān)系，最后寫出所求函數(shù)表達(dá)式.

●含絕對(duì)值的函數(shù)的處理策略

①換元法：如函數(shù)y=x2+2x-1可化為y=x2+2x-1后令t=x換元為二次函數(shù)y=t2+2t-1（t≥0）.

②圖象變換法：y=f（x）的圖象可由先保留y=f（x）原來在x軸上方的圖象、把x軸下方部分沿x軸向上翻折后得到;y=f（x）的圖象可由先保留y=f（x）在y軸右方的圖象、去除y軸左方的圖象、然后將y軸右方的圖象關(guān)于y軸向左翻折后得到.

③化為分段函數(shù)：通過分類討論絕對(duì)值內(nèi)代數(shù)式的正負(fù)去絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù).

【提醒】

（1） 分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不能把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù).解析式形式：f（x）=f1（x），x∈D1，f2（x），x∈D2，…

（2） 含有參數(shù)的分段函數(shù)問題，利用圖象法研究時(shí)要注意參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象范圍的影響，關(guān)注各段圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)與參數(shù)的聯(lián)系，注意關(guān)鍵點(diǎn)的計(jì)算.

（3） 求有關(guān)分段函數(shù)性質(zhì)的問題時(shí)，應(yīng)關(guān)注端點(diǎn)取值、每段函數(shù)圖象是相連的還是斷開的、能否取到特殊點(diǎn)（如奇函數(shù)能否取原點(diǎn)）等.

【自查題組】

（11） 設(shè)函數(shù)g（x）=x2-2（x∈R），f（x）=g（x）+x+4，x

（12） 已知函數(shù)f（x）=2x，x≤1，-f（x-3），x>1，則f（2014）的值為 .

（13） 已知函數(shù)f（x）=lgx，010.若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是 .

（14） 若f（x）=ax（x>1），4-x+2（x≤1）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

（15） 設(shè)a為實(shí)常數(shù)，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=9x++7. 若f（x）≥a+1對(duì)一切x≥0成立，則a的取值范圍為 .

【參考答案】

（1） C

（2） A

（3） 1 【f（0）=0】

（4） （-∞，-2） 【復(fù)合函數(shù)單調(diào)性遵循同增異減的原則判斷】

（5） 1 【根據(jù)f（x）=-f（-x）與f（x+2）=f（2-x）求解】

（6） c

（7） x=log34

（8） {xlog2<x<log23} 【log2（2x-1）·log2[2×（2x-1）]<2，令t=（2x-1），則log2t·log2（2t）=log2t·（log22+log2t）<2.再令m=log2t，則有m2+m-2<0，解得-2

（9） ①100;②-

（10） 4 【注意對(duì)數(shù)式中真數(shù)大于0】

（11） -，0∪（2，+∞） 【如圖1所示】

（12） -2

（13） （10，12） 【f（x）圖象如圖2所示，若滿足題意，則平行于x軸的直線與圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為a，b，c】

（14） [4，8）

（15） {aa≤-} 【x=0時(shí)，f（0）=0，所以由f（x）≥a+1得a≤-1;x>0時(shí)，f（x）=-f（-x）=9x+-7，根據(jù)均值不等式可知[f（x）]min=6a-7，由題意可知6a-7≥a+1恒成立，當(dāng)a≥0時(shí)不等式不恒成立，所以a<0，故a≤-. 綜上所述，a≤-】

（9） 化簡：①20.5+0.1-2+2--3π0+; ②a.

（10） 已知2lg（x-2y）=lgx+lgy，則的值為 .

知識(shí)要點(diǎn)：分段函數(shù)和含有絕對(duì)值的函數(shù)

●分段函數(shù)的特征

分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，但在不同范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式.其定義域是各段函數(shù)的定義域的并集，值域是各段值域的并集，最大值是各段函數(shù)最值中的最大值，最小值是各段函數(shù)最值中的最小值.

●分段函數(shù)圖象畫法

研究分段函數(shù)的重要方法是從它的圖象入手，畫分段函數(shù)的圖象應(yīng)先根據(jù)各段函數(shù)的表達(dá)式畫出該段的函數(shù)圖象，然后將各段函數(shù)圖象通過定義域結(jié)合在一起，構(gòu)成所求的完整圖象.

●分段函數(shù)的常見問題

①求值問題：解此類問題的關(guān)鍵是判斷自變量的值屬于分段函數(shù)定義的哪一段，再代入相應(yīng)的表達(dá)式計(jì)算.關(guān)于周期函數(shù)的題目，代值所得結(jié)果會(huì)出現(xiàn)循環(huán)（如【自查題組】第12題），這時(shí)需要反復(fù)確認(rèn)自變量的值所屬分段函數(shù)定義域的范圍，結(jié)合相應(yīng)解析式來計(jì)算結(jié)果.

②解析式問題：比如知道f（x）在某一分段區(qū)間的函數(shù)解析式求對(duì)稱區(qū)間的函數(shù)解析式，這種情況通常需要結(jié)合函數(shù)的奇偶性，先將-x代入f（x）的解析式，求出f（-x），再由函數(shù)的奇偶性探究f（x）與f（-x）的關(guān)系，最后寫出所求函數(shù)表達(dá)式.

●含絕對(duì)值的函數(shù)的處理策略

①換元法：如函數(shù)y=x2+2x-1可化為y=x2+2x-1后令t=x換元為二次函數(shù)y=t2+2t-1（t≥0）.

②圖象變換法：y=f（x）的圖象可由先保留y=f（x）原來在x軸上方的圖象、把x軸下方部分沿x軸向上翻折后得到;y=f（x）的圖象可由先保留y=f（x）在y軸右方的圖象、去除y軸左方的圖象、然后將y軸右方的圖象關(guān)于y軸向左翻折后得到.

③化為分段函數(shù)：通過分類討論絕對(duì)值內(nèi)代數(shù)式的正負(fù)去絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù).

【提醒】

（1） 分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不能把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù).解析式形式：f（x）=f1（x），x∈D1，f2（x），x∈D2，…

（2） 含有參數(shù)的分段函數(shù)問題，利用圖象法研究時(shí)要注意參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象范圍的影響，關(guān)注各段圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)與參數(shù)的聯(lián)系，注意關(guān)鍵點(diǎn)的計(jì)算.

（3） 求有關(guān)分段函數(shù)性質(zhì)的問題時(shí)，應(yīng)關(guān)注端點(diǎn)取值、每段函數(shù)圖象是相連的還是斷開的、能否取到特殊點(diǎn)（如奇函數(shù)能否取原點(diǎn)）等.

【自查題組】

（11） 設(shè)函數(shù)g（x）=x2-2（x∈R），f（x）=g（x）+x+4，x

（12） 已知函數(shù)f（x）=2x，x≤1，-f（x-3），x>1，則f（2014）的值為 .

（13） 已知函數(shù)f（x）=lgx，010.若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是 .

（14） 若f（x）=ax（x>1），4-x+2（x≤1）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

（15） 設(shè)a為實(shí)常數(shù)，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=9x++7. 若f（x）≥a+1對(duì)一切x≥0成立，則a的取值范圍為 .

【參考答案】

（1） C

（2） A

（3） 1 【f（0）=0】

（4） （-∞，-2） 【復(fù)合函數(shù)單調(diào)性遵循同增異減的原則判斷】

（5） 1 【根據(jù)f（x）=-f（-x）與f（x+2）=f（2-x）求解】

（6） c

（7） x=log34

（8） {xlog2<x<log23} 【log2（2x-1）·log2[2×（2x-1）]<2，令t=（2x-1），則log2t·log2（2t）=log2t·（log22+log2t）<2.再令m=log2t，則有m2+m-2<0，解得-2

（9） ①100;②-

（10） 4 【注意對(duì)數(shù)式中真數(shù)大于0】

（11） -，0∪（2，+∞） 【如圖1所示】

（12） -2

（13） （10，12） 【f（x）圖象如圖2所示，若滿足題意，則平行于x軸的直線與圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為a，b，c】

（14） [4，8）

（15） {aa≤-} 【x=0時(shí)，f（0）=0，所以由f（x）≥a+1得a≤-1;x>0時(shí)，f（x）=-f（-x）=9x+-7，根據(jù)均值不等式可知[f（x）]min=6a-7，由題意可知6a-7≥a+1恒成立，當(dāng)a≥0時(shí)不等式不恒成立，所以a<0，故a≤-. 綜上所述，a≤-】