“多邊形面積整理和復習”教學設計與評析

教學內容：人教版數(shù)學五年上冊。

教學目標：

通過對多邊形面積這一單元的知識梳理，清晰平行四邊形、三角形、梯形及組合圖形之間的內在聯(lián)系，形成知識網絡，并能熟練地掌握它們的面積計算公式。

通過回憶、交流、操作、比較等整理復習，體會整理方法的多樣性及各種整理形式的特點，深刻體會并理解轉化的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的空間觀念。培養(yǎng)學生與人交流的能力，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。

教學重點：

學生自主梳理并完善知識結構，體會轉化思想的靈活運用。

教學難點：

理解并體會知識間的內在結構，并能合理地進行分類整理。

教學準備：課前預習單

教學過程：

一、創(chuàng)設情境，激趣引入

師：同學們，你們玩過七巧板嗎？（玩過）那你們知道七巧板里還藏著很多的數(shù)學知識呢！想不想自己動手親自擺一擺呢？

出示： 溫馨提示

1. 擺一擺：從七巧板中任意選擇3個圖形，進行拼擺，看看你能拼出什么圖形？看誰擺出的圖形多？

2. 想一想：這些圖形之間有什么關系？

3. 議一議：在拼擺中，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（學生動手操作，師巡視。）

生展示自己的作品：

師：同學們動手能力真強，拼出了我們已經學習過的長方形、平行四邊形、三角形、梯形，還有一個組合圖形。

師：這些圖形都是我們這一單元主要研究的圖形，請你仔細觀察一下，想一想這些圖形之間有什么相同點和不同點嗎？

生1：我發(fā)現(xiàn)，它們都是由3個圖形拼成的。

生2：我發(fā)現(xiàn)它們的形狀不一樣，其中還有一個是不規(guī)則的圖形。

師：是??！大家觀察得很仔細，想一想它們的面積怎樣？

生：我認為它們的面積是相等的！

師：為什么呢？能說說你的想法嗎？

生：雖然它們的形狀不同，但是它們都是用3個一樣的圖形拼成的，所以它們的面積是相等的。

師：說的真好！它們的周長相等嗎？

生：它們的周長不相等。

師：大家同意他的意見嗎？（師生驗證。）

師：你真善于發(fā)現(xiàn)。相同的三個圖形，由于位置發(fā)生了改變，拼出圖形的形狀是不一樣的，它們的周長是不同的，但是它們的面積卻是相等的，這就是圖形間的轉化。這節(jié)課我們就重點運用這種轉化的思想，一起走進“多邊形面積”這一單元，進行“整理和復習”。（板書課題。）

【評析：教師從有趣的智力學具七巧板入手，導入復習課，使學生積極投入到學習中來，以此激發(fā)學生的學習興趣。學生在拼擺中回顧所學過的知識，在等積變形中發(fā)現(xiàn)了變與不變，滲透了轉化數(shù)學思想?！?/p>

二、知識梳理，形成網絡

師：課前，同學們進行了本單元的知識梳理，結合你的“整理學習單”來匯報一下，這一單元都學習哪些知識呢？

整理學習單

梳理本單元的知識要點，找到它們之間的內在聯(lián)系。

本單元的圖形面積計算公式分別是什么？你能說出它們面積的公式推導過程嗎？

用自己的喜歡的方式進行知識歸類梳理。并與小組中的同學進行交流，說一說自己的想法。

生：我們學習了平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積，還有組合圖形的面積。

師：能結合教材的編排順序進行梳理，這是很好的整理方法。這些圖形之間有怎樣的內在聯(lián)系呢？它們的面積計算公式又是如何推導來的呢？把你的想法跟小組的同學說說，在交流之前，我們來看看溫馨提示：

溫馨提示

（1）與小組同學互相說說你的整理方法，并共同完善梳理內容。

（2）每組要在交流后選一位代表進行匯報。

（小組交流，完善自己的整理。）

師：哪個小組愿意來匯報一下你們的想法。

生1：我們組是這樣梳理的，我們按照教材的學習順序進行整理的，先整理的是平行四邊形的面積，平行四邊形的面積=底×高，然后是三角形的面積=底×高÷2，接著是梯形的面積=（上底+下底）×高÷2，然后是組合圖形的面積，我們要把組合圖形利用輔助線將它們分割成我們學過的規(guī)則圖形，再來計算，還有面積的估算。

師：這組同學能夠結合數(shù)學書上的內容，將本單元的圖形的面積進行整理和歸納，比較全面。我們看他們的整理匯報單是這樣呈現(xiàn)的。（出示第一組的整理報告單。）

生2：我們組是這樣整理的，也是根據(jù)數(shù)學書的順序進行整理的。（出示第二組的整理報告單。）

生3：我們組是這樣整理的，我們發(fā)現(xiàn)前面的平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積都是單一的圖形，而把它們合在一起，就是組合圖形了。（出示第三組的整理報告單。）

師：我們看，你們更喜歡哪組的知識梳理？還有哪組同學也是這樣梳理的？（反饋。）

第一組：知識點摘錄式

多邊形的面積

平行四邊形的面積：S=ah

三角形的面積：S=ah÷2

梯形的面積：S=（a+b）h÷2

組合圖形的面積：估算

第二組：圖文并茂式

多邊形的面積

S=ah

S=ah÷2

S=（a+b）h÷2

組合圖形的面積：估算

第三組：網絡式

S=ab S=ah S=ah÷2 S=（a+b）h÷2

組合圖形的面積

【評析：這部分內容的設計，體現(xiàn)了以學生為主體，教師為主導的新課程教育理念。學生在自主梳理知識時的思考，更多的是按照教材教學內容的先后順序來梳理的，這樣梳理符合學生思維的有序性，是初步整理知識的基礎?！?/p>

三、討論交流，形成知識脈絡圖

師：我們看第三組的知識梳理（網絡式），他們的這種梳理，很明顯地是將本單元的知識分成了兩類，你知道是按什么分類的嗎？

生：我想是按圖形的個數(shù)來分類的，單一的基本圖形和組合圖形。

師：大家同意嗎？真善于觀察，我們先來看基本的圖形，我們一起再來回顧，本單元我們認識的平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積，它們的面積公式又是如何推導來的呢？這幾個圖形之間又有怎樣的內在聯(lián)系呢？把你們的想法用自己喜歡的方式記錄下來，并把你的想法先在小組內交流一下！

（小組交流、討論，并形成自己組的知識脈絡圖。）

師：哪個小組愿意來匯報一下？

生1：我們先學習的是平行四邊形的面積，我們是通過轉化的方法，將平行四邊形轉化成長方形，然后發(fā)現(xiàn)：平行四邊形的底相當于長方形的長，平行四邊形的高相當于長方形的寬，從而推導出平行四邊形的面積是：S=ah。（配課件演示。）

師：你是如何將平行四邊形轉化成長方形的呢？

生：我是先做出平行四邊形的高，沿高剪下，將得到的三角形向右平移，轉化成長方形的。

師：（追問）為什么你要沿高剪下呢？

生：因為只有沿高剪下，才能得到直角，才能轉化成長方形。

師：看來這部分知識你掌握得很好，謝謝你。

生2：我們組發(fā)現(xiàn)兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形，所以三角形的面積就是平行四邊形面積的一半： S=ah÷2。 （配課件演示。）

生3：我們發(fā)現(xiàn)兩個完全一樣的梯形也能拼成一個平行四邊形，所以梯形的面積是：S=（a+b）h÷2 。（配課件演示。）

師：我們通過剛才的匯報，看到無論是三角形還是梯形，都可以轉化成平行四邊形，這讓我們看到平行四邊形是我們學習三角形和梯形的知識基礎。

師：大家說得真好，正方形、平行四邊形和三角形以及梯形，它們之間有什么關系呢？我們該怎樣擺放它們的位置？（師生討論，進行知識的系統(tǒng)梳理。）

生：我發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積是根據(jù)長方形的面積推導來的，而三角形的面積和梯形的面積都是由平行四邊形的面積推導來的，所以我認為應該是由長方形的面積推出平行四邊形的面積，而平行四邊形的面積又是三角形和梯形面積公式推導的基礎。

師： 同學們，我們再來看這四個圖形，它們之間還存在哪些深層的聯(lián)系呢？請同學們再次借助手中的“七巧板”來拼一拼，擺一擺，看看還有什么新發(fā)現(xiàn)？（學生拼擺。）

生1：我們組發(fā)現(xiàn)，兩個完全一樣的三角形可以拼成平行四邊形和長方形。

生2：我補充，我們學過平行四邊形是特殊的長方形。

師：（追問）當平行四邊形怎樣變化的時候才能成為長方形呢？

生：就是當左右兩條平行邊與底邊成直角的時候，就是長方形了。

師：你的意思是說當平行四邊形的四個角都是直角的時候，這兩組平行邊互相垂直的時候，平行四邊形就轉化成了長方形。

師：其實兩個三角形還可以拼成一個更大的三角形呢！

師：那梯形和三角形之間又有什么關系呢？

生：梯形可以分成兩個三角形。

師：說得對，添加輔助線后，梯形就可以分割成兩個三角形。

師（追問）：如果不添加輔助線，想一想：梯形在什么情況下可以變成三角形呢？（此時，課件出現(xiàn)梯形的上、下兩條邊的變化，啟發(fā)學生思考。）

生：如果梯形的上底不斷地變短，最后上底的長度為0的時候，梯形就變成了三角形。

師：（用幾何畫板演示。）是這樣嗎？

師：真了不起！我們已經發(fā)現(xiàn)平行四邊形通過改變角度轉化成長方形，梯形通過改變上底的長度，轉化成三角形，那梯形怎樣變化能轉化成平行四邊形呢？（幾何畫板演示。）

生：我發(fā)現(xiàn)我們可以改變梯形的下底的長度，讓下底的長度與上底一樣長的時候，就轉化成了平行四邊形。因為平行四邊形必須是兩組對邊平行且相等。

師：你真了不起，能抓住平行四邊形的特點來思考。我們驗證一下（幾何畫板驗證。）

師：通過剛才的分析，我們發(fā)現(xiàn)這四個圖形之間，還存在著能相互轉化的內在聯(lián)系，而這轉化的數(shù)學思想在其中起著重要的作用。此時，它們之間的關系還可以怎樣表示？

（學生到黑板進行重新的梳理，找到它們之間的內在聯(lián)系）。

師：看來知識之間是有內在聯(lián)系的，通過轉化的數(shù)學思想可以幫助我們更加深入地理解知識、掌握知識。

師：（補充）大家看，其實還有這樣的方法也可以進行圖形間的轉化，不僅讓我們看到圖形間的內在聯(lián)系，同時，我們可以根據(jù)這個聯(lián)系，記住它們的面積計算公式。（師課件演示并講解。）

下面僅以三角形為例，我們來看看圖形間的內在聯(lián)系。

師：通過剛才的演示，我們可以看到三角形既可以轉化成平行四邊形，又可以轉化成長方形，而這其中轉化的方法還不止一種，可見，圖形間存在著密切的聯(lián)系，這些內在的聯(lián)系可以幫助我們更好地理解知識，將所學的知識融會貫通。

【評析：這一環(huán)節(jié)的設計，在充分尊重了學生的學習主體地位，在與學生交流中，通過說一說、擺一擺、想一想、議一議等多種數(shù)學活動，引導學生看到圖形之間除了可以用我們學過的割補法進行圖形間的轉化，改變邊的長度，角的度數(shù)，同樣可以進行圖形間的轉換，從而深層地挖掘知識間的內在聯(lián)系。同時滲透了極限的數(shù)學思想方法。】

四、綜合運用 拓展延伸

師：我們如何來求組合圖形的面積呢？請看這個圖形，你能想出幾種方法？

（生在課堂練習單上進行嘗試計算，想出了4種不同的算法。）

重點匯報方法一，師追問：你是如何分的？

生：我是從頂點開始，向對邊做了一條垂線，將組合圖形分成了兩個梯形。

師：為什么要做高呢？

生：因為做高之后，才能保證梯形的上下底邊平行。

師：看來只有沿高分，才能出現(xiàn)直角，才能與上底平行，從而實現(xiàn)分成兩個梯形的目的?？磥磔o助線的添加方法是需要我們仔細思考的。如果是沿高分開的要注意添加直角符號。

師：我們看這四種方法，前三種方法都采用了“分割”的方法，將組合圖形利用輔助線，切割成了我們熟悉的圖形，而第四種方法用了“拼補”的方法，將組合圖形利用輔助線補成了一個長方形，這就是我們求組合圖形常用到的“割補”的方法。

師：此外，我們還在組合圖形中學習了對面積的估算，這需要我們具有很豐富的生活經驗。還可以借助格子圖來先數(shù)一數(shù)，再來估一估。

【評析：這一環(huán)節(jié)的教學設計，借助組合圖形的多種解法，不僅訓練了學生的發(fā)散思維，同時，也使學生強化了求組合圖形的面積經?？梢杂玫健案钛a”的方法，不僅發(fā)展了學生的空間觀念，同時也滲透了基本數(shù)學思想和基本活動經驗?！?/p>

五、鞏固練習

1.這是我們少先隊的隊旗，它的長邊是30厘米，寬邊是20厘米，請你先估一估，再算一算，看誰想出的方法多？

方法預設：

2.綠色（陰影）部分是需要綠化的區(qū)域，你知道它的面積嗎？

3.小小設計師

這是大家喜歡的“七巧板”，請你先拼出自己喜歡的圖案，再想辦法算一算拼出的圖案的面積。

作品展：

生：我拼出的圖案是小魚，它的面積就是七巧板的總面積，我量出它的邊長是40厘米，它的面積就是40×40=1600（平方厘米）。

師：這是我們同學拼成的圖案，這個圖案的面積是多少？大家知道嗎？

生1：我們可以通過量一量每個圖形的底和高，再計算出它們的面積，最后相加就能求出圖案面積了。

生：我想應該是1 600平方厘米的一半，是800平方厘米。

師：說說你的想法。

生：因為這個圖案用的是5個圖形，正好是整個七巧板面積的一半。

師：你真是個善于思考，更善于觀察的孩子。

師：你真聰明呀！巧妙地運用了我們這節(jié)課學習的轉化的數(shù)學思想，就解決了這個問題。通過這節(jié)復習課相信大家對本單元的知識有了更加深入的理解。

【評析：這一環(huán)節(jié)的設計，比較開放，給學生留有很大的思維空間，學生可以根據(jù)自己的想象拼成不同的圖形。在面積的計算上，體現(xiàn)了算法多樣化，合乎新課標要求，照顧了知識的整體結構，拓展了學生的思維空間，培養(yǎng)了學生的空間觀念?！?/p>

編輯/魏繼軍