平面向量數(shù)量積的求法

徐祝慶

利用解三角形方法求解

例1 如圖1所示，在△ABC中，AD⊥AB，=，=1，求·的值.

解析： 向量的模已知，向量的模以及它與向量的夾角∠DAC未知，但是cos∠DAC可以通過解三角形知識求得.

由三角函數(shù)誘導公式知： cos∠DAC=sin+∠DAC，因為AD⊥AB，所以∠BAD=，那么cos∠DAC=sin（∠BAD+∠DAC）=sin∠BAC.

在三角形ABC中，由正弦定理可得：=，則ACsin∠BAC=ACcos∠DAC=BCsinB.

因為=1，=，所以·=cos∠DAC=sin∠BAC=sinB=sinB==，即·的值是.

【點撥】 在向量數(shù)量積的運算中，若各相關(guān)向量模長及其夾角的余弦值可以通過三角形有關(guān)知識求得，可考慮運用解三角形的方法求解.

化歸為基向量求解

例2 如圖2所示，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上一點，DC=2BD，求·的值.

解析： 向量，的模長與夾角均未知，而向量，的模長及其夾角均已知，故可視，為基向量，通過向量的加、減法，將·“化歸”為基向量，之間的數(shù)量積，進行求解.

因為DC=2BD，所以=，·=（+）·=+·. 又=-，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，所以+·=+（-）·（-）=（+2）·（-）=（1-8+·）=（-7+2cos120°）=-，即·的值是-.

【點撥】 在所求的向量數(shù)量積中，向量的模長與夾角未知，但與此有關(guān)的向量的模長與夾角已知，此時可考慮利用“化歸”思想，把已知模長與夾角的向量作為基向量，將所求向量“化歸”為基向量再來求解.

利用向量的射影性質(zhì)求解

例3 ?如圖3-1所示，在圓O中，若弦AB=3，弦AC=5，求·的值.

解析： 例3中向量，的模長及夾角均未知，而，的模長已知，但夾角∠CAB又未知，難以以此作為基向量，考慮到圓的特性，選擇用向量數(shù)量積的射影性質(zhì)進行運算，是一個極好的途徑.

延長AO交圓O于點D，如圖3-2所示，則AD是圓O的直徑，故AC⊥CD，AB⊥BD. ·=·（-）=（·-·）.

由向量射影性質(zhì)可知： cos∠CAD=，又AC=5，所以·=cos∠CAD=2=25.同理可得：·=2=9.所以·=（25-9）=8，即·的值是8.

【提示】 =（+）是例3中BC經(jīng)過圓心時的特殊情況，若例3為選擇題或者填空題，可假設BC經(jīng)過圓心，能更快捷地得出答案，節(jié)約做題時間.

【點撥】 在兩個向量數(shù)量積的運算中，若其中一個向量的模長已知，另一個向量的模長與它們間的夾角均未知，但未知向量的模與夾角的積可通過射影的形式來確定的，可考慮用向量的射影性質(zhì)來求解.

利用“極化恒等式”求解

在這里提到了一個概念：極化恒等式.那么，什么是極化恒等式呢？在△ABC中，O是BC邊上的中點，如圖4-1所示，則·=AO2-OC2.

證明： 由于O為BC的中點，則有 =（+），==（-）？圯=-，=+，故·=（ -）·（ +）=2-2=AO2-OC2.

極化恒等式的幾何意義為：向量數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的三角形的第三邊中線與第三邊邊長一半的平方差.

例4 在△ABC中，設P0是邊AB上一定點，滿足P0B=AB且對于邊AB上任一點P，恒有·≥·，則

.

（A） ∠ABC=90° ? （B） ∠BAC=90°

（C） AB=AC （D） AC=BC

解析： 例4用一般的方法求解會感到有點棘手，但若能根據(jù)題設條件，充分利用向量數(shù)量積的重要性質(zhì)——極化恒等式進行推理，則求解并不困難.

如圖4-2，取BC的中點D，則由極化恒等式可知：·=2-2，·=2-2，由·≥·恒成立，可知2-2≥2-2，即2≥2恒成立. 由于P0是邊AB上一定點，P是動點，所以，只能是P0D⊥AB（點到直線的垂線段最短）.

取AB中點M，連結(jié)CM，因為P0B=AB，所以P0D是△BMC的一條中位線，所以P0D∥MC.因為P0D⊥AB，所以MC⊥AB.在△ABC中，MC既是AB邊上的垂線，又是中線，所以AC=BC， 故選D .

【點撥】 在向量數(shù)量積的運算中，若所求向量的模長與夾角均不確定，而由這兩個向量組成的三角形的第三條邊邊長以及第三條邊上的中線長度已知，可考慮用“極化恒等式”來求解.

利用向量坐標表示法求解

例5 在平行四邊形ABCD中，∠DAB=，邊AB，AD的長分別為2，1，若M，N分別是邊BC，CD上的點，且滿足=，求·的取值范圍.

解析： 求解例5可以視，為基向量進行運算，但考慮到圖形的特點，也可以選用坐標的方式進行求解.

以A為坐標原點、向量所在直線為x軸建立直角坐標系，如圖5所示.因為AB=2，AD=1，∠DAB=，所以A（0，0），B（2，0），C，，D，.

由于=，故==.設Nx，，其中≤x≤，則=-x，=-x，M2+-x，-x.

根據(jù)題意，=x，，=-，，所以·=x-+=-+x+=-x-2+6，其中≤x≤，故2≤·≤5，所以·的取值范圍是[2，5].

【點撥】 在向量數(shù)量積的運算中，若相關(guān)向量均可以方便地用坐標形式來表示的，用坐標形式求解不失為一種便利的方法.

利用函數(shù)與方程的思想求解

例6 設=1，若=2，求·的最大值.

解析： 無論用以上介紹的哪一種方法求解例6，都會涉及變量（參數(shù)）問題，但有關(guān)向量的模與夾角均可以用同一變量表示出來，不妨考慮用函數(shù)思想進行探究.

設=m，則=2=2m. 如圖6所示，在△ABC中，由三邊關(guān)系可得2m-m≤1，2m+m≥1？圯≤m≤1，所以·=·cos∠ACB=2m2cos∠ACB.

由余弦定理知：cos∠ACB= ，所以·=2m2×=.因為≤m≤1，所以·=≤=2，即·的最大值為2.

【點撥】 在向量數(shù)量積的運算中，若所求向量及其夾角均可用同一個（或兩個相關(guān)）變量表示，可以考慮運用函數(shù)與方程的思想進行求解.

利用解三角形方法求解

例1 如圖1所示，在△ABC中，AD⊥AB，=，=1，求·的值.

解析： 向量的模已知，向量的模以及它與向量的夾角∠DAC未知，但是cos∠DAC可以通過解三角形知識求得.

由三角函數(shù)誘導公式知： cos∠DAC=sin+∠DAC，因為AD⊥AB，所以∠BAD=，那么cos∠DAC=sin（∠BAD+∠DAC）=sin∠BAC.

在三角形ABC中，由正弦定理可得：=，則ACsin∠BAC=ACcos∠DAC=BCsinB.

因為=1，=，所以·=cos∠DAC=sin∠BAC=sinB=sinB==，即·的值是.

【點撥】 在向量數(shù)量積的運算中，若各相關(guān)向量模長及其夾角的余弦值可以通過三角形有關(guān)知識求得，可考慮運用解三角形的方法求解.

化歸為基向量求解

例2 如圖2所示，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上一點，DC=2BD，求·的值.

解析： 向量，的模長與夾角均未知，而向量，的模長及其夾角均已知，故可視，為基向量，通過向量的加、減法，將·“化歸”為基向量，之間的數(shù)量積，進行求解.

因為DC=2BD，所以=，·=（+）·=+·. 又=-，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，所以+·=+（-）·（-）=（+2）·（-）=（1-8+·）=（-7+2cos120°）=-，即·的值是-.

【點撥】 在所求的向量數(shù)量積中，向量的模長與夾角未知，但與此有關(guān)的向量的模長與夾角已知，此時可考慮利用“化歸”思想，把已知模長與夾角的向量作為基向量，將所求向量“化歸”為基向量再來求解.

利用向量的射影性質(zhì)求解

例3 ?如圖3-1所示，在圓O中，若弦AB=3，弦AC=5，求·的值.

解析： 例3中向量，的模長及夾角均未知，而，的模長已知，但夾角∠CAB又未知，難以以此作為基向量，考慮到圓的特性，選擇用向量數(shù)量積的射影性質(zhì)進行運算，是一個極好的途徑.

延長AO交圓O于點D，如圖3-2所示，則AD是圓O的直徑，故AC⊥CD，AB⊥BD. ·=·（-）=（·-·）.

由向量射影性質(zhì)可知： cos∠CAD=，又AC=5，所以·=cos∠CAD=2=25.同理可得：·=2=9.所以·=（25-9）=8，即·的值是8.

【提示】 =（+）是例3中BC經(jīng)過圓心時的特殊情況，若例3為選擇題或者填空題，可假設BC經(jīng)過圓心，能更快捷地得出答案，節(jié)約做題時間.

【點撥】 在兩個向量數(shù)量積的運算中，若其中一個向量的模長已知，另一個向量的模長與它們間的夾角均未知，但未知向量的模與夾角的積可通過射影的形式來確定的，可考慮用向量的射影性質(zhì)來求解.

利用“極化恒等式”求解

在這里提到了一個概念：極化恒等式.那么，什么是極化恒等式呢？在△ABC中，O是BC邊上的中點，如圖4-1所示，則·=AO2-OC2.

證明： 由于O為BC的中點，則有 =（+），==（-）？圯=-，=+，故·=（ -）·（ +）=2-2=AO2-OC2.

極化恒等式的幾何意義為：向量數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的三角形的第三邊中線與第三邊邊長一半的平方差.

例4 在△ABC中，設P0是邊AB上一定點，滿足P0B=AB且對于邊AB上任一點P，恒有·≥·，則

.

（A） ∠ABC=90° ? （B） ∠BAC=90°

（C） AB=AC （D） AC=BC

解析： 例4用一般的方法求解會感到有點棘手，但若能根據(jù)題設條件，充分利用向量數(shù)量積的重要性質(zhì)——極化恒等式進行推理，則求解并不困難.

如圖4-2，取BC的中點D，則由極化恒等式可知：·=2-2，·=2-2，由·≥·恒成立，可知2-2≥2-2，即2≥2恒成立. 由于P0是邊AB上一定點，P是動點，所以，只能是P0D⊥AB（點到直線的垂線段最短）.

取AB中點M，連結(jié)CM，因為P0B=AB，所以P0D是△BMC的一條中位線，所以P0D∥MC.因為P0D⊥AB，所以MC⊥AB.在△ABC中，MC既是AB邊上的垂線，又是中線，所以AC=BC， 故選D .

【點撥】 在向量數(shù)量積的運算中，若所求向量的模長與夾角均不確定，而由這兩個向量組成的三角形的第三條邊邊長以及第三條邊上的中線長度已知，可考慮用“極化恒等式”來求解.

利用向量坐標表示法求解

例5 在平行四邊形ABCD中，∠DAB=，邊AB，AD的長分別為2，1，若M，N分別是邊BC，CD上的點，且滿足=，求·的取值范圍.

解析： 求解例5可以視，為基向量進行運算，但考慮到圖形的特點，也可以選用坐標的方式進行求解.

以A為坐標原點、向量所在直線為x軸建立直角坐標系，如圖5所示.因為AB=2，AD=1，∠DAB=，所以A（0，0），B（2，0），C，，D，.

由于=，故==.設Nx，，其中≤x≤，則=-x，=-x，M2+-x，-x.

根據(jù)題意，=x，，=-，，所以·=x-+=-+x+=-x-2+6，其中≤x≤，故2≤·≤5，所以·的取值范圍是[2，5].

【點撥】 在向量數(shù)量積的運算中，若相關(guān)向量均可以方便地用坐標形式來表示的，用坐標形式求解不失為一種便利的方法.

利用函數(shù)與方程的思想求解

例6 設=1，若=2，求·的最大值.

解析： 無論用以上介紹的哪一種方法求解例6，都會涉及變量（參數(shù)）問題，但有關(guān)向量的模與夾角均可以用同一變量表示出來，不妨考慮用函數(shù)思想進行探究.

設=m，則=2=2m. 如圖6所示，在△ABC中，由三邊關(guān)系可得2m-m≤1，2m+m≥1？圯≤m≤1，所以·=·cos∠ACB=2m2cos∠ACB.

由余弦定理知：cos∠ACB= ，所以·=2m2×=.因為≤m≤1，所以·=≤=2，即·的最大值為2.

【點撥】 在向量數(shù)量積的運算中，若所求向量及其夾角均可用同一個（或兩個相關(guān)）變量表示，可以考慮運用函數(shù)與方程的思想進行求解.

利用解三角形方法求解

例1 如圖1所示，在△ABC中，AD⊥AB，=，=1，求·的值.

解析： 向量的模已知，向量的模以及它與向量的夾角∠DAC未知，但是cos∠DAC可以通過解三角形知識求得.

由三角函數(shù)誘導公式知： cos∠DAC=sin+∠DAC，因為AD⊥AB，所以∠BAD=，那么cos∠DAC=sin（∠BAD+∠DAC）=sin∠BAC.

在三角形ABC中，由正弦定理可得：=，則ACsin∠BAC=ACcos∠DAC=BCsinB.

因為=1，=，所以·=cos∠DAC=sin∠BAC=sinB=sinB==，即·的值是.

【點撥】 在向量數(shù)量積的運算中，若各相關(guān)向量模長及其夾角的余弦值可以通過三角形有關(guān)知識求得，可考慮運用解三角形的方法求解.

化歸為基向量求解

例2 如圖2所示，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上一點，DC=2BD，求·的值.

解析： 向量，的模長與夾角均未知，而向量，的模長及其夾角均已知，故可視，為基向量，通過向量的加、減法，將·“化歸”為基向量，之間的數(shù)量積，進行求解.

因為DC=2BD，所以=，·=（+）·=+·. 又=-，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，所以+·=+（-）·（-）=（+2）·（-）=（1-8+·）=（-7+2cos120°）=-，即·的值是-.

【點撥】 在所求的向量數(shù)量積中，向量的模長與夾角未知，但與此有關(guān)的向量的模長與夾角已知，此時可考慮利用“化歸”思想，把已知模長與夾角的向量作為基向量，將所求向量“化歸”為基向量再來求解.

利用向量的射影性質(zhì)求解

例3 ?如圖3-1所示，在圓O中，若弦AB=3，弦AC=5，求·的值.

解析： 例3中向量，的模長及夾角均未知，而，的模長已知，但夾角∠CAB又未知，難以以此作為基向量，考慮到圓的特性，選擇用向量數(shù)量積的射影性質(zhì)進行運算，是一個極好的途徑.

延長AO交圓O于點D，如圖3-2所示，則AD是圓O的直徑，故AC⊥CD，AB⊥BD. ·=·（-）=（·-·）.

由向量射影性質(zhì)可知： cos∠CAD=，又AC=5，所以·=cos∠CAD=2=25.同理可得：·=2=9.所以·=（25-9）=8，即·的值是8.

【提示】 =（+）是例3中BC經(jīng)過圓心時的特殊情況，若例3為選擇題或者填空題，可假設BC經(jīng)過圓心，能更快捷地得出答案，節(jié)約做題時間.

【點撥】 在兩個向量數(shù)量積的運算中，若其中一個向量的模長已知，另一個向量的模長與它們間的夾角均未知，但未知向量的模與夾角的積可通過射影的形式來確定的，可考慮用向量的射影性質(zhì)來求解.

利用“極化恒等式”求解

在這里提到了一個概念：極化恒等式.那么，什么是極化恒等式呢？在△ABC中，O是BC邊上的中點，如圖4-1所示，則·=AO2-OC2.

證明： 由于O為BC的中點，則有 =（+），==（-）？圯=-，=+，故·=（ -）·（ +）=2-2=AO2-OC2.

極化恒等式的幾何意義為：向量數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的三角形的第三邊中線與第三邊邊長一半的平方差.

例4 在△ABC中，設P0是邊AB上一定點，滿足P0B=AB且對于邊AB上任一點P，恒有·≥·，則

.

（A） ∠ABC=90° ? （B） ∠BAC=90°

（C） AB=AC （D） AC=BC

解析： 例4用一般的方法求解會感到有點棘手，但若能根據(jù)題設條件，充分利用向量數(shù)量積的重要性質(zhì)——極化恒等式進行推理，則求解并不困難.

如圖4-2，取BC的中點D，則由極化恒等式可知：·=2-2，·=2-2，由·≥·恒成立，可知2-2≥2-2，即2≥2恒成立. 由于P0是邊AB上一定點，P是動點，所以，只能是P0D⊥AB（點到直線的垂線段最短）.

取AB中點M，連結(jié)CM，因為P0B=AB，所以P0D是△BMC的一條中位線，所以P0D∥MC.因為P0D⊥AB，所以MC⊥AB.在△ABC中，MC既是AB邊上的垂線，又是中線，所以AC=BC， 故選D .

【點撥】 在向量數(shù)量積的運算中，若所求向量的模長與夾角均不確定，而由這兩個向量組成的三角形的第三條邊邊長以及第三條邊上的中線長度已知，可考慮用“極化恒等式”來求解.

利用向量坐標表示法求解

例5 在平行四邊形ABCD中，∠DAB=，邊AB，AD的長分別為2，1，若M，N分別是邊BC，CD上的點，且滿足=，求·的取值范圍.

解析： 求解例5可以視，為基向量進行運算，但考慮到圖形的特點，也可以選用坐標的方式進行求解.

以A為坐標原點、向量所在直線為x軸建立直角坐標系，如圖5所示.因為AB=2，AD=1，∠DAB=，所以A（0，0），B（2，0），C，，D，.

由于=，故==.設Nx，，其中≤x≤，則=-x，=-x，M2+-x，-x.

根據(jù)題意，=x，，=-，，所以·=x-+=-+x+=-x-2+6，其中≤x≤，故2≤·≤5，所以·的取值范圍是[2，5].

【點撥】 在向量數(shù)量積的運算中，若相關(guān)向量均可以方便地用坐標形式來表示的，用坐標形式求解不失為一種便利的方法.

利用函數(shù)與方程的思想求解

例6 設=1，若=2，求·的最大值.

解析： 無論用以上介紹的哪一種方法求解例6，都會涉及變量（參數(shù)）問題，但有關(guān)向量的模與夾角均可以用同一變量表示出來，不妨考慮用函數(shù)思想進行探究.

設=m，則=2=2m. 如圖6所示，在△ABC中，由三邊關(guān)系可得2m-m≤1，2m+m≥1？圯≤m≤1，所以·=·cos∠ACB=2m2cos∠ACB.

由余弦定理知：cos∠ACB= ，所以·=2m2×=.因為≤m≤1，所以·=≤=2，即·的最大值為2.

【點撥】 在向量數(shù)量積的運算中，若所求向量及其夾角均可用同一個（或兩個相關(guān)）變量表示，可以考慮運用函數(shù)與方程的思想進行求解.