“x=3”究竟是什么？

黃良春

關于“x=3是什么”（等式，方程，方程的解？）的爭論，一直在各個階段的數學教師中以不同的方式持續(xù)著.從目前爭論的情況看，對“x=3是等式”的結論似乎已達成了共識.但結論“x=3是方程”與“x=3是方程的解”又各有各的道理.“x=3是方程”依據的是“含有未知數的等式，稱為方程”這一定義；而對于“x=3是方程的解”的說法，因為就諸如x-3=0這樣的方程，“x=3是它們的解”，各種教材、教師示范也都在作類似的表述，沒有人給予過任何的懷疑.

不過，無論如何，有一點是肯定的：“方程”與“方程的解”雖有聯(lián)系，但畢竟是兩個不同的概念，x=3不可能既是方程，又是方程的解.之所以作出是方程的判斷，那是因為我們把x=3看成了含未知數的等式，而作出是方程的解的判斷，是因為x=3讓我們知道未知數x的值是3.同樣，判斷x=3是等式則是因為我們認為字母x與數值3具有相等關系.所以，對同一個問題，不同的視角會產生不同的判斷.

筆者認為，要回答“x=3是什么”的問題，不能簡單地依據某一定義或某種書面表述或某種習慣行為來進行——而這恰恰是引起爭論的誘因，關鍵是要弄清“=”的作用或意義.

一個概念的內涵往往是豐富的、多重的，但其所要表達的真正涵義一定蘊含于其特定的情境之中，而不在于我們彼此的視角.對“=”的理解同樣如此.筆者以為，在目前的實際應用中，“=”主要有以下四個方面的意義表達：

1表示相等的邏輯關系

據數學史料記載，“=”起源于1557年出版的《礪智石》[1]一書.作者——英國數學家、牛津大學教授雷科德在書中有這樣一段描述：“為避免多次繁瑣重復使用‘等于這個詞，在日常工作中，我規(guī)定用一對平行線段或幾對來表達‘等于，因為沒有兩件東西能比兩根平行線更相等了.”[2]“=”以及同時期出現的其它表示相等關系的符號，它們都是隨著代數（方程）的發(fā)展而逐步產生的，表達著“相等”（be equal to）的基本含義，意即“=”兩邊具有相等關系.其基本前提是“=”的兩邊同時存在.“=”在方程中的應用是相等關系最初、最基本的符號表達.除此之外，數學中其它的相等關系基本上都用“=”表達.

例如，比較5+3與8、14與4×3+2的大小，所得5+3=8、14=4×3+2中的“=”均表示相等關系.

如平方差公式（a2-b2=（a+b）（a-b））等諸多數學公式中的“=”亦表示相（恒）等關系.

對于方程2x-6=0求解過程中的2x=6和x=3，“=”所表示的相等關系的含義并沒有因為等式形式的不同而有所改變，它們所具有的“方程”（含有未知數的等式）的基本要件（含有未知數，等式）也沒有因形式的簡化而有任何的缺失.所以，在方程2x-6=0的解答過程中，x=3并沒有改變其方程的屬性.

值得注意的是，在相等的關系之下，因為“=”的連接，使得“=”的兩邊（2x-6，0）與等號共同構成了一個相等關系的整體，缺少了等號兩邊的任何一方，相等關系就不復存在.

2表示運算的進程

盡管“=”的產生源于等式、方程式表達的簡便之需，但隨著其應用的廣泛，人們對于“=”的認識基本上是從數的運算的學習開始的.比如，①計算：5+3②分解因式：x2-1，其解答表述一般為①5+3=8②由平方差公式，得x2-1=（x+1）（x-1）.在這里，“=”將運算的前后數、式連接起來，表示邏輯運算的進程，“表達著‘……得（得到）……的含義，與推導符號有一定的相似性，指引著相關規(guī)則下數學對象運算的遞推過程及結果”[3].

再如：（1）計算14÷3

解之，得14÷3=4……2

（2）計算：（x+1）（x-1）

解之，得（x+1）（x-1）=x2-x+x-1=x2-1.

以上兩題解答過程中的“=”皆表示運算遞推過程及結果，并不表示“=”兩邊相等的關系.因為“=”的右邊是“=”左邊運算后的所得，兩邊數或式并不同時存在.況且，沒有意義賦予而獨立存在的4……2無法與14÷3建立起相等關系.

3表示一種賦值

在日常數學問題的呈現過程中，“=”除了表示相等的邏輯關系、運算的進程之外，還廣泛應用于對未知變量賦值的表示.

如：（1）求整式4y2-（x2+y）+（x2-4y2）的值，其中x=-28，y=18；（2）四條線段a，b，c，d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，求線段a的長.兩題中五個用“=”連接起來的式子，實則是給未知數賦予了一個確定的值，如果將它們理解成相等的關系，顯然沒有什么實際意義，且與題意不符.此處的“x=-28”實際意義應理解為“x的值是-28”.

4表示“等于”的替代符號

在人們日常的話語體系中，“等于”一詞屬常用詞匯.商務印書館2014年1月出版的《現代漢語詞典》對“等于”作了如下解釋：①某數量跟另一數量相等.如，三加二等于五；②差不多就是，跟……沒有區(qū)別.如，不識字就等于睜眼瞎子.這里，①所指為數學中的相等關系，其數學符號表示“3+2=5”（三加二的值與五相等）亦為大家所熟悉.此處，以“=”代替“等于”在數學中已極為普遍.②為人們一般的語言表達，所反映出的并非數學問題，但在表述時亦常以“=”代替“等于”.類似“不識字=睜眼瞎子”、“教師成長=經驗+反思”、“全面發(fā)展=全科發(fā)展”，等等，這些只是根據數學表達式簡潔、形象、直觀的特點，用數學的形式來表達所反映的內容，反映出事物具有某種相同或相關的屬性.對此，基本上不會有人把它們理解成數學中的等式或數量關系.

綜上，要回答x=3是什么，必須要了解它所在的現實情境.脫離于具體的情境進行判斷，無論結果是等式，是方程，是方程的解，還是其它，都是片面的，不科學的.

在此，筆者就x=3與方程2x-6=0的關系提出自己的觀點.

如上所述，解方程時，對2x-6=0進行同解變形，最后得出的x=3仍為方程.因為，同解變形沒有改變方程兩邊“相等”的關系，亦即“=”在解方程的過程中“相等”關系的含義沒有改變.

但各類教材及相關資料在解答方程之后，都會出現“x=3是方程2x-6=0的解”的表述，由此，引起了“x=3是方程還是方程的解”（“方程的解”的表述，必須就某一特定方程而言才有意義，僅表述為“x=3是方程的解”沒有意義）的爭論.

首先可以肯定的是，此時（x=3是方程2x-6=0的解）的x=3中的“=”顯然不表示計算的進程與結果，也不表示給字母賦值，因為字母x的值不是賦予的，而是通過運算得到的.當然也不能表示為相等關系，即x=3不能視為方程.因為根據“使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解”的概念，方程2x-6=0的解是3，而不是表示相等關系的表達式x=3.因此，這里的x=3應理解為“x等于3”或“x的值是3”等語句的數學化形式.也只有如此，如方程x2=25的解表示成x=±5或x1=5、x2=-5才有意義.

參考文獻

[1][2][3]徐文龍.語言視角下的等號教學思考[J].教育教學論壇，2012（3）82-83.endprint