例析數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與演繹

蒲大勇

模型思想是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》新增加的核心概念之一.模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.模型思想不僅包括建構(gòu)基本的數(shù)學(xué)模型，更重要地是把已有的數(shù)學(xué)模型進行推廣，演繹出更多的數(shù)學(xué)模型，達到會一個到會一類、以一當(dāng)十之功效，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.下面，以人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級（上）134“最短路徑問題”為例，結(jié)合近兩年全國各地中考試題談?wù)剶?shù)學(xué)模型的建構(gòu)與演繹，不妥之處敬請指正.

1數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)是對復(fù)雜現(xiàn)象進行分析，用數(shù)學(xué)語言來描述其中的關(guān)系或規(guī)律，抽象出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)關(guān)系，并將其實際問題轉(zhuǎn)化成為一個數(shù)學(xué)問題，同時運用數(shù)學(xué)系統(tǒng)的知識方法對數(shù)學(xué)問題進行求解，對現(xiàn)實問題作出解釋的過程.數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)要經(jīng)過“具體情境——抽象數(shù)學(xué)問題——分析數(shù)量關(guān)系或變化規(guī)律——建立模型（方程、不等式、函數(shù)等）”等一系列過程.

問題如圖1，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地.牧馬人到河邊什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

圖1圖2解題分析在河邊飲馬的地點有多處，把這些地點與A、B兩點連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點，再回到B地的路程.問題的關(guān)鍵是怎樣找出使兩條線段的長度之和為最短的那個點.在圖2中，過點B作河邊l的垂線，垂足為點D，延長BD到點B′.點B′是點B對于河邊l的對稱點.連接AB′，交河邊l于點C，那么點C就是題目中所求的飲馬地點.

模型建構(gòu)：這是中國古代數(shù)學(xué)問題——牧童飲馬問題，其方法是在已知直線上尋找與同側(cè)兩點距離之和最小的點，對其中一個點作軸對稱變換，把同側(cè)點轉(zhuǎn)化為異側(cè)點，利用“兩點之間線段最短”求最值，這可歸結(jié)為“求定直線上一動點與直線外兩定點的距離之和的最小值”的問題的數(shù)學(xué)模型.

關(guān)鍵點分析本質(zhì)結(jié)構(gòu)——利用軸對稱思想，將同側(cè)的兩點轉(zhuǎn)化為異側(cè)的兩點.

數(shù)學(xué)原理——解決線段的和最短的問題，需要尋求和其中一條線段長度相等的線段，從而將線段的和最短轉(zhuǎn)化為線段最短的問題.

思維障礙——模型建構(gòu)的依據(jù)（軸對稱的性質(zhì)）；線段最短的理論根據(jù)，即在定直線上另找一點，通過證明說明方法的合理性.

評析上述案例中“牧童飲馬問題”，在建構(gòu)“求定直線上一動點與直線外兩定點的距離之和的最小值”數(shù)學(xué)模型過程中，按照“具體情境——抽象數(shù)學(xué)問題——分析數(shù)量關(guān)系或變化規(guī)律——建立模型”的歷程，從現(xiàn)實的飲馬情境中抽象出“已知直線同側(cè)的兩點，求已知直線上一點與這兩點的距離和最短”這個數(shù)學(xué)問題，然后通過觀察、邏輯思考等數(shù)學(xué)活動，結(jié)合軸對稱有關(guān)知識，將“兩條線段的和”轉(zhuǎn)化為與之相等的“一條線段”，利用添加輔助線建立了“最短距離”這個數(shù)學(xué)模型.在這個過程中，學(xué)生要突破“怎樣才算最短”“模型建構(gòu)的依據(jù)”“為什么最短”等思維障礙，并在充分直觀感知、分拆重組和操作的基礎(chǔ)上通過觀察、歸納、類比產(chǎn)生模型特征的猜想，然后對產(chǎn)生的模型進行合乎邏輯的理性思考與檢驗，對模型進行修改，最終建立模型.

2數(shù)學(xué)模型的演繹

數(shù)學(xué)模型的演繹是個體在內(nèi)源或外源需求的驅(qū)動下產(chǎn)生模型建構(gòu)的需要和目標(biāo)體系，并在目標(biāo)體系的引導(dǎo)下產(chǎn)生從上到下和從下到上的注意加工，產(chǎn)生合理的注意選擇，在此基礎(chǔ)上搜索經(jīng)驗中的已有數(shù)學(xué)模型，并在內(nèi)在目標(biāo)評價和環(huán)境啟發(fā)中對已有的模型進行反復(fù)分拆、重組和變換，直到形成符合目標(biāo)體系的新的模型，并用適當(dāng)?shù)姆椒▽π碌哪Ｐ瓦M行數(shù)學(xué)解析，形成新的知識經(jīng)驗.數(shù)學(xué)模型的演繹要經(jīng)過“源驅(qū)動——已有數(shù)學(xué)模型——條件變換——建立新模型”等歷程.數(shù)學(xué)模型的演繹在對已有數(shù)學(xué)模型進行反復(fù)地分拆、交叉、重組和變換過程中，豐富和有條理的圖形圖式化的數(shù)學(xué)模型的存儲，有助于個體對這些模型進行直觀的分拆、交叉、重組和變換，有助于新的數(shù)學(xué)模型的建構(gòu).

例1（2014年資陽）如圖3，在邊長為4的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點，且AE=3，點Q為對角線AC上的動點，則△BEQ周長的最小值為.

解題分析要求△BEQ周長的最小值，由于EB是定值（為1），其實質(zhì)求EQ+BQ的值為最小值，關(guān)鍵把Q點的位置確定，點Q在AC上有無數(shù)點，同時，EQ，BQ不能直接求，可考慮利用對稱性作輔助線把EQ，BQ轉(zhuǎn)化為一條線段，從而確定點Q的位置.如圖4，正方形ABCD中，點B和點D關(guān)于直線AC對稱，所以DE的長即為EQ+BQ的最小值，利用勾股定理就可以算出其值為5，進而求得△BEQ周長的最小值為6.

模型演繹分析此題的背景圖為正方形，模型原型是“牧童飲馬問題”，把正方形的一條對角線（即對稱軸AC）作為定直線，動點Q在對角線AC上，兩個定點E、B都在對角線AC的同側(cè)，且在軸對稱圖形（正方形）上，利用其對稱性把“兩條線段之和”轉(zhuǎn)化為“一條線段”.

例2（2013年蘇州）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點A在x軸的正半軸上.頂點B的坐標(biāo)為（3，3），點C的坐標(biāo)為（12，0），點P為斜邊OB上的一個動點，則PA+PC的最小值為（）.

解題分析要使PA+PC為最小值，把PA、PC轉(zhuǎn)化在同一條線段求最小值，如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中以O(shè)B為對稱軸，作A關(guān)于OB的對稱點D，連接CD交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，先求出AM，AD，再求出DN、CN，根據(jù)勾股定理求出CD，即可得出312.

模型演繹分析此題與坐標(biāo)平面相結(jié)合，呈現(xiàn)方式由“牧童飲馬問題”的純幾何方式變?yōu)閿?shù)形結(jié)合方式，以Rt△OAB的斜邊OB為定直線，動點P在定直線OB上，兩個定點A、C在定直線OB的同側(cè)且在直角坐標(biāo)系的橫軸上，在直角坐標(biāo)系中利用對稱性把“兩條線段之和”轉(zhuǎn)化為“一條線段”.

例3（2013年鄂州）如圖7，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點A到直線a的距離為2，點B到直線b的距離為3，AB=230.試在直線a上找一點M，在直線b上找一點N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短，則此時AM+NB=（）.endprint

解題分析要使AM+MN+NB的長度和最短，MN表示直線a與直線b之間的距離，是定值，只要滿足AM+NB的值最小即可，如圖8，作點A關(guān)于直線a的對稱點A′，連接A′B交直線b與點N，過點N作NM⊥直線a，連接AM，則可判斷四邊形AA′NM是平行四邊形，得出AM=A′N，由兩點之間線段最短，可得此時AM+NB的值最小.過點B作BE⊥AA′，交AA′于點E，在Rt△ABE中求出BE，在Rt△A′BE中求出A′B即可得出AM+NB.

模型演繹分析此題以平行線為背景圖，這里的定直線和定點“一變二”，定直線為直線a、b，動點M、N分別在定直線a、b上，兩個定點A、B在定直線a、b的兩側(cè)，解答的突破口在于以定直線a（或定直線b）為基礎(chǔ)，確定一動點N（或動點M），構(gòu)建“牧童飲馬問題”模型，再利用對稱性、平行四邊形性質(zhì)把“兩條線段之和”轉(zhuǎn)化為“一條線段”.

評析從近年全國各地的中考看，在對“牧童飲馬問題”模型的演繹過程中，無論把各種軸對稱圖形（如正方形、菱形、等腰梯形、線段、角等）作為背景圖，還是把直角坐標(biāo)系或者是平行線或是二次函數(shù)的拋物線作為背景圖，其本質(zhì)是通過對已有的“牧童飲馬問題”進行分拆、交叉、重組和變換，利用對稱性將不在同一直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化在同一直線上.在這個數(shù)學(xué)思維活動過程中，學(xué)生要對腦海中已有模型并結(jié)合現(xiàn)實的背景圖進行充分地直觀感知、分拆重組和變換操作，在此基礎(chǔ)上通過觀察、歸納、類比產(chǎn)生模型特征和模型之間關(guān)系的猜想；然后，學(xué)生對產(chǎn)生的模型進行合乎邏輯的理性思考與檢驗，對模型進行修改，并建立模型與特征、模型與模型之間的聯(lián)系，最后，推演出新的數(shù)學(xué)模型.

3教學(xué)啟示

3.1數(shù)學(xué)教育要重視數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與演繹活動的開展

恩格斯曾說：“由一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式不是無聊的游戲而是數(shù)學(xué)的杠桿，如果沒有它，就不能走很遠.”數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)思維的支撐點，也是數(shù)學(xué)知識的附著點，也是數(shù)學(xué)應(yīng)用的突破點[1].數(shù)學(xué)模型承載數(shù)學(xué)信息，對數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)、特征和關(guān)系的觀察、歸納、類比和邏輯思考構(gòu)成了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心活動.數(shù)學(xué)教育的核心價值在于發(fā)展學(xué)生的模型建構(gòu)和與之相聯(lián)系的數(shù)學(xué)思維水平.根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展水平，設(shè)計適合學(xué)生認知水平的數(shù)學(xué)模型理解、表征、建構(gòu)和相互聯(lián)系等數(shù)學(xué)操作和數(shù)學(xué)推理活動，是促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)長遠發(fā)展的有效途徑[2].所以，在數(shù)學(xué)教育中，我們要把數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)和演繹有機的結(jié)合起來，在各個環(huán)節(jié)中注意加強數(shù)學(xué)模型意識的培養(yǎng)，使學(xué)生自覺的應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、方法去觀察、分析、解決實際問題，積極主動的建構(gòu)自己的認知結(jié)構(gòu)，促使學(xué)生由知識型向能力型轉(zhuǎn)變.

3.2數(shù)學(xué)教學(xué)活動要正確處理數(shù)學(xué)模型建構(gòu)與演繹的關(guān)系

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)是從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律.數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程是遵循先直觀后邏輯的順序進行的，要用邏輯檢驗、駕馭數(shù)學(xué)直覺.數(shù)學(xué)模型的演繹是對已有數(shù)學(xué)模型進行反復(fù)地分拆、交叉、重組和變換的過程.數(shù)學(xué)模型的演繹過程，來源于現(xiàn)實中的客觀事物的數(shù)學(xué)抽象和已有模型的進一步數(shù)學(xué)抽象，來源于對已有模型的分拆、重組和變換.數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與演繹不是“母子關(guān)系”，也不是“包容關(guān)系”，而是一種“基礎(chǔ)與拓展”的關(guān)系，已有的數(shù)學(xué)模型是演繹新的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)（或原有圖式），數(shù)學(xué)模型的演繹是在新的現(xiàn)實背景下對已有數(shù)學(xué)模型（或原有圖式）的拓展，數(shù)學(xué)模型的不斷演繹過程形成了具有一定層次關(guān)系的模型鏈和許多模型鏈組成的模型系統(tǒng).當(dāng)然，也可以把數(shù)學(xué)模型的演繹看成新的數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)活動中正確處理數(shù)學(xué)模型建構(gòu)與演繹的關(guān)系，有利于促進初中生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展.

3.3數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與演繹教學(xué)活動的注意事項

3.31忌“簡單套用”，宜數(shù)學(xué)直覺與邏輯的有機結(jié)合

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與演繹是一種“基礎(chǔ)與拓展”的關(guān)系，在應(yīng)用已有數(shù)學(xué)模型演繹新的數(shù)學(xué)模型過程，切忌“簡單套用”，做到數(shù)學(xué)直覺與邏輯、數(shù)學(xué)合情推理與邏輯推理相結(jié)合.數(shù)學(xué)直覺主要體現(xiàn)在對模型的直觀想象、分拆、重組和變換過程中，這是平行加工過程，而數(shù)學(xué)邏輯則是體現(xiàn)在對形成的模型進行邏輯檢驗和建立模型與特征、模型之間關(guān)系的活動過程中[3].因此，在教學(xué)過程中，要讓學(xué)生對模型進行充分地直觀感知、分拆重組和變換操作，在此基礎(chǔ)上通過觀察、歸納、類比產(chǎn)生模型特征和模型之間關(guān)系的猜想，然后引導(dǎo)學(xué)生對產(chǎn)生的模型進行合乎邏輯的理性思考與檢驗，對模型進行修改，并建立模型與特征、模型與模型之間的聯(lián)系.

3.32忌“一步到位”，宜循序漸進

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與演繹活動，具有思維發(fā)展的高度價值，其思維發(fā)展的高度價值是基于活動中需要數(shù)學(xué)直覺與邏輯并用，數(shù)學(xué)合情推理與邏輯推理相融合，是高層次的思維活動[4].高思維參與的數(shù)學(xué)活動需要學(xué)生的深度參與和積極思考，這就要求在教學(xué)中對數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)不能“一步到位”，要循序漸進，所設(shè)計的模型建構(gòu)與演繹活動與學(xué)生的認知發(fā)展水平相匹配.另一方面，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)和演繹需要個體具有比較豐富的基礎(chǔ)模型作為支撐，這是建構(gòu)和演繹新模型的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)活動根據(jù)學(xué)生的認知水平從模型建構(gòu)走向模型演繹；從對模型的經(jīng)驗與直觀走向邏輯建構(gòu)；從以合情推理為主、邏輯推理為輔走向合情推理與邏輯推理的綜合運用[5].

3.33忌“模型化”，宜動態(tài)生成

科學(xué)的、適合初中生認知發(fā)展水平的數(shù)學(xué)模型建構(gòu)與演繹活動，對培養(yǎng)初中生思維品質(zhì)的靈活性、創(chuàng)造性及開發(fā)智力、培養(yǎng)能力、提高解題速度是十分有益的.但切忌“模型化”，切忌要求學(xué)生記“模型”、背“模型”.這是因為數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與演繹，與數(shù)學(xué)模型的有向多元表征緊密聯(lián)系.一方面，對已有數(shù)學(xué)模型的有向多元表征是實現(xiàn)高效合理的模型建構(gòu)的基礎(chǔ)，另一方面，對建構(gòu)的新模型進行有向多元表征是在新模型建構(gòu)的過程和結(jié)果中產(chǎn)生新知識和新觀念的基礎(chǔ)[6].

參考文獻

[1]朱振榮.數(shù)學(xué)建模在課標(biāo)課程教學(xué)中的實踐[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（09）：20-23.

[2][3][4][5][6]吳增生.數(shù)學(xué)模型理解與建構(gòu)的心理機制及其教育啟示[J].基礎(chǔ)教育論壇，2010（01）：3-7.endprint