等腰三角形性質(zhì)的教學(xué)設(shè)計(jì)研究

陳帥+孫培磊+張昆

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)是一項(xiàng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)性的整體工程，它的構(gòu)成要素體現(xiàn)于互相關(guān)聯(lián)的三個(gè)層面：理解所要傳授的具體數(shù)學(xué)知識(shí)所呈現(xiàn)的環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介的組成序列（簡(jiǎn)稱“教材分析”）；把握學(xué)生生成數(shù)學(xué)知識(shí)環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介的心理活動(dòng)環(huán)節(jié)及其過渡性中介（簡(jiǎn)稱“學(xué)情分析”）的組成序列；通過創(chuàng)造性工作找到關(guān)聯(lián)這兩方面環(huán)節(jié)組成序列之間的切合點(diǎn)（可以溝通的元素）、實(shí)現(xiàn)兩者之間的貫通（簡(jiǎn)稱“關(guān)聯(lián)分析”）.如框架圖1所示[1].本文主要以數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)水平的一種教學(xué)實(shí)踐現(xiàn)場(chǎng)為例，探討實(shí)現(xiàn)提升教師（尤其是卓越師范生）教學(xué)設(shè)計(jì)水平的一種重要途徑.

1數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)教學(xué)課例

張昆（《數(shù)學(xué)教學(xué)論》的教師）老師出示的問題：請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)“等腰三角形兩底角相等”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué).半小時(shí)后，請(qǐng)兩位同學(xué)作15分鐘的匯報(bào)（下面是模擬課堂，其中，我們選擇了兩位設(shè)想為“教師”的卓越師范生的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的過程，其中的“學(xué)生”為課堂現(xiàn)場(chǎng)中的其他“卓越師范生”）.

（1）陳帥（卓越師范生之一）的教學(xué)設(shè)計(jì)及其實(shí)施匯報(bào)如下：

師：大家通過等腰三角形的定義，知道等腰三角形中有兩條邊相等.同學(xué)們看，這里有一個(gè)在小學(xué)學(xué)習(xí)過的矩形BCDE（其中BE>BC），請(qǐng)完成下面的任務(wù)：以B、C為兩個(gè)頂點(diǎn)（如圖2），第三點(diǎn)在這個(gè)矩形的邊DE上，構(gòu)造一個(gè)等腰三角形.

課堂活動(dòng)記錄：有的學(xué)生用鉛筆尖在長(zhǎng)方形的邊DE上不斷地試探，有的學(xué)生在思考.總之，他們都緊張地活動(dòng)了起來.

生1：取DE的中點(diǎn)A，連接AB，AC，所得到的△ABC（如圖3）就是一個(gè)等腰三角形.

師：很好！你是如何知道△ABC為等腰三角形的呢？為什么要取DE的中點(diǎn)A呢？

生2：因?yàn)橐玫降妊切沃恍枋笰B=AC，而當(dāng)且僅當(dāng)A為DE的中點(diǎn)時(shí)有AE=AD，又由矩形的性質(zhì)（小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)過，學(xué)情分析提供），知BE=CD，∠D=∠E=90°，則由三角形全等的判定（“SAS”）公理，可知△ABE≌△ACD.則可知AB=AC，即△ABC是等腰三角形.

師：如此，我們知道了△ABC是等腰三角形.那么，請(qǐng)大家思考，在圖3中，∠1與∠2有什么關(guān)系呢？

生3：∠1與∠2應(yīng)該相等.

師：為什么？

生4：上面我們知道△ABE≌△ACD.在圖4中由三角形全等的性質(zhì)可知∠3=∠4，矩形中有∠EBC=∠DCB=90°，由“等角的余角相等”這一性質(zhì)，知∠1=∠2，即等腰三角形兩底角相等.

師：非常好！以上的探究過程就是我們今天所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，等腰三角形的性質(zhì)“等腰三角形兩底角相等”，簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”.

張昆老師發(fā)問：請(qǐng)注意，對(duì)陳帥的教學(xué)設(shè)計(jì)及其實(shí)施過程大家作何評(píng)價(jià)？哪些地方是令人滿意的，還有哪些地方不盡人意，需要改進(jìn)呢？

（2）孫培磊（卓越師范生之二）的教學(xué)設(shè)計(jì)及其實(shí)施匯報(bào)如下：

師：陳帥所提供的教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)施過程，讓我們發(fā)現(xiàn)了“等腰三角形兩底角相等”這一性質(zhì)的知識(shí).大家有沒有認(rèn)識(shí)到在證明∠1=∠2的過程中是借助了矩形的性質(zhì)來達(dá)到發(fā)現(xiàn)證明思路這一目的的.但是，在實(shí)際證明的過程中，我們并不容易構(gòu)思出如此的矩形來輔助證明思路的發(fā)現(xiàn).那么，應(yīng)該如何直接在等腰三角形中證明兩底角相等呢？

師：也就是說，在圖5中，根據(jù)已知條件AB=AC，證明等腰△ABC中兩底角相等，即∠B=∠C.

生5：我們可以考慮利用三角形全等來證明.

生6：想要用這種知識(shí)就必須有兩個(gè)三角形，我想通過添加輔助線把這個(gè)△ABC分割成兩個(gè)全等的三角形.

師：很好，添加輔助線有很多不同的方法，下面請(qǐng)同學(xué)們討論如何添加輔助線.

課堂活動(dòng)記錄：經(jīng)過激烈的討論之后，各小組同學(xué)都用鉛筆畫出了各自的討論結(jié)果.

生7：我添加的輔助線如圖6所示，任意在AB上取一點(diǎn)D，連接CD就可以出現(xiàn)兩個(gè)三角形△ADC和△BDC.

師：很好，生7用CD成功將△ABC分割成了兩個(gè)三角形.但是，這種輔助線破壞了∠C與線段AB這兩者的完整性，從而無法利用已知條件AB=AC.所以該輔助線的添加不利于解題，故此方法不可取.還有其他更好的方法嗎？

生8：我添加的輔助線如圖7所示，任意在AB上取一點(diǎn)E，在AC上取一點(diǎn)F，連接EF就可以出現(xiàn)兩個(gè)三角形△ABC和△AEF.

師：很好，生8的做法保留了∠B，∠C的完整性.但是，依然無法利用AB=AC這一條件，故這種添置輔助線的想法仍不可取.

生9：我添加的輔助線如圖8所示，任意在BC上取一點(diǎn)G，連接AG，就可以出現(xiàn)兩個(gè)三角形△ABG和△ACG.

師：很好，生9的做法保留了∠B，∠C的完整性，且可以利用已知條件AB=AC，但仍然無法證明∠B=∠C.為什么這條輔助線在滿足保留不破壞題目條件的要求后，還是不能證明∠B=∠C呢？

生10：我的想法和生5一樣是利用全等這一知識(shí)點(diǎn)，且由生9中的輔助線的可行性知在BC上取點(diǎn)時(shí)，絕不能任意取點(diǎn)，應(yīng)帶有利用全等思想的目的性作輔助線，故我取BC的中點(diǎn)H，連接AH，則得到△ABH和△ACH（如圖9所示）.

師：非常好，這種做法既保留了∠B，∠C的完整性，可以利用已知條件AB=AC.又通過H點(diǎn)的選取，得到新的條件：BH=CH.下面請(qǐng)同學(xué)們思考，根據(jù)圖8中的條件能否證明∠B=∠C呢？

生11：由圖8中可知，H點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，則△ABH與△ACH的三組對(duì)應(yīng)邊具有以下幾何關(guān)系：AB=AC，BH=CH，AH=AH.則由三角形全等的判定（“SSS”）公理知△ABH≌△ACH.由全等三角形的性質(zhì)可知∠B=∠C.

師：在這種證明過程中同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn)，我們利用了添加輔助線這一思想.并且通過四位同學(xué)的輔助線之間的對(duì)比，結(jié)合不同作法的輔助線對(duì)解題過程產(chǎn)生的不同影響，最后選出合理有效的輔助線，迅速準(zhǔn)確的證明了等腰三角形的兩底角相等.同時(shí)，也附帶地得出了“等腰三角形”的“三線合一”的性質(zhì).endprint

（3）張昆老師補(bǔ)充一種證明過程

師：以上證明的各種方法都各有特點(diǎn)，在孫培磊的這種證明方法中，在輔助線的幫助下利用了全等的思想構(gòu)造新的三角形進(jìn)行證明，實(shí)際上我們還可以直接利用全等三角形的知識(shí)解題.在△ABC中（如圖10）已知AB=AC，證明∠B=∠C，要證兩角相等只要兩角能夠重合即可.即∠B與∠C重合，那么我們不妨將△ABC通過翻轉(zhuǎn)得到△ACB（如圖11），在圖9與圖10這兩個(gè)三角形中，由于AB=AC，AC=AB，∠A=∠A故有△ABC≌△ACB（“SAS”）.由全等三角形的性質(zhì)可知：∠B=∠C.

反思：這種方法能夠更加直觀地利用全等三角形的知識(shí)，避免了構(gòu)造矩形和添加輔助線的復(fù)雜性，但這種翻轉(zhuǎn)的思想也不容易構(gòu)思，并且證明過程不能得出“三線合一”的性質(zhì).

2課堂討論的進(jìn)一步深入

我們合眾人之力，發(fā)現(xiàn)了“等腰三角形的兩底角相等”這個(gè)性質(zhì)定理的教學(xué)設(shè)計(jì)及其實(shí)施過程的三種方案.在這三種發(fā)生認(rèn)識(shí)方案中，都是學(xué)生可以接受的，但各有利弊.其實(shí)，實(shí)際的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的過程，為我們提供了鮮活的材料與資源，那么，大家在真正的教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，如何利用我們所獲得的這些材料呢？下面選擇了部分師范生課堂發(fā)言的要點(diǎn)摘錄：

陳帥的教學(xué)設(shè)計(jì)流程是不可能作為“等腰三角形”性質(zhì)證明的現(xiàn)實(shí)教學(xué)的.因?yàn)?，其一，在小學(xué)時(shí)，學(xué)生沒有學(xué)習(xí)嚴(yán)格的矩形性質(zhì)，在嚴(yán)格的平面幾何證明中，不宜于使用它作為理論基礎(chǔ)；其二，正如孫培磊的分析，學(xué)生不可能想到利用矩形作支架來證明這個(gè)性質(zhì)；因此，這種發(fā)生知識(shí)的過程對(duì)學(xué)生作相關(guān)輔助線的經(jīng)驗(yàn)與能力都沒有多大幫助.就是說，陳帥的教學(xué)知識(shí)分析是清楚的，但是，學(xué)情分析不夠，沒有估計(jì)好學(xué)生發(fā)生認(rèn)識(shí)的心理過程.

張老師（張昆）提供的證明方法具有較大的創(chuàng)造性，需要從圖10中想象出圖11，事實(shí)上，這是適應(yīng)了等腰三角形特殊性質(zhì)的特殊想法，這種解法對(duì)學(xué)生形成輔助線的認(rèn)識(shí)與能力沒有多大關(guān)系，因此，這種證明方法可以在完成教學(xué)任務(wù)后，針對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，通過合適的設(shè)計(jì)手段啟發(fā)他們發(fā)現(xiàn)，使學(xué)生體會(huì)思路發(fā)現(xiàn)的奇異之美.然而，對(duì)于我們師范生（將來的數(shù)學(xué)教師）而言，這一證明過程必須要考慮到，收入囊中，才能為我們今后的教學(xué)更好地發(fā)揮知識(shí)的價(jià)值提供幫助.

孫培磊的教學(xué)設(shè)計(jì)是優(yōu)質(zhì)的，她設(shè)法描摹學(xué)生產(chǎn)生這條合適的輔助線的心理過程，而不是將自己知道的這條輔助線的結(jié)果直接“奉獻(xiàn)”給學(xué)生.作為教師，對(duì)這條輔助線的添置幾乎已經(jīng)出于一種本能，但是，對(duì)于八年級(jí)的學(xué)生而言，剛接受平面幾何證明的學(xué)習(xí)，他們不可能直接就作出圖9中的AH，必然有一個(gè)審視圖形、思考、判斷與選擇的過程.事實(shí)上，對(duì)于我們有了學(xué)習(xí)平面幾何證明的師范生來說，圖9輔助線的想法近乎于一種直覺了，但是，也確實(shí)具有一種審視與選擇的過程.孫培磊采用了將學(xué)生發(fā)生輔助線的心理活動(dòng)過程通過設(shè)計(jì)的手段，細(xì)心地展示在學(xué)生的面前，用此行為促進(jìn)學(xué)生觀察自己的思考過程，并從這一活動(dòng)過程中獲得體驗(yàn)，形成經(jīng)驗(yàn).盡管這種發(fā)生知識(shí)的過程是常規(guī)的，但是，通過學(xué)情分析，加深對(duì)學(xué)生發(fā)生認(rèn)識(shí)過程的認(rèn)識(shí)，就可以設(shè)計(jì)出符合學(xué)生認(rèn)知方式的教學(xué)設(shè)計(jì)，由此，可以看出學(xué)情分析的重要性.

由這些同學(xué)的發(fā)言，師范生們得出了結(jié)論，應(yīng)當(dāng)選擇孫培磊提出的教學(xué)設(shè)計(jì)方案來實(shí)施教學(xué).此時(shí)，張昆老師又提出問題，那么，陳帥與張昆老師提出的這種發(fā)生知識(shí)（或證明結(jié)論）的過程對(duì)孫培磊提出的教學(xué)設(shè)計(jì)是否具有幫助呢？或者說，陳帥與張昆老師提供的這些作為原料的想法可以為孫培磊的教學(xué)設(shè)計(jì)增色嗎？

關(guān)于這一點(diǎn)，需要師范生提出自己的見解，孫培磊可能想得更為深刻些，我們摘錄她的發(fā)言：陳帥提出的矩形內(nèi)的等腰三角形可以作為探究等腰三角形的存在，并且非常直觀地給出了等腰三角形性質(zhì)的證明.因此，我們?cè)谡n的起始時(shí)，引進(jìn)等腰三角形性質(zhì)時(shí)利用它作為情境，可以不作出證明的依據(jù)（當(dāng)然，像我們前面的安排，帶領(lǐng)學(xué)生由此探究證明也沒有關(guān)系，可以過渡到我所提供的添加輔助線的證明過程）.張昆老師提出的證明方法可以安排在我所提供的性質(zhì)證明之后，引導(dǎo)學(xué)生思考，因?yàn)檫@種方法具有較大的創(chuàng)造性，也可以開闊學(xué)生的視野，應(yīng)用時(shí)，不能僅靠學(xué)生的想象力，而一定要給出另一個(gè)與之完全一樣的等腰三角形，正如張老師所提供的這一個(gè)虛線等腰三角形加以輔助.

3一點(diǎn)說明

本來本文的表達(dá)形式可以寫成數(shù)學(xué)教師現(xiàn)實(shí)中的教學(xué)設(shè)計(jì)，但是，考慮到高師高年級(jí)數(shù)學(xué)師范生與初職數(shù)學(xué)教師確實(shí)需要有一個(gè)吸收教學(xué)設(shè)計(jì)智慧與提升教學(xué)設(shè)計(jì)能力的過程，而這種原生態(tài)的教學(xué)論課堂討論，可能更具有啟發(fā)性與針對(duì)性.因此，我們選擇這種表達(dá)形式，在此特作一點(diǎn)說明.

參考文獻(xiàn)：

[1]張昆，曹一鳴.完善數(shù)學(xué)教師教學(xué)行為的實(shí)現(xiàn)途徑[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（3）：3.endprint