一個(gè)擴(kuò)展的可積Broer－Kaup方程族

于 義

孤立子與可積系統(tǒng)方向是當(dāng)今非線性科學(xué)研究的主流方向，在光纖通訊、淺水波、等離子體、磁流體、超導(dǎo)等科技領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用背景。其研究涉及眾多主干數(shù)學(xué)分支，包括常微分方程、偏微分方程、泛函分析、微分幾何、橢圓函數(shù)、代數(shù)函數(shù)、代數(shù)曲線、微分拓?fù)?、辛幾何、李群與李代數(shù)及表示論、無(wú)窮維李代數(shù)等［1－4］。該研究對(duì)許多數(shù)學(xué)分支及交叉學(xué)科的發(fā)展都有著重要影響和促進(jìn)作用。自從反散射方法發(fā)現(xiàn)以來(lái)，可積系統(tǒng)及孤立子理論不僅在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物通訊領(lǐng)域得到了廣泛深入的研究和應(yīng)用，而且迅速拓展到生物、光學(xué)、材料、天體等自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。作為非線性科學(xué)的核心問(wèn)題，可積孤子方程有幾個(gè)重大的特征:一是孤立子解，二是Backlund變換，三是無(wú)窮多守恒律，四是散射反演法。正是這些特點(diǎn)促使可積系統(tǒng)成為當(dāng)今世界研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一［5－7］。本文將利用圈－李代數(shù)方法構(gòu)造一個(gè)新的可積方程族。

1 矩陣圈代數(shù)

它們具有如下的交換子運(yùn)算

定義階為

2 擴(kuò)展的Broer－Kaup方程族

由駐定零曲率方程

得

則方程(5)化為

可知，(7)左面的階≥0，而右面的階≤0。因此，(7)的階為0。由此

取修正項(xiàng) Vn，即 V(n)=+Vn，Vn=cn+1e1(0).

進(jìn)而，由零曲率方程

得

其中 J 為 Hamiltonian 算子，M1=－u3－u3+2u2－2u2－1u2，

M2=－－u1－2u2－1+u4+u1u4，M3=－2－1u2－+u1+u4－u1u4.

利用(6)，可以得到遞推算子L，

這里 l1=u3+－1u3－2u2－2－1，l2=2u4－1u2+4－1u2，

l3=2－1u2+u1－，l4=+u1+2 u2－1.

因此，系統(tǒng)(9)可以寫為

當(dāng)n=2時(shí)，得到下面的非線性演化方程

特別地，在(11)中，取 u1=q，u2=r，u3=u4=0，得

方程(12)恰為著名的Broer－Kaup方程。由此可見方程族(10)為Broer－Kaup方程的擴(kuò)展可積模型。

［1］谷超豪.孤立子理論與應(yīng)用［M］.杭州:浙江科技出版社，1990.

［2］谷超豪.孤立子理論中的Darboux變換及其幾何應(yīng)用［M］.上海:上?？萍汲霭嫔?，1999.

［3］李翊神.孤立子與可積系統(tǒng)［M］.上海:上海科技出版社，1999.

［4］曹策問(wèn).保譜方程的換位表示［J］.科學(xué)通報(bào)，1989，34(10):723－725.

［5］馬文秀.一個(gè)新的Liouville可積的廣義Hamilton方程族及其約化［J］.數(shù)學(xué)年刊，1992(1):115－124.

［6］Zhenya Yan.Two types of hierarchies of evolution equations associated withthe extended Kaup－Newell spectral problem with an arbitrary smooth function［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2003，15(4):639－645.

［7］Guizhang Tu.A trace identity and its application to integrable systems of 1+2 dimensions［J］.J.Math.Phys，1991，32(7):1900－1907.