求解含絕對值函數(shù)問題的基本策略

范紅星

縱觀近幾年的高考試卷，有關(guān)含絕對值函數(shù)的問題呈現(xiàn)出綜合性強(qiáng)、立意新穎、難度大等特點(diǎn)，正日益成為高考的熱點(diǎn).

利用絕對值函數(shù)的圖象和性質(zhì)

在解有關(guān)含絕對值函數(shù)的客觀題時(shí)，要運(yùn)用好絕對值函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意，利用函數(shù)y=f（x）圖象的翻折和平移得到y(tǒng)=f（x），y=f（x），y=f（x-m） 等含絕對值函數(shù)的圖象，然后利用圖象求解.

對于常見的含絕對值的函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要熟練掌握，才有利于提升解題速度.如：y=ax（a>0，a≠1），y=ax-1，y=logax，y=logax（a>0，a≠1），y=ax2+bx+c，y=，y=x+（a>0），y=ax-b，y=ax2+bx+c等.

例1 函數(shù)f（x）=2xlog0.5x-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .

（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4

解析：由f（x）=2xlog0.5x-1=0可得log0.5x=x，設(shè)h（x）=x，g（x）=log0.5x，在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)g（x）和h（x）的圖象（如圖1所示），可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn).所以答案選B.

點(diǎn)評： 解例1的關(guān)鍵是作出g（x）=log0.5x的圖象，然后觀察它與函數(shù)h（x）=x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

例2 已知函數(shù)f（x）=x-4+，x∈（0，4），當(dāng)x=a時(shí)，f（x）取得最小值b，則函數(shù)g（x）=x+b的圖象為 .

解析： f（x）=x-4+=（x+1）+-5≥2-5=1，當(dāng)且僅當(dāng)x+1=時(shí)函數(shù)f（x）取到最小值1，即（x+1）2=9. 因?yàn)閤∈（0，4），故x=2.由題意可知：a=2，b=1，故g（x）=x+1，其圖象可由函數(shù)y=x的圖象先進(jìn)行翻折變換得到函數(shù)y=x的圖象，然后再將所得圖象向左平移1個(gè)單位后得到，所以答案為B.

點(diǎn)評： 根據(jù)均值不等式及其取等條件求得a，b的值，再根據(jù)函數(shù)圖象變換得出函數(shù)g（x）的圖象.

轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，進(jìn)行分類討論

一般地，對于y=f（x）和y=f（x）這兩種最典型的含絕對值的函數(shù)，可根據(jù)f（x）或x取值的正負(fù)分類，得到分段函數(shù)：y=f（x）= f（x），f（x）≥0，-f（x），f（x）<0和y=f（x）= f（x），x≥0， f（-x），x<0.

對于含有x-a的絕對值函數(shù)，可先根據(jù)x≤a和x>a進(jìn)行分類，再結(jié)合函數(shù)的圖象求解.對于含參數(shù)的問題，還要對參數(shù)進(jìn)行分類討論.

例3 函數(shù) f（x）=2log2x-x-的大致圖象為 .

解析： 函數(shù) f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），其中1是log2x和x-的零點(diǎn)，所以可先根據(jù)零點(diǎn)將 f（x）轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)：

當(dāng)0

當(dāng)x>1時(shí)， f（x）=2log2x-x-=.

即： f（x）=，x>1，x，0

點(diǎn)評：例3中雖有兩個(gè)絕對值符號，但它們有共同的零點(diǎn)x=1，故可根據(jù)01這兩種情況，將函數(shù) f（x）轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)進(jìn)行求解.

例4 函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=kx-2的圖象恰好有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .

解析： 函數(shù)y==（x≠1），其中x2-1的零點(diǎn)為：x=±1.

當(dāng)x>1時(shí)，y=x+1;當(dāng)-1≤x<1時(shí)，y=-x-1;當(dāng)x<-1時(shí)，y=x+1.故函數(shù)y=x+1，x>1，-x-1，-1≤x<1x+1，x<-1.，

函數(shù)y=kx-2的圖象為恒過定點(diǎn)（0，-2）的直線族.如圖2所示.要使函數(shù)y=的圖象與y=kx-2的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則直線族y=kx-2應(yīng)在圖中陰影所示的兩個(gè)區(qū)域內(nèi).

邊界線l1經(jīng)過點(diǎn)（1，2）和點(diǎn)（0，-2），可得l1的斜率k==4，但是x≠1，函數(shù)y=kx-2的圖象不經(jīng)過點(diǎn)F（1，2），故k≠4;

l2經(jīng)過點(diǎn)（2，0）和（0，-2），可得l2的斜率k==1，但是當(dāng)k=1時(shí)直線l2與函數(shù)y=的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，故k≠1.

l3與x軸平行，又x≠1，故函數(shù)y=kx-2的圖象不經(jīng)過點(diǎn)E，即k≠0.

綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0，1）∪（1，4）.

點(diǎn)評： 例4根據(jù)x2-1的零點(diǎn)將函數(shù)y=分段為x>1，-1≤x<1，x<-1這三種情形，然后畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

通過去絕對值分離參數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題

對于絕對值含參恒成立問題，一般可通過去絕對值、分離參數(shù)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化. 常規(guī)解題思路為：

a-f（x）≤g（x）恒成立？圳-g（x）≤a-f（x）≤g（x）恒成立？圳f（x）-g（x）≤a≤f（x）+g（x）恒成立？圳a≥[f（x）-g（x）]max且a≤[f（x）+g（x）]min.

a-f（x）≥g（x）恒成立？圳a-f（x）≤-g（x）恒成立或a-f（x）≥g（x）恒成立？圳a≤f（x）-g（x）恒成立或a≥f（x）+g（x）恒成立？圳a≤[f（x）-g（x）]min或a≥[f（x）+g（x）]max.

例5 已知函數(shù)f（x）=1+a·x+x.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域.

（2）若對任意x∈[0，+∞），總有f（x）≤3成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析： （1） 當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=1+x+2x，令t=x，則f（t）=t+x+.因?yàn)閤∈（-∞，0），所以t∈（1，+∞）. 而f（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)，又f（1）=3，所以所求值域?yàn)椋?，+∞）.

（2） 令t=x，則f（t）=1+at+t2，由x∈[0，+∞）知t∈（0，1].因此f（x）≤3在x∈[0，+∞）上恒成立等價(jià)于f（t）≤3在t∈（0，1]上恒成立，所以-3≤f（t）≤3，整理得-4-t2≤a·t≤2-t2，即--t≤a≤-t在t∈（0，1]上恒成立.

令h（t）=--t，g（t）=-t，若要滿足題意則h（t）max≤a≤g（t）min.因?yàn)閔（t）在（0，1]上遞增，g（t）在（0，1]上遞減，所以h（t）max=h（1）=-5，g（t）min=g（1）=1，故-5≤a≤1，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-5，1].

點(diǎn)評： 例5的求解過程，體現(xiàn)了分離參數(shù)、將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求相關(guān)函數(shù)最值問題的思路.

例6 已知函數(shù)f（x）=x-a+（x>0）.

（1） 當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值.

（2） 若對于任意的正數(shù)x， f（x）≥恒成立，求a的取值范圍.

解析： （1） 當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-1+=x+-1，x≥1，1+-x，0<x<1.當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）遞增，故f（x）≥f（1）=1;當(dāng)0<x<1時(shí)，f（x）遞減，故f（x）>1，因此f（x）的最小值為1.

（2） f（x）≥恒成立可轉(zhuǎn)化為：a-x≥-在x>0時(shí)恒成立.

當(dāng)-<0，即0<x<2時(shí)，a-x≥-恒成立，這時(shí)a∈R.

當(dāng)-≥0，即x≥2時(shí)，a-x≥-恒成立可轉(zhuǎn)化為：a-x≥-或a-x≤--恒成立，即a≥x-+或a≤x+-在x≥2時(shí)恒成立.

令h（x）=x-+，g（x）=x+-. a≥h（x）恒成立等價(jià)于a≥h（x）max，又h（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，并且當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→+∞，所以a≥h（x）max不能成立.a≤g（x）恒成立等價(jià)于a≤g（x）min，又g（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）min=g（2）=2，因此a≤2.

綜上所述，當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）≥恒成立.

點(diǎn)評： 例6第（2）小題求解的主要流程就是先將原恒等式轉(zhuǎn)化為求a-x≥-恒成立的形式，再通過去絕對值分離參數(shù)，最終通過求函數(shù)的最值來解題.

在求解含絕對值的函數(shù)問題時(shí)，要根據(jù)絕對值的意義，結(jié)合常見的含絕對值的函數(shù)的圖象和性質(zhì)，充分運(yùn)用分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化和函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想求解.

（2） 令t=x，則f（t）=1+at+t2，由x∈[0，+∞）知t∈（0，1].因此f（x）≤3在x∈[0，+∞）上恒成立等價(jià)于f（t）≤3在t∈（0，1]上恒成立，所以-3≤f（t）≤3，整理得-4-t2≤a·t≤2-t2，即--t≤a≤-t在t∈（0，1]上恒成立.

令h（t）=--t，g（t）=-t，若要滿足題意則h（t）max≤a≤g（t）min.因?yàn)閔（t）在（0，1]上遞增，g（t）在（0，1]上遞減，所以h（t）max=h（1）=-5，g（t）min=g（1）=1，故-5≤a≤1，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-5，1].

點(diǎn)評： 例5的求解過程，體現(xiàn)了分離參數(shù)、將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求相關(guān)函數(shù)最值問題的思路.

例6 已知函數(shù)f（x）=x-a+（x>0）.

（1） 當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值.

（2） 若對于任意的正數(shù)x， f（x）≥恒成立，求a的取值范圍.

解析： （1） 當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-1+=x+-1，x≥1，1+-x，0<x<1.當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）遞增，故f（x）≥f（1）=1;當(dāng)0<x<1時(shí)，f（x）遞減，故f（x）>1，因此f（x）的最小值為1.

（2） f（x）≥恒成立可轉(zhuǎn)化為：a-x≥-在x>0時(shí)恒成立.

當(dāng)-<0，即0<x<2時(shí)，a-x≥-恒成立，這時(shí)a∈R.

當(dāng)-≥0，即x≥2時(shí)，a-x≥-恒成立可轉(zhuǎn)化為：a-x≥-或a-x≤--恒成立，即a≥x-+或a≤x+-在x≥2時(shí)恒成立.

令h（x）=x-+，g（x）=x+-. a≥h（x）恒成立等價(jià)于a≥h（x）max，又h（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，并且當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→+∞，所以a≥h（x）max不能成立.a≤g（x）恒成立等價(jià)于a≤g（x）min，又g（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）min=g（2）=2，因此a≤2.

綜上所述，當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）≥恒成立.

點(diǎn)評： 例6第（2）小題求解的主要流程就是先將原恒等式轉(zhuǎn)化為求a-x≥-恒成立的形式，再通過去絕對值分離參數(shù)，最終通過求函數(shù)的最值來解題.

在求解含絕對值的函數(shù)問題時(shí)，要根據(jù)絕對值的意義，結(jié)合常見的含絕對值的函數(shù)的圖象和性質(zhì)，充分運(yùn)用分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化和函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想求解.

（2） 令t=x，則f（t）=1+at+t2，由x∈[0，+∞）知t∈（0，1].因此f（x）≤3在x∈[0，+∞）上恒成立等價(jià)于f（t）≤3在t∈（0，1]上恒成立，所以-3≤f（t）≤3，整理得-4-t2≤a·t≤2-t2，即--t≤a≤-t在t∈（0，1]上恒成立.

令h（t）=--t，g（t）=-t，若要滿足題意則h（t）max≤a≤g（t）min.因?yàn)閔（t）在（0，1]上遞增，g（t）在（0，1]上遞減，所以h（t）max=h（1）=-5，g（t）min=g（1）=1，故-5≤a≤1，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-5，1].

點(diǎn)評： 例5的求解過程，體現(xiàn)了分離參數(shù)、將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求相關(guān)函數(shù)最值問題的思路.

例6 已知函數(shù)f（x）=x-a+（x>0）.

（1） 當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值.

（2） 若對于任意的正數(shù)x， f（x）≥恒成立，求a的取值范圍.

解析： （1） 當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-1+=x+-1，x≥1，1+-x，0<x<1.當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）遞增，故f（x）≥f（1）=1;當(dāng)0<x<1時(shí)，f（x）遞減，故f（x）>1，因此f（x）的最小值為1.

（2） f（x）≥恒成立可轉(zhuǎn)化為：a-x≥-在x>0時(shí)恒成立.

當(dāng)-<0，即0<x<2時(shí)，a-x≥-恒成立，這時(shí)a∈R.

當(dāng)-≥0，即x≥2時(shí)，a-x≥-恒成立可轉(zhuǎn)化為：a-x≥-或a-x≤--恒成立，即a≥x-+或a≤x+-在x≥2時(shí)恒成立.

令h（x）=x-+，g（x）=x+-. a≥h（x）恒成立等價(jià)于a≥h（x）max，又h（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，并且當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→+∞，所以a≥h（x）max不能成立.a≤g（x）恒成立等價(jià)于a≤g（x）min，又g（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）min=g（2）=2，因此a≤2.

綜上所述，當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）≥恒成立.

點(diǎn)評： 例6第（2）小題求解的主要流程就是先將原恒等式轉(zhuǎn)化為求a-x≥-恒成立的形式，再通過去絕對值分離參數(shù)，最終通過求函數(shù)的最值來解題.

在求解含絕對值的函數(shù)問題時(shí)，要根據(jù)絕對值的意義，結(jié)合常見的含絕對值的函數(shù)的圖象和性質(zhì)，充分運(yùn)用分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化和函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想求解.