耦合網(wǎng)絡(luò)邊相繼故障模型研究

王建偉，蔣 晨，孫恩慧

東北大學(xué) 工商管理學(xué)院，沈陽 110819

耦合網(wǎng)絡(luò)邊相繼故障模型研究

王建偉，蔣 晨，孫恩慧

東北大學(xué) 工商管理學(xué)院，沈陽 110819

針對(duì)耦合網(wǎng)絡(luò)上頻發(fā)的相繼故障問題，通過分析邊級(jí)聯(lián)故障蔓延的動(dòng)力學(xué)演化機(jī)制，構(gòu)建耦合網(wǎng)絡(luò)上邊相繼故障模型。以提高耦合網(wǎng)絡(luò)整體抵制相繼故障能力為出發(fā)點(diǎn)，依據(jù)不同度量指標(biāo)，多角度分析具有不同耦合模式的耦合網(wǎng)絡(luò)魯棒性與模型參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)性，研究耦合網(wǎng)絡(luò)間耦合模式和網(wǎng)絡(luò)基本模型等因素對(duì)相繼故障的影響，探討耦合網(wǎng)絡(luò)邊相繼故障模型的整體保護(hù)策略。研究結(jié)果表明，同配連接模式能夠增強(qiáng)耦合網(wǎng)絡(luò)抵制級(jí)聯(lián)故障的魯棒性；相互依賴的兩個(gè)耦合網(wǎng)絡(luò)之間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)越相似，網(wǎng)絡(luò)抵制相繼故障的魯棒性越強(qiáng)；耦合網(wǎng)絡(luò)魯棒性與網(wǎng)絡(luò)平均度正相關(guān)；適當(dāng)?shù)脑黾玉詈暇W(wǎng)絡(luò)間對(duì)稱邊數(shù)量，能夠有效提高網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。最后，應(yīng)用邊相繼故障模型在耦合電力網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行實(shí)例分析。

相繼故障；耦合網(wǎng)絡(luò)；連接模式；魯棒性

1 引言

近年來，國內(nèi)外突發(fā)事件頻繁發(fā)生，如意大利大停電事故、禽流感病毒傳播、松花江水污染、印度洋海嘯、金融危機(jī)等，這些事件都可以看作是相繼故障引發(fā)的災(zāi)難。大規(guī)模相繼故障一旦發(fā)生，往往會(huì)給國家造成嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失，也會(huì)對(duì)人們生活帶來諸多不利的影響。為應(yīng)對(duì)相繼故障引發(fā)的各種災(zāi)難，國內(nèi)外學(xué)者展開了廣泛的研究。已有對(duì)相繼故障領(lǐng)域的研究主要聚焦在單層次網(wǎng)絡(luò)上，但通過對(duì)2003年意大利停電事故導(dǎo)致互聯(lián)網(wǎng)癱瘓以及2012年印度斷電事故導(dǎo)致一系列連鎖災(zāi)害等突發(fā)事件的驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，許多關(guān)鍵網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)上發(fā)生的相繼故障災(zāi)難大多是由于網(wǎng)絡(luò)間具有耦合作用關(guān)系導(dǎo)致的。在耦合網(wǎng)絡(luò)中，一層網(wǎng)絡(luò)上出現(xiàn)微小的故障，可能導(dǎo)致多層相互依賴的網(wǎng)絡(luò)間發(fā)生故障的連鎖反應(yīng)。并且，許多關(guān)于耦合網(wǎng)絡(luò)相繼故障模型的研究中僅考慮網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的行為，忽略了邊在相繼故障蔓延中的作用。另外，由于耦合網(wǎng)絡(luò)的研究起步較晚，對(duì)于控制相繼故障發(fā)生、提高網(wǎng)絡(luò)魯棒性等方面尚未進(jìn)行充分的研究，雖然僅僅依靠單層次網(wǎng)絡(luò)上相繼故障模型來探討有效的預(yù)防策略有一定的作用，但這個(gè)框架與一個(gè)能正常運(yùn)轉(zhuǎn)的系統(tǒng)還有很大的差距。

基于此，本研究選取耦合網(wǎng)絡(luò)作為研究對(duì)象，從邊的角度建立相繼故障模型，基于模型給出有效的保護(hù)策略，為指導(dǎo)現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的構(gòu)建提供借鑒和參考。

2 相關(guān)研究評(píng)述

相繼故障現(xiàn)象普遍發(fā)生在許多關(guān)鍵的基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)中，如電力網(wǎng)絡(luò)上的大規(guī)模停電事故[1]、交通網(wǎng)絡(luò)中的大范圍擁堵現(xiàn)象[2]、Internet網(wǎng)絡(luò)上計(jì)算機(jī)病毒傳播[3]等。為此，許多學(xué)者針對(duì)相繼故障問題展開大量的研究，并得到許多有價(jià)值的結(jié)論，通過對(duì)相繼故障理論的研究，能夠合理地解釋現(xiàn)實(shí)生活中重大災(zāi)難的演化機(jī)制。有關(guān)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)相繼故障的研究大多是從節(jié)點(diǎn)屬性的角度建立模型，最早的研究是基于網(wǎng)絡(luò)介數(shù)建立負(fù)荷容量模型。Motter等[4]研究發(fā)現(xiàn)，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的異質(zhì)性導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)負(fù)荷分布的極度不均勻，是呈現(xiàn)的脆弱性的關(guān)鍵所在；Zhao等[5]通過分析影響網(wǎng)絡(luò)魯棒性的臨界點(diǎn)，提出有效地預(yù)防無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)大規(guī)模連鎖崩潰的保護(hù)措施。然而，計(jì)算介數(shù)必須要了解網(wǎng)絡(luò)的全局信息，由于一些現(xiàn)實(shí)的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)規(guī)模龐大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，很難獲取全局信息。針對(duì)于此，Zheng等[6]從網(wǎng)絡(luò)擁塞的角度提出節(jié)點(diǎn)負(fù)荷新的定義方式，并對(duì)導(dǎo)致相繼故障發(fā)生的一系列影響因素展開詳細(xì)分析；任俊亮等[7]基于節(jié)點(diǎn)剩余容量的負(fù)載重分策略，建立了一個(gè)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的相繼故障模型；Cao等[8]基于節(jié)點(diǎn)度函數(shù)和超負(fù)荷節(jié)點(diǎn)局域擇優(yōu)重新分配原則建立相繼故障模型。為了有效解決實(shí)際問題，王皓[9]構(gòu)建Web服務(wù)交互網(wǎng)絡(luò)演化模型，基于兩種引發(fā)相繼故障的策略，研究服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的相繼故障現(xiàn)象；陳星光等[10]構(gòu)建城市交通系統(tǒng)的耦合映像格子模型，利用該模型研究城市交通系統(tǒng)的相繼故障問題；宋毅等[11]研究相繼故障的時(shí)序問題，構(gòu)建了具有時(shí)序特征的相繼故障演化模型。為提高網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，朱凌峰等[12]基于節(jié)點(diǎn)有效路徑的路由策略進(jìn)行改進(jìn)，能夠在基本不增加網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)包平均傳輸延時(shí)的基礎(chǔ)上有效地提高網(wǎng)絡(luò)吞吐量；段東立等[13]分析過載機(jī)制下節(jié)點(diǎn)重要度的演化機(jī)理，即非關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)如何演化成影響網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)故障行為的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)；Tessone等[14]從網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)能力臨界參數(shù)的角度，建立相繼故障模型，通過賦予節(jié)點(diǎn)能力一定的安全閾值，實(shí)現(xiàn)有效地降低故障連鎖反應(yīng)對(duì)網(wǎng)絡(luò)造成災(zāi)難性的破壞。

在關(guān)注網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)屬性的同時(shí)，許多學(xué)者也從邊的角度展開探討，Holme[15]基于邊的介數(shù)定義節(jié)點(diǎn)負(fù)荷；Wang等[16]根據(jù)加權(quán)流局域分配的原則，建立邊相繼故障負(fù)荷-容量模型，研究發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)絡(luò)中起傳輸作用的邊同樣在相繼故障中占據(jù)著舉足輕重的地位。

實(shí)際上，許多關(guān)鍵生命線系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中大規(guī)模相繼故障的發(fā)生往往是由多網(wǎng)絡(luò)間具有相互耦合的關(guān)系所導(dǎo)致的，如2003年意大利發(fā)生的互聯(lián)網(wǎng)與電力網(wǎng)絡(luò)相互影響導(dǎo)致的近乎全國性的斷電事件(只有西西里幸免)以及互聯(lián)網(wǎng)癱瘓事件。Buldyrev等[17]基于意大利真實(shí)的地理位置，模擬2003年爆發(fā)在電力網(wǎng)-計(jì)算機(jī)耦合網(wǎng)絡(luò)上的相繼故障現(xiàn)象，解釋了由于1個(gè)供電站失效導(dǎo)致的近乎全國性的大規(guī)模停電和互聯(lián)網(wǎng)癱瘓事件，從耦合網(wǎng)絡(luò)的角度分析多層網(wǎng)絡(luò)間大規(guī)模相繼故障的發(fā)生原因，并闡述了許多大規(guī)模災(zāi)難不僅僅是相繼故障在單層網(wǎng)絡(luò)上蔓延擴(kuò)散的事實(shí)情況，開辟了有關(guān)耦合網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域的研究先河。之后，Parshani等[18]、Shao等[19]在Buldyrev等[17]研究的基礎(chǔ)上，突破已有耦合網(wǎng)絡(luò)研究體系的局限，提出基于網(wǎng)絡(luò)間局部隨機(jī)耦合的理論研究框架，探討網(wǎng)絡(luò)間局部耦合的兩層次網(wǎng)絡(luò)模型的魯棒性，并得到許多有價(jià)值的結(jié)論。

有關(guān)耦合網(wǎng)絡(luò)相關(guān)性質(zhì)的研究，許多已有的成果都是基于滲流理論展開的。Buldyrev等[17]最早關(guān)注兩個(gè)相互依賴網(wǎng)絡(luò)遭遇相繼故障的滲流變化過程；Hu等[20]也應(yīng)用滲流理論研究耦合網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，發(fā)現(xiàn)滲流曲線呈現(xiàn)一階和二階混合過渡的變化過程是由于網(wǎng)絡(luò)間存在相互依賴的連邊所致；Dong等[21]應(yīng)用滲流理論研究局部耦合的加權(quán)網(wǎng)絡(luò)遭遇蓄意襲擊的魯棒性；李穩(wěn)國等[22]分析邊攻擊下的相互依賴網(wǎng)絡(luò)相繼故障滲流及其結(jié)果。在兩層次耦合網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上，部分學(xué)者針對(duì)多層耦合網(wǎng)絡(luò)上發(fā)生的相繼故障研究滲流曲線的變化規(guī)律，Gao等[23]探討樹型和環(huán)型的多層耦合網(wǎng)絡(luò)，Dong等[24]研究樹型全局耦合和星型局部耦合的多層網(wǎng)絡(luò)模型。廣泛應(yīng)用于物理和數(shù)學(xué)領(lǐng)域的滲流理論也適用于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)相關(guān)的研究，能夠詮釋網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和脆弱性，分析襲擊策略的有效性，并預(yù)測(cè)滲流臨界值等。

耦合網(wǎng)絡(luò)的研究起步較晚，在2010年以前，有關(guān)相繼故障理論的研究和應(yīng)用主要聚焦在單層次網(wǎng)絡(luò)。而許多關(guān)于耦合網(wǎng)絡(luò)相繼故障模型的研究中，僅考慮網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)上的行為，而忽略了網(wǎng)絡(luò)中連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的邊扮演的重要角色，并且有關(guān)應(yīng)用領(lǐng)域的研究尚未充分展開。本研究重點(diǎn)分析邊在耦合網(wǎng)絡(luò)相繼故障繁衍中扮演的角色，通過詳細(xì)分析耦合網(wǎng)絡(luò)上相繼故障的動(dòng)力學(xué)演化機(jī)制，提出耦合網(wǎng)絡(luò)上邊相繼故障模型；依據(jù)提出的幾種度量網(wǎng)絡(luò)魯棒性的指標(biāo)，研究耦合網(wǎng)絡(luò)間的耦合連接模式和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，給出抵制相繼故障最穩(wěn)健的耦合網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)以及耦合網(wǎng)絡(luò)上整體的保護(hù)措施。

3 相繼故障模型

在建立耦合網(wǎng)絡(luò)的相繼故障模型時(shí)，僅關(guān)注由兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的相互依賴耦合網(wǎng)絡(luò)，即網(wǎng)絡(luò)A和網(wǎng)絡(luò)B，定義兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)具有相同的網(wǎng)絡(luò)規(guī)模，且網(wǎng)絡(luò)A中的節(jié)點(diǎn)與網(wǎng)絡(luò)B中的節(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，相互依賴。如果網(wǎng)絡(luò)A中的1個(gè)節(jié)點(diǎn)失效，將導(dǎo)致與之相互依賴的網(wǎng)絡(luò)B中的節(jié)點(diǎn)也隨之失效；反之，如果網(wǎng)絡(luò)B中的1個(gè)節(jié)點(diǎn)失效，將導(dǎo)致與之相互依賴的網(wǎng)絡(luò)A中的節(jié)點(diǎn)也失效。

耦合網(wǎng)絡(luò)上相繼故障的蔓延過程如圖1所示，初始階段網(wǎng)絡(luò)中沒有節(jié)點(diǎn)和邊的失效，圖中實(shí)心的節(jié)點(diǎn)表示正常的節(jié)點(diǎn)，空心的節(jié)點(diǎn)表示失效的節(jié)點(diǎn)，虛線表示即將要失效的邊。圖1(a)中，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中的邊A3A5由于人為的襲擊或移除(圖中attack)導(dǎo)致失效，網(wǎng)絡(luò)A分裂成兩個(gè)獨(dú)立的團(tuán)體，在每個(gè)團(tuán)體內(nèi)部所有節(jié)點(diǎn)都是健康的并相互連通，將這種團(tuán)體稱之為功能團(tuán)，那么網(wǎng)絡(luò)A分裂成為兩個(gè)不同的功能團(tuán)，分別是節(jié)點(diǎn){A1、A2、A3}所在的功能團(tuán)和節(jié)點(diǎn){A4、A5、A6、A7}所在的功能團(tuán)。依據(jù)Buldyrev等[17]對(duì)耦合網(wǎng)絡(luò)上功能團(tuán)的定義方式，下一階段網(wǎng)絡(luò)B也將分裂成與網(wǎng)絡(luò)A一一對(duì)應(yīng)的相互獨(dú)立的功能團(tuán)，連接在兩個(gè)功能團(tuán)上的所有連邊B3B4、B1B5隨之失效，如圖1(b)所示。此時(shí)的網(wǎng)絡(luò)B分裂成3個(gè)不同的功能團(tuán){B1、B2}、{B3}、{B4、B5、B6、B7}，節(jié)點(diǎn)B3分裂成孤立的節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)B3失效，網(wǎng)絡(luò)A與網(wǎng)絡(luò)B之間的連邊A3?B3隨之?dāng)嚅_(圖中×)；B3通過A?B耦合在網(wǎng)絡(luò)A的節(jié)點(diǎn)A3隨之失效，與節(jié)點(diǎn)A3相連的所有連接也相繼失效，如圖1(c)所示。圖1(d)為沒有相繼故障的蔓延，網(wǎng)絡(luò)最終的穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)很多種情況，如包含N(N≥0)個(gè)功能團(tuán)，但是只有最大的功能團(tuán)才是被關(guān)注的。

(a) (b) (c) (d)

圖1相繼故障在耦合網(wǎng)絡(luò)上傳播過程
Figure1PropagationProcessofCascadingFailuresinCoupledNetworks

網(wǎng)絡(luò)A中的部分節(jié)點(diǎn)和網(wǎng)絡(luò)B中的部分節(jié)點(diǎn)分別記為集合a和集合b，稱集合a和b構(gòu)成耦合網(wǎng)絡(luò)上彼此相互連接的最大功能團(tuán)，當(dāng)且僅當(dāng)滿足以下條件。①集合a中的節(jié)點(diǎn)與集合b中的節(jié)點(diǎn)之間一一對(duì)應(yīng)、相互耦合；②集合a中的所有節(jié)點(diǎn)之間能夠通過某種連邊路徑彼此相互連通；③集合b中的所有節(jié)點(diǎn)之間能通過某種連邊路徑彼此相互連通；④耦合網(wǎng)絡(luò)上都不能再增加其他相互耦合的節(jié)點(diǎn)來滿足上述所有條件，則稱集合a和b構(gòu)成耦合網(wǎng)絡(luò)上彼此相互連接的功能團(tuán)。在耦合網(wǎng)絡(luò)上，只有彼此相連的功能團(tuán)才能發(fā)揮潛在的功能。滿足上述所有條件的彼此相互連接的功能團(tuán)可能不止1個(gè)，如果滿足上述所有條件外，也滿足⑤該相互連接的功能團(tuán)相比耦合網(wǎng)絡(luò)上其他的相互連接的功能團(tuán)擁有最多的節(jié)點(diǎn)數(shù)量。根據(jù)上述對(duì)耦合網(wǎng)絡(luò)功能團(tuán)的定義，圖1(d)中節(jié)點(diǎn)A4所在的彼此相連的功能團(tuán)為耦合網(wǎng)絡(luò)中最大的功能團(tuán)。

4 耦合網(wǎng)絡(luò)模型

4.1 網(wǎng)絡(luò)模型選擇

為了更好地研究影響耦合網(wǎng)絡(luò)魯棒性的因素，構(gòu)建出合理的耦合網(wǎng)絡(luò)模型至關(guān)重要。在本研究中，網(wǎng)絡(luò)基本拓?fù)淠Ｐ偷倪x擇主要聚焦于兩種經(jīng)典的網(wǎng)絡(luò)模型，即BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型[25]和ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型[26]。在構(gòu)建BA網(wǎng)絡(luò)時(shí)，設(shè)定參數(shù)值m=2，m0=3，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)N=5 000。依據(jù)BA網(wǎng)絡(luò)模型原理可知，生產(chǎn)的BA網(wǎng)絡(luò)的平均度〈k〉=2m，即網(wǎng)絡(luò)的平均度〈k〉=4。在構(gòu)建ER網(wǎng)絡(luò)時(shí)，設(shè)定模型中參數(shù)p=0.0008，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)N=5 000，網(wǎng)絡(luò)的平均度〈k〉≈4。

4.2 網(wǎng)絡(luò)間耦合模式設(shè)計(jì)

耦合網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)相繼故障的動(dòng)力學(xué)過程起著至關(guān)重要的作用，對(duì)于1個(gè)給定的基本網(wǎng)絡(luò)模型(BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)或ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò))，耦合網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的不同主要取決于兩層網(wǎng)絡(luò)之間連接模式的差異。本研究在構(gòu)建相互依賴的耦合網(wǎng)絡(luò)模型時(shí)，主要采用隨機(jī)連接、同配連接和異配連接3種不同的耦合連接模式。

(1)隨機(jī)連接(random link, RL)。網(wǎng)絡(luò)A中的節(jié)點(diǎn)隨機(jī)連接網(wǎng)絡(luò)B中的節(jié)點(diǎn)，并構(gòu)成兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)間一對(duì)一的連接模式。

(2)同配連接(assortative link, AL)。網(wǎng)絡(luò)A中節(jié)點(diǎn)和網(wǎng)絡(luò)B中的節(jié)點(diǎn)按照節(jié)點(diǎn)度大小連接，即網(wǎng)絡(luò)A中度大的節(jié)點(diǎn)連接網(wǎng)絡(luò)B中度大的節(jié)點(diǎn)，并構(gòu)成兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)間一對(duì)一的連接模式。

(3)異配連接(disassortative link, DL)。與同配連接相反，網(wǎng)絡(luò)A中度大的節(jié)點(diǎn)連接網(wǎng)絡(luò)B中度小的節(jié)點(diǎn)，并構(gòu)成兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)間一對(duì)一的連接模式。

5 耦合網(wǎng)絡(luò)抵制邊相繼故障的魯棒性分析

5.1 度量指標(biāo)的確定

為了更好地研究耦合網(wǎng)絡(luò)上的相繼故障現(xiàn)象，更全面地量化網(wǎng)絡(luò)整體抵制相繼故障的能力，從全局性角度衡量整個(gè)耦合網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，提出4種度量指標(biāo)。

(1)失效節(jié)點(diǎn)歸一化指標(biāo)S。在耦合網(wǎng)絡(luò)邊的相繼故障模型中，邊的失效可能會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)失效，指標(biāo)S表示網(wǎng)絡(luò)中失效節(jié)點(diǎn)的數(shù)量占網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點(diǎn)數(shù)量的比重。通過計(jì)算網(wǎng)絡(luò)中邊的失效導(dǎo)致失效節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，能夠度量網(wǎng)絡(luò)抵制相繼故障的穩(wěn)定性。計(jì)算公式為

(1)

其中，p為網(wǎng)絡(luò)中移除的邊占全部邊的數(shù)量的比例，Np為移除比例為p的邊以后失效節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，N為一個(gè)單層次網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的總數(shù)。

(2)耦合網(wǎng)絡(luò)失效點(diǎn)數(shù)量占單層網(wǎng)絡(luò)的比例p(s)。為了更好的對(duì)比不同的耦合連接模式對(duì)網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，并對(duì)比相繼故障對(duì)單層次網(wǎng)絡(luò)的影響，以建立最優(yōu)的抵制相繼故障的耦合網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)。p(s)表示耦合網(wǎng)絡(luò)相比單層網(wǎng)絡(luò)所增加的額外脆弱程度，即

(2)

其中，Sc為耦合網(wǎng)絡(luò)失效節(jié)點(diǎn)的總數(shù)，Ss為單層次網(wǎng)絡(luò)失效節(jié)點(diǎn)的數(shù)量。

(3)失效邊歸一化指標(biāo)F。計(jì)算移除比例為p的邊后所導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)中其他邊失效的數(shù)量f，0≤f≤N(1-p)。由于選擇進(jìn)行數(shù)值模擬的耦合網(wǎng)絡(luò)具有不同的連邊數(shù)量，為了量化整個(gè)網(wǎng)絡(luò)抵制相繼故障的魯棒性，采用失效邊的歸一化指標(biāo)，即

(3)

其中，EA∪B為耦合網(wǎng)絡(luò)上所有連邊數(shù)量和。

(4)衡量耦合網(wǎng)絡(luò)連通性的歸一化指標(biāo)P∞。基于趙月[2]對(duì)度量指標(biāo)P∞的定義，P∞為移除比例為p的連邊引發(fā)的網(wǎng)絡(luò)上相繼故障蔓延結(jié)束后，隨機(jī)選取1條邊，這條邊包含在最大功能團(tuán)中的概率，0≤P∞≤1。在耦合網(wǎng)絡(luò)中，只有彼此相互連通的功能團(tuán)才具有研究意義。因此，無相繼故障蔓延后剩余的最大功能團(tuán)代表著耦合網(wǎng)絡(luò)中能夠發(fā)揮效用的最大功能團(tuán)，最大功能團(tuán)中節(jié)點(diǎn)的數(shù)量越多，說明網(wǎng)絡(luò)仍可保持基本的連通性。如果在移走少量邊后，耦合網(wǎng)絡(luò)之間絕大部分的節(jié)點(diǎn)仍然能通過網(wǎng)絡(luò)中存在的邊相互連通，那么則稱該網(wǎng)絡(luò)的連通性對(duì)抵制故障具有魯棒性。因此，P∞的值與網(wǎng)絡(luò)的魯棒性之間正相關(guān)，即P∞值越大，網(wǎng)絡(luò)抵制相繼故障的能力越強(qiáng)，反之網(wǎng)絡(luò)越脆弱。

5.2 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的對(duì)比分析

選擇BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)作為研究對(duì)象，對(duì)比分析由BA網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的耦合網(wǎng)絡(luò)上相繼故障的蔓延情況，構(gòu)建6種不同的耦合網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)，分別為BA-BA(RL)、BA-BA(AL)、BA-BA(DL)、BA-ER(RL)、BA-ER(AL)和BA-ER(DL)，兩層次相互依賴的耦合網(wǎng)絡(luò)模型在數(shù)值模擬圖中簡(jiǎn)寫為bbr、bba、bbd、ber、bea和bed；對(duì)比單層BA網(wǎng)絡(luò)，所有采用的網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N=5 000，平均度〈k〉≈4。

本研究模擬了6種不同架構(gòu)的耦合網(wǎng)絡(luò)與單層BA網(wǎng)絡(luò)在移除比例為p的連邊，即移除E·p數(shù)量的連邊后引發(fā)相繼故障的蔓延結(jié)果(E為網(wǎng)絡(luò)邊數(shù)量)，并使用失效節(jié)點(diǎn)歸一化S、失效點(diǎn)比例p(s)、失效邊歸一化指標(biāo)F和P∞共4種度量指標(biāo)量化網(wǎng)絡(luò)抵制相繼故障的魯棒性。數(shù)值模擬結(jié)果如圖2所示，圖中每條曲線的模擬結(jié)果都是20個(gè)不同耦合網(wǎng)絡(luò)上相繼故障數(shù)值模擬的平均結(jié)果。

(a) (b)

(c) (d)

圖2不同連接模式下耦合網(wǎng)絡(luò)模型與BA單層網(wǎng)絡(luò)的對(duì)比
Figure2ComparisonbetweenCoupledNetworksandSingleBANetworkwithDifferentLinkPatterns

圖2給出6種不同的耦合網(wǎng)絡(luò)模型與單層BA網(wǎng)絡(luò)的失效節(jié)點(diǎn)數(shù)量對(duì)比情況。依據(jù)各度量指標(biāo)的定義，失效節(jié)點(diǎn)歸一化值S和失效的邊歸一化指標(biāo)F值越小，網(wǎng)絡(luò)的魯棒性越強(qiáng)；失效點(diǎn)比例p(s)值和P∞值越大，網(wǎng)絡(luò)的魯棒性越強(qiáng)。因此，從圖2(a)中能夠看出，由BA網(wǎng)絡(luò)組成的耦合網(wǎng)絡(luò)相比單層BA網(wǎng)絡(luò)更易導(dǎo)致相繼故障的蔓延，并且抵制相繼故障蔓延的最優(yōu)耦合網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)的排列順序依次為BA-BA(AL)>BA-ER(AL)>BA-ER(RL)>BA-BA(RL)>BA-BA(DL)>BA-ER (DL)。為了進(jìn)一步對(duì)比6種不同的耦合網(wǎng)絡(luò)模型相比單層BA網(wǎng)絡(luò)模型增加的脆弱程度，本研究采用網(wǎng)絡(luò)增加的失效點(diǎn)比例p(s)度量指標(biāo)量化耦合網(wǎng)絡(luò)增加的脆弱性，數(shù)值模擬的結(jié)果如圖2(b)所示。由圖2(b)可以看出，BA-ER(DL)比其他耦合網(wǎng)絡(luò)更易導(dǎo)致相繼故障大面積的蔓延，而BA-BA(AL)是所有耦合網(wǎng)絡(luò)中抵制相繼故障蔓延的最穩(wěn)健的耦合網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)。3種連接模式下，BA-ER耦合網(wǎng)絡(luò)在移除比例p值很小時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的p(s)指標(biāo)值出現(xiàn)異常的原因如下。①對(duì)于網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N=5 000的ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，在平均度〈k〉≈4時(shí)，模型參數(shù)p=0.0008，此時(shí)ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)可能會(huì)出現(xiàn)孤立的節(jié)點(diǎn)或網(wǎng)絡(luò)不完全連通等不確定性因素。對(duì)于耦合網(wǎng)絡(luò)來講，只有彼此相連的功能團(tuán)才能發(fā)揮作用，耦合在一起的BA-ER耦合網(wǎng)絡(luò)，由于ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)在結(jié)構(gòu)上的不確定性，會(huì)使耦合的BA網(wǎng)絡(luò)中連接于兩個(gè)不同功能團(tuán)間的連邊失效，基于此，即使對(duì)于較小的p值(p<0.100)，BA-ER耦合網(wǎng)絡(luò)也會(huì)表現(xiàn)出異常的脆弱性。②BA網(wǎng)絡(luò)一個(gè)基本的特征在于網(wǎng)絡(luò)中度分布的不均勻性，網(wǎng)絡(luò)中存在少量的節(jié)點(diǎn)擁有特別大的度，而模型中的ER網(wǎng)絡(luò)又可能會(huì)存在孤立的節(jié)點(diǎn)或分散的功能團(tuán)，BA-ER耦合網(wǎng)絡(luò)在異配連接DL模式下，使BA網(wǎng)絡(luò)中度大的節(jié)點(diǎn)與ER網(wǎng)絡(luò)中度小的節(jié)點(diǎn)相耦合，甚至可能會(huì)導(dǎo)致BA網(wǎng)絡(luò)中度最大的幾個(gè)節(jié)點(diǎn)連接ER網(wǎng)絡(luò)中度為零的節(jié)點(diǎn)，這樣，當(dāng)p=0時(shí)，相比其他耦合網(wǎng)絡(luò)和BA單層網(wǎng)絡(luò)，BA-ER(DL)會(huì)出現(xiàn)異常大的失效節(jié)點(diǎn)和失效邊。

網(wǎng)絡(luò)抵制邊相繼故障的魯棒性在基于失效邊的歸一化指標(biāo)F與參數(shù)p的關(guān)系曲線對(duì)比中可得出與失效節(jié)點(diǎn)指標(biāo)模擬下相同的結(jié)論，如圖2(c)所示。當(dāng)p=0時(shí)(不移除網(wǎng)絡(luò)中的連邊)，BA-ER耦合網(wǎng)絡(luò)會(huì)存在失效邊，是因?yàn)樵贓R網(wǎng)絡(luò)中可能存在孤立的節(jié)點(diǎn)或不完全連通的功能團(tuán)。在圖2(d)中，由數(shù)值模擬結(jié)果可知，隨著p值的增加，P∞呈現(xiàn)滲流變化的過程，其中存在一個(gè)明顯的相變點(diǎn)pc(即曲線與橫坐標(biāo)的交點(diǎn))，當(dāng)ppc時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中幾乎不存在較大的功能團(tuán)。pc值與網(wǎng)絡(luò)抵制相繼故障的魯棒性呈正相關(guān)關(guān)系，pc值越大，網(wǎng)絡(luò)魯棒性越強(qiáng)；反之，網(wǎng)絡(luò)越脆弱。根據(jù)相變點(diǎn)pc值的大小也可得出最優(yōu)耦合網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)的排列順序依次為BA-BA(AL)>BA-ER(AL)>BA-ER(RL)>BA-BA(RL)>BA-BA(DL)>BA-ER (DL)。

從圖2可以看出，相比其他5個(gè)耦合網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，BA-BA(AL)耦合網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出更強(qiáng)的魯棒性，產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因可能是，對(duì)于BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)中存在少量度特別大的節(jié)點(diǎn)，而最大度與最小度之間又存在很大的差異，同配連接AL模式能夠減少耦合網(wǎng)絡(luò)之間連接節(jié)點(diǎn)度之間的差異性，并且相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)耦合在一起，耦合網(wǎng)絡(luò)中對(duì)稱連邊數(shù)量最多，網(wǎng)絡(luò)之間結(jié)構(gòu)越相似，使兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)在移除連邊后導(dǎo)致相繼故障蔓延的結(jié)果更加相似，對(duì)網(wǎng)絡(luò)造成的破壞性也就相對(duì)減弱。為了比較直觀地了解耦合網(wǎng)絡(luò)中的對(duì)稱邊在抵制相繼故障中的作用，通過對(duì)比兩個(gè)具有不同數(shù)量的對(duì)稱邊的耦合網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行解釋。圖3給出對(duì)稱邊對(duì)耦合網(wǎng)絡(luò)抵制相繼故障魯棒性的作用，圖3(a)中的耦合網(wǎng)絡(luò)比圖3(b)中的耦合網(wǎng)絡(luò)具有更多數(shù)量的對(duì)稱邊，圖3(a)中的耦合網(wǎng)絡(luò)有3組對(duì)稱邊，圖3(b)中的耦合網(wǎng)絡(luò)有1組對(duì)稱邊，對(duì)稱邊的數(shù)量越多，兩層網(wǎng)絡(luò)越相似，耦合網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)越穩(wěn)定，當(dāng)移除圖3(a)中的耦合網(wǎng)絡(luò)的1條邊時(shí)，可能不會(huì)影響網(wǎng)絡(luò)整體的連通性，而移除圖3(b)中的耦合網(wǎng)絡(luò)的1條邊可能會(huì)導(dǎo)致整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的崩潰。

(a) (b)

圖3對(duì)稱邊對(duì)耦合網(wǎng)絡(luò)抵制相繼故障魯棒性的作用
Figure3InfluenceofSymmetricEdgesonRobustnessofCoupledNetworksAgainstCascadingFailures

選取合適的耦合網(wǎng)絡(luò)模型和網(wǎng)絡(luò)間的連接模式，能有效預(yù)防相繼故障在耦合網(wǎng)絡(luò)上大范圍的傳播擴(kuò)散。綜上所述，對(duì)于一個(gè)給定的BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，在給定耦合網(wǎng)絡(luò)模型(BA-BA或BA-ER)的條件下，最優(yōu)耦合連接模式的順序依次為AL>RL>DL，BA-BA(AL)是6種不同耦合網(wǎng)絡(luò)中最穩(wěn)健的耦合網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)。

5.3 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的對(duì)比分析

與基于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的研究方法類似，對(duì)于給定的ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，采用3種耦合連接模式，構(gòu)建出6種兩層次相互依賴的耦合網(wǎng)絡(luò)模型，分別是ER-ER(RL)、ER-ER(AL)、ER-ER(DL)、ER-BA(RL)、ER-BA(AL)和ER-BA(DL)，兩層次相互依賴的耦合網(wǎng)絡(luò)模型在數(shù)值模擬圖中簡(jiǎn)寫為eer、eea、eed、ebr、eba和ebd；對(duì)比單層ER網(wǎng)絡(luò)，所有網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模N=5 000，平均度〈k〉≈4?；谑Ч?jié)點(diǎn)歸一化S、失效點(diǎn)比例p(s)、失效邊歸一化F和P∞，圖4給出不同連接模式下耦合網(wǎng)絡(luò)模型與ER單層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性的比較結(jié)果，圖中每條曲線的模擬結(jié)果都是20個(gè)不同的耦合網(wǎng)絡(luò)上相繼故障數(shù)值模擬的平均結(jié)果。

(a) (b)

(c) (d)

圖4不同連接模式下耦合網(wǎng)絡(luò)模型與ER單層網(wǎng)絡(luò)的對(duì)比
Figure4ComparisonbetweenCoupledNetworksandSingleERNetworkwithDifferentLinkPatterns

采用上一節(jié)中對(duì)相繼故障的定量研究方法。圖4(a)給出6種不同的耦合網(wǎng)絡(luò)和ER單層網(wǎng)絡(luò)關(guān)于失效節(jié)點(diǎn)歸一化指標(biāo)S和移除邊的比例p之間的關(guān)系，從數(shù)值模擬的對(duì)比結(jié)果可以看出，耦合網(wǎng)絡(luò)相比單層次網(wǎng)絡(luò)在移除部分連邊后更易導(dǎo)致相繼故障的發(fā)生，并且邊相繼故障對(duì)耦合網(wǎng)絡(luò)造成更嚴(yán)重的破壞性，依據(jù)度量指標(biāo)的定義，可以看出ER-ER(AL)耦合網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)比其他耦合網(wǎng)絡(luò)模型表現(xiàn)出較強(qiáng)的抵制相繼故障的魯棒性。圖4(b)給出6種不同的耦合網(wǎng)絡(luò)和ER網(wǎng)絡(luò)基于失效節(jié)點(diǎn)數(shù)量的差異p(s)與移除邊的比例p之間的關(guān)系，綜合關(guān)于失效節(jié)點(diǎn)的對(duì)比結(jié)果(圖4(a)和圖4(b))可看出，由ER網(wǎng)絡(luò)組成的耦合網(wǎng)絡(luò)中，最優(yōu)的耦合網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)的順序依次為ER-ER(AL)>ER-BA(AL)>ER-ER(RL)>ER-BA(RL)>ER-ER(DL)>ER-BA(DL)。在基于失效邊歸一化指標(biāo)F與參數(shù)p的數(shù)值模擬曲線中(圖4(c))也能夠得出上述相同的結(jié)果。在圖4(d)中，對(duì)比幾個(gè)網(wǎng)絡(luò)在移除邊比例為p的連邊后導(dǎo)致的網(wǎng)絡(luò)中相繼故障的產(chǎn)生，相繼故障經(jīng)歷了反復(fù)迭代的蔓延過程，直到最終的穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)剩余網(wǎng)絡(luò)的連通情況。對(duì)比在P∞指標(biāo)模擬下不同耦合網(wǎng)絡(luò)的滲流相變點(diǎn)pc的值，也可得出與上述3個(gè)指標(biāo)數(shù)值模擬下相同的結(jié)論。數(shù)值模擬的結(jié)果能夠?qū)ΜF(xiàn)實(shí)生活中基礎(chǔ)設(shè)施的構(gòu)建提供指導(dǎo)幫助。對(duì)于給定的基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)，管理者可以選擇最優(yōu)的耦合連接模式抵制相繼故障的大面積擴(kuò)散，從而提高網(wǎng)絡(luò)整體結(jié)構(gòu)的魯棒性。

對(duì)比在RL、AL和DL3種連接模式下的ER-ER和ER-BA耦合網(wǎng)絡(luò)遭遇相繼故障的結(jié)果，ER-ER(AL)耦合網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出更強(qiáng)的魯棒性。ER-ER(AL)耦合網(wǎng)絡(luò)在抵制相繼故障中表現(xiàn)出的強(qiáng)魯棒性主要源于以下3個(gè)方面。①ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度分布均勻，服從泊松分布，在網(wǎng)絡(luò)中度遠(yuǎn)大于平均的度的節(jié)點(diǎn)幾乎不存在，節(jié)點(diǎn)度之間差異性??；②對(duì)于模型中平均度相同的不同ER網(wǎng)絡(luò)，同配連接(AL)模式又使同類型的2個(gè)網(wǎng)絡(luò)耦合在一起時(shí)節(jié)點(diǎn)度之間更具相似性，即便在ER網(wǎng)絡(luò)中可能存在孤立的節(jié)點(diǎn)或不連通的功能團(tuán)，AL連接模式也會(huì)最大程度地弱化這種不確定性和結(jié)構(gòu)的不完整性對(duì)耦合網(wǎng)絡(luò)造成的破壞；③相似的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)以及相似的網(wǎng)絡(luò)之間的耦合節(jié)點(diǎn)會(huì)使移除部分連邊后相繼故障蔓延的趨勢(shì)趨于一致，產(chǎn)生的后果更相似，抑制了相繼故障的進(jìn)一步蔓延，很大程度上提高了網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。然而，對(duì)于較異質(zhì)的BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)而言，節(jié)點(diǎn)度之間存在很大的差異，網(wǎng)絡(luò)中存在少量的度相對(duì)很大的節(jié)點(diǎn)，BA網(wǎng)絡(luò)和ER網(wǎng)絡(luò)兩種截然不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)耦合在一起，移除部分邊后相繼故障在兩層網(wǎng)絡(luò)上蔓延的結(jié)果不同，將更易于導(dǎo)致耦合網(wǎng)絡(luò)上連鎖故障的大面積擴(kuò)散。此外，同配耦合模式相比隨機(jī)和異配兩種連接模式更能減弱耦合網(wǎng)絡(luò)之間節(jié)點(diǎn)度的差異性，使耦合網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出更強(qiáng)的相似性，在給定耦合網(wǎng)絡(luò)模型(ER-ER或ER-BA)的條件下，最優(yōu)的耦合連接模式順序依然為AL>RL>DL。因此可以得出，在相同的網(wǎng)絡(luò)規(guī)模和平均度下的耦合網(wǎng)絡(luò)模型，耦合網(wǎng)絡(luò)之間越相似，網(wǎng)絡(luò)抵制相繼故障的魯棒性越強(qiáng)。

5.4 耦合網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)魯棒性的影響

在耦合網(wǎng)絡(luò)中，基本網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淠Ｐ偷倪x擇以及網(wǎng)絡(luò)間耦合連接模式的差異都會(huì)影響網(wǎng)絡(luò)抵制相繼故障的魯棒性大小。在上面的分析探討中僅給定一層網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，對(duì)比RL、AL和DL3種連接模式對(duì)耦合網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，得出的結(jié)論是，對(duì)于給定的耦合網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，采用AL連接模式時(shí)網(wǎng)絡(luò)整體表現(xiàn)出最強(qiáng)的魯棒性。下面進(jìn)一步探討在確定耦合網(wǎng)絡(luò)之間的連接模式下，網(wǎng)絡(luò)模型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)魯棒性的影響。網(wǎng)絡(luò)的連通性能夠很好地度量網(wǎng)絡(luò)抵制相繼故障的能力，因而選取P∞作為度量指標(biāo)，研究在AL連接模式下，基于P∞與參數(shù)p之間的關(guān)系，探討耦合網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與魯棒性之間的關(guān)聯(lián)，結(jié)果如圖5所示。

圖5 AL連接模式對(duì)網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響Figure 5 Influence of AL Link Pattern on Network Robustness

由圖5可知，在最優(yōu)的AL耦合連接模式下，BA-BA和ER-ER耦合網(wǎng)絡(luò)比BA-ER耦合網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出更強(qiáng)的抵制相繼故障的魯棒性。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因在于，ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)是兩種度分布完全不同的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)是均勻網(wǎng)絡(luò)，度分布服從泊松分布，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度的大小一般都分布在平均度的附近，遠(yuǎn)大于或遠(yuǎn)小于平均度的節(jié)點(diǎn)幾乎不存在；而BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布具有冪律性質(zhì)，網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)較異質(zhì)。由于BA-ER耦合網(wǎng)絡(luò)中兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上表現(xiàn)出很大的差異性，相比于BA-BA和ER-ER具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)耦合在一起的耦合網(wǎng)絡(luò)模型，將會(huì)使相繼故障在BA-ER耦合的兩層網(wǎng)絡(luò)上演化的不對(duì)稱性進(jìn)一步導(dǎo)致連鎖故障的發(fā)生。因此，在同配連接模式下，具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)組成的耦合網(wǎng)絡(luò)模型具有更強(qiáng)的魯棒性。

在1個(gè)網(wǎng)絡(luò)中，平均度也是影響網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涮匦缘?個(gè)重要指標(biāo)，而在上述所有的數(shù)值模擬和探討中，采用網(wǎng)絡(luò)模型的平均度均為4。為了進(jìn)一步研究網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與魯棒性之間的關(guān)系，依然采用相同的網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N=5 000，在確定耦合連接模式的情況下，探討B(tài)A-BA耦合網(wǎng)絡(luò)平均度〈k〉與耦合網(wǎng)絡(luò)連通性之間的關(guān)聯(lián)，結(jié)果如圖6所示。由于生成的ER網(wǎng)絡(luò)可能會(huì)存在孤立的節(jié)點(diǎn)或不連通的功能團(tuán)，為減少不確定性因素對(duì)實(shí)驗(yàn)?zāi)M結(jié)果的影響，這里只考慮BA-BA耦合網(wǎng)絡(luò)模型。

圖6 AL耦合網(wǎng)絡(luò)平均度對(duì)網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響Figure 6 Influence of Average Degree of Coupled Networks with AL on Network Robustness

在AL耦合連接模式下，對(duì)擁有不同平均度的BA-BA耦合網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行數(shù)值模擬，采用度量指標(biāo)P∞，通過相變點(diǎn)pc值衡量耦合網(wǎng)絡(luò)抵制相繼故障蔓延的魯棒性強(qiáng)弱。從圖6可以得出，相變點(diǎn)pc的值與網(wǎng)絡(luò)平均度〈k〉呈正相關(guān)關(guān)系，即平均度〈k〉越大，pc值越大，耦合網(wǎng)絡(luò)抵制相繼故障的魯棒性越強(qiáng)。平均度大的耦合網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出的強(qiáng)魯棒性主要是由于連邊數(shù)量的增多，使連接在一起的兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)相互對(duì)稱的連邊數(shù)量增加，進(jìn)而增加網(wǎng)絡(luò)之間的相似度，減少了相繼故障的進(jìn)一步擴(kuò)散。

進(jìn)一步對(duì)比在RL和DL連接模式下平均度〈k〉對(duì)耦合網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，結(jié)果如圖7所示。從圖7可以得出與AL連接模式下相同的結(jié)論，即平均度〈k〉越大，相變點(diǎn)pc值也越大，耦合網(wǎng)絡(luò)抵制相繼故障的魯棒性越強(qiáng)。由于BA網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度存在較大的異質(zhì)性，AL連接模式可弱化耦合網(wǎng)絡(luò)之間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的差異，在平均度〈k〉及網(wǎng)絡(luò)規(guī)模相同的情況下，3種連接模式的最優(yōu)順序依舊是AL>RL>DL。由于連邊數(shù)量的增加導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)之間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的相似性，使網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出更強(qiáng)的抵制相繼故障的魯棒性。因此，提高網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的相似性可使網(wǎng)絡(luò)的魯棒性增強(qiáng)。

(a) (b)

圖7RL和DL耦合網(wǎng)絡(luò)平均度對(duì)網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響
Figure7InfluenceofAverageDegreeofCoupledNetworkswithRLandDLonNetworkRobustness

6 耦合網(wǎng)絡(luò)邊相繼故障模型中的整體保護(hù)策略

相比單層次網(wǎng)絡(luò)，在耦合網(wǎng)絡(luò)上邊的失效更易導(dǎo)致相繼故障的爆發(fā)，邊相繼故障的蔓延對(duì)耦合網(wǎng)絡(luò)也會(huì)造成更嚴(yán)重的破壞性。由于現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)彼此間相互依賴，僅依靠單層次網(wǎng)絡(luò)提出的保護(hù)策略不能很好的適用于耦合網(wǎng)絡(luò)模型，因此需要建立基本的耦合網(wǎng)絡(luò)模型模擬網(wǎng)絡(luò)上的邊相繼故障現(xiàn)象，通過對(duì)不同的耦合網(wǎng)絡(luò)模型的數(shù)值模擬分析，探討對(duì)網(wǎng)絡(luò)魯棒性強(qiáng)弱的影響因素，進(jìn)而提出有效抵制邊相繼故障蔓延的預(yù)防策略，構(gòu)建穩(wěn)健的耦合網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)。由邊相繼故障的數(shù)值模擬結(jié)果可知，耦合網(wǎng)絡(luò)之間的連接模式、網(wǎng)絡(luò)基本模型的選擇以及平均度等因素都對(duì)網(wǎng)絡(luò)抵制相繼故障的魯棒性有影響。通過前面對(duì)模擬結(jié)果的分析，提出針對(duì)耦合網(wǎng)絡(luò)上的整體保護(hù)策略，預(yù)防雪崩式的相繼故障對(duì)網(wǎng)絡(luò)造成的破壞。

(1)耦合連接模式。通過對(duì)3種不同連接模式的研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于確定的耦合網(wǎng)絡(luò)模型，采用AL連接模式的耦合網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生的對(duì)稱連邊數(shù)量最多，網(wǎng)絡(luò)間相似性更大，邊相繼故障在兩層次網(wǎng)絡(luò)上的蔓延趨勢(shì)更相似，進(jìn)而表現(xiàn)出更強(qiáng)的抵制邊相繼故障的魯棒性。因此，為了避免雪崩式的連鎖故障對(duì)耦合網(wǎng)絡(luò)造成大面積破壞，對(duì)于實(shí)際的耦合網(wǎng)絡(luò)，如計(jì)算機(jī)-電網(wǎng)，在初建網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)時(shí)應(yīng)該盡量使耦合網(wǎng)絡(luò)之間的連接模式服從同配連接。

(2)網(wǎng)絡(luò)基本模型的選擇。網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是影響耦合網(wǎng)絡(luò)魯棒性的因素之一，數(shù)值模擬結(jié)果顯示，在最優(yōu)的AL連接模式下，具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)耦合在一起比不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)組成的耦合網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出抵制相繼故障蔓延的更強(qiáng)魯棒性。不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會(huì)使耦合在一起的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度之間差異性大，相似性較差，相比之下也更脆弱。所以，為了避免拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的差異對(duì)耦合網(wǎng)絡(luò)能力造成的影響，在現(xiàn)實(shí)生活中建設(shè)基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)時(shí)，應(yīng)盡量使耦合在一起的網(wǎng)絡(luò)具有相似拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

(3)網(wǎng)絡(luò)的平均度。網(wǎng)絡(luò)的平均度是指網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)平均的連邊數(shù)，在一定程度上也可以認(rèn)為是網(wǎng)絡(luò)的投入成本，平均度越大，網(wǎng)絡(luò)投入成本越高。如現(xiàn)實(shí)生活中的交通網(wǎng)絡(luò)，平均度越大，平均通往每個(gè)路口的路線就越多，網(wǎng)絡(luò)投入成本也就越多。依據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在固定耦合網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的魯棒性與平均度正相關(guān)，即平均度越大，網(wǎng)絡(luò)魯棒性越強(qiáng)。平均度的增大，使網(wǎng)絡(luò)中連邊數(shù)量增多，進(jìn)而增加耦合網(wǎng)絡(luò)間對(duì)稱的連邊數(shù)量，增加網(wǎng)絡(luò)間的相似程度?？紤]到現(xiàn)實(shí)情況中投入成本有限等客觀因素，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)很難改變，可以適當(dāng)?shù)卦黾右恍?duì)稱的連邊，實(shí)現(xiàn)優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的目的。

7 實(shí)例分析

選擇美國西部電力網(wǎng)絡(luò)作為實(shí)例分析的對(duì)象[27]，美國西部電力網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N=4 941，共6 594條邊，平均度〈k〉≈2.670。對(duì)比美國電力網(wǎng)絡(luò)與BA、ER兩種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)基于3種不同的連接模式構(gòu)成的兩層次耦合網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淠Ｐ驮诘种七呄嗬^故障的魯棒性方面的差異，目的是為建設(shè)最穩(wěn)健的耦合網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)，選擇網(wǎng)絡(luò)基本拓?fù)淠Ｐ?，在確定耦合網(wǎng)絡(luò)模型的基礎(chǔ)上匹配合適的連接模式。從耦合網(wǎng)絡(luò)靜態(tài)角度給出最優(yōu)的耦合網(wǎng)絡(luò)模型和網(wǎng)絡(luò)間耦合模式，為指導(dǎo)現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的構(gòu)建、保證基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)安全穩(wěn)定的運(yùn)轉(zhuǎn)提供參考性建議和指導(dǎo)。

電力網(wǎng)與ER、BA兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)分別采用3種耦合模式，構(gòu)建出6種不同結(jié)構(gòu)的兩層次耦合網(wǎng)絡(luò)模型，分別是Power-BA(RL)、Power-BA(AL)、Power-BA(DL)、Power-ER(RL)、Power-ER(AL)和Power-ER(DL)，兩層次相互依賴的耦合網(wǎng)絡(luò)模型在數(shù)值模擬圖中簡(jiǎn)寫成pbr、pba、pbd、per、pea和ped，用Power代表電力網(wǎng)。在探討耦合網(wǎng)絡(luò)上的相繼故障現(xiàn)象時(shí)，基于失效邊歸一化F、失效點(diǎn)歸一化S和P∞度量指標(biāo)，并對(duì)比單層Power網(wǎng)絡(luò)，通過逐步增加移除邊的比例p的方式，對(duì)比分析7種不同的網(wǎng)絡(luò)抵制邊相繼故障的魯棒性，每一個(gè)模擬結(jié)果都是20個(gè)不同的耦合網(wǎng)絡(luò)上相繼故障數(shù)值模擬的平均結(jié)果，數(shù)值模擬的結(jié)果如圖8所示。

(a)

(b)

(c)

從圖8能夠明顯的看出，無論是基于3個(gè)度量指標(biāo)值，還是比較相變點(diǎn)p(c)值，電力網(wǎng)與BA網(wǎng)、ER網(wǎng)構(gòu)成的耦合網(wǎng)絡(luò)相比單層次電力網(wǎng)絡(luò)更易引發(fā)大規(guī)模相繼故障。由于耦合網(wǎng)絡(luò)彼此耦合的特性，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間相互依賴，一層網(wǎng)絡(luò)上的邊發(fā)生故障，會(huì)使故障在兩層網(wǎng)絡(luò)上產(chǎn)生連鎖反應(yīng)。在不考慮網(wǎng)絡(luò)負(fù)荷動(dòng)態(tài)屬性的情況下，單層網(wǎng)絡(luò)上邊的失效，不會(huì)繼續(xù)引發(fā)網(wǎng)絡(luò)上其他邊的接連失效。因此，在邊移除比例相同的情況下，耦合網(wǎng)絡(luò)邊的連鎖故障對(duì)網(wǎng)絡(luò)造成的破壞性更嚴(yán)重。對(duì)比6個(gè)不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的耦合網(wǎng)絡(luò)模型基于3個(gè)度量指標(biāo)模擬曲線得出的pc值可以看出，耦合網(wǎng)絡(luò)間采用AL連接模式比采用DL和RL兩種連接模式能更好地提高網(wǎng)絡(luò)抵制相繼故障的魯棒性，按魯棒性大小排列順序依次為Power-ER(AL)>Power-BA(AL)>Power-BA(RL)>Power-ER(RL)>Power-BA(DL)>Power-ER(DL)。然而，采用AL連接模式的Power-ER、Power-BA兩個(gè)耦合網(wǎng)絡(luò)，在p值較小的情況下，基于3個(gè)度量指標(biāo)可知，在p<0.070時(shí)，Power-BA耦合網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)優(yōu)于Power-ER網(wǎng)絡(luò)，產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因在于，利用計(jì)算機(jī)生成網(wǎng)絡(luò)規(guī)模為4 941、平均度約為4的ER網(wǎng)絡(luò)可能會(huì)存在不完全連通、孤立點(diǎn)等不確定因素，ER網(wǎng)與電力網(wǎng)構(gòu)成的耦合網(wǎng)絡(luò)在邊的移除比例p為0時(shí)，依據(jù)對(duì)耦合網(wǎng)絡(luò)連通子團(tuán)的定義，由于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上彼此的不完全連通性，在沒有人為移除任何邊的情況下，依然可能會(huì)觸發(fā)網(wǎng)絡(luò)上的相繼故障現(xiàn)象，這也能夠很好地解釋應(yīng)用3種耦合連接模式的Power-ER耦合網(wǎng)絡(luò)在p=0時(shí)失效邊和失效點(diǎn)不歸0、P∞不為1的原因。

基于上述的對(duì)比分析，從網(wǎng)絡(luò)靜態(tài)角度，為提高網(wǎng)絡(luò)抵制故障蔓延的魯棒性，對(duì)由電力網(wǎng)構(gòu)成的耦合網(wǎng)絡(luò)提出整體保護(hù)預(yù)防策略，即當(dāng)給定網(wǎng)絡(luò)基本模型時(shí)，AL連接模式下耦合網(wǎng)絡(luò)的魯棒性優(yōu)于RL和DL兩種連接模式；對(duì)比分析的所有耦合網(wǎng)絡(luò)模型中，Power-ER(AL)耦合網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)的魯棒性最優(yōu)，并且實(shí)際構(gòu)建的ER網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)能夠有效避免生成ER網(wǎng)絡(luò)時(shí)產(chǎn)生的一系列不確定性因素。基于此，研究結(jié)果為中國電網(wǎng)選擇匹配的耦合網(wǎng)絡(luò)、設(shè)計(jì)網(wǎng)絡(luò)間的連接模式、優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的建設(shè)提供參考性依據(jù)，對(duì)構(gòu)建具有穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的耦合網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)提供指導(dǎo)。

8 結(jié)論

本研究從耦合網(wǎng)絡(luò)邊的角度建立相繼故障模型，重點(diǎn)研究由于邊的失效導(dǎo)致的相繼故障現(xiàn)象。通過仿真模擬和實(shí)例驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，與單層次網(wǎng)絡(luò)相比，耦合網(wǎng)絡(luò)更易導(dǎo)致大規(guī)模的相繼故障的發(fā)生，并對(duì)網(wǎng)絡(luò)整體造成更嚴(yán)重的破壞性后果。耦合網(wǎng)絡(luò)間的連接模式、網(wǎng)絡(luò)基本模型的選擇、平均度等因素都關(guān)乎網(wǎng)絡(luò)的能力，影響耦合網(wǎng)絡(luò)魯棒性大小的一個(gè)重要因素是網(wǎng)絡(luò)中存在的對(duì)稱連邊，對(duì)稱連邊數(shù)量越多，相互耦合的網(wǎng)絡(luò)之間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)越相似，網(wǎng)絡(luò)抵制相繼故障蔓延的魯棒性越強(qiáng)。為了提高網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，在現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)建設(shè)時(shí)可以使同種類型的網(wǎng)絡(luò)，應(yīng)用同配耦合連接模式，并適當(dāng)增加對(duì)稱邊數(shù)量，這樣能夠有效地提高網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。應(yīng)用本研究提出的整體保護(hù)策略，可以指導(dǎo)現(xiàn)實(shí)社會(huì)中基礎(chǔ)設(shè)施耦合網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，并為實(shí)際耦合網(wǎng)絡(luò)上預(yù)防和控制雪崩式連鎖故障對(duì)網(wǎng)絡(luò)造成的破壞提供借鑒和參考依據(jù)。未來研究可在耦合網(wǎng)絡(luò)靜態(tài)屬性的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮負(fù)荷的動(dòng)態(tài)變化，探討負(fù)荷相繼故障蔓延中的動(dòng)力學(xué)過程。

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StudyonCascadingFailures′ModelofEdgeinCoupledNetworks

Wang Jianwei，Jiang Chen，Sun Enhui

School of Business Administration, Northeastern University, Shenyang 110819, China

In order to deal with cascading failures in coupled networks, this study analyzes the dynamics mechanism of cascading failures and propose the cascading failures′ model of edge in coupled networks. To improve the robustness of coupled networks against cascading failures, according to different measures, this study takes multiple perspectives to analyze the correlation between the robustness of coupled networks with different link patterns and some parameters in our model. this study then discusses the influences of link patterns of coupled networks and the basic network model on cascading failures and states the whole protection strategies in the proposed model. This study finds: the assortative link pattern can enhance the robustness of coupled networks against cascading failures; the more similar the topological structures of two interdependent networks, the stronger the network robustness against cascading failures; the robustness of coupled networks has a positive correlation with the average degree; an appropriate increase in the number of symmetrical edges between two networks can improve the network robustness. Finally, the cascading failures′ model of edge in the real coupled power grid is analyzed.

cascading failures；coupled networks；link pattern；robustness

Date:June 5th, 2014

DateSeptember 15th, 2014

FundedProject:Supported by the National Natural Science Foundation of China(71101022) and the Program for New Century Excellent Talents in University(NCET-12-0100)

Biography:Dr.Wang Jianwei, a Liaoning Fuxin native(1978-), graduated from Dalian University and Technology and is an Associate Professor in the School of Business Administration at Northeastern University. His interests include emergency management and network science, etc.

E-mail：jwwang@mail.neu.edu.cn

N941.3

A

10.3969/j.issn.1672-0334.2014.06.012

1672-0334(2014)06-0132-11

2014-06-05修返日期2014-09-15

國家自然科學(xué)基金(71101022)；教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃(NCET-12-0100)

王建偉(1978-)，男，遼寧阜新人，畢業(yè)于大連理工大學(xué)，獲博士學(xué)位，現(xiàn)為東北大學(xué)工商管理學(xué)院副教授，研究方向：應(yīng)急管理和網(wǎng)絡(luò)科學(xué)等。E-mail：jwwang@mail.neu.edu.cn

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