引領(lǐng)學(xué)生在“數(shù)學(xué)王國(guó)”中培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)“素養(yǎng)”

李明樹(shù)

新課程改革中主張?zhí)岣邔W(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上有不同的發(fā)展，暢游數(shù)學(xué)王國(guó)，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的奧妙與樂(lè)趣。

數(shù)學(xué)思維策略多元拓展阿基米德曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我可以撬動(dòng)地球”。這位偉大的歷史人物的豪言壯語(yǔ)中體現(xiàn)了“杠桿原理”的重要性，對(duì)物理乃至很多學(xué)科的領(lǐng)域做出了巨大的貢獻(xiàn)。而真正意義上的“撬動(dòng)”地球，需要一根足夠長(zhǎng)的杠桿和一個(gè)合適的支點(diǎn)。在中學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，培養(yǎng)學(xué)生形成自己的解題“策略”，是當(dāng)下中學(xué)教師急需面對(duì)的問(wèn)題。如何在數(shù)學(xué)問(wèn)題中找到“足夠長(zhǎng)的杠桿”，找到“恰當(dāng)?shù)闹c(diǎn)”呢？筆者認(rèn)為，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中廣泛地培養(yǎng)學(xué)生巧妙地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，不失為“撬動(dòng)地球”的輕松途徑。

一、調(diào)整“支點(diǎn)”的位置和“動(dòng)力臂的長(zhǎng)度”以“四兩撥千斤之力”輕松解決問(wèn)題

中學(xué)數(shù)學(xué)具有一定的邏輯思維性，解決問(wèn)題需要不斷地變換，需要一再認(rèn)識(shí)它，重新敘述它，直到最后成功地找到某些有用的東西。

例題：如圖，在□ABCD中，E、F分別是BA、DC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且AE∥CF，交BC、AD于點(diǎn)G、H.求證：EG=FH.

學(xué)生解題思路：先證四邊形AECF是平行四邊形得到AF=CE，再證△AFH≌△CEG。其清晰的思路使問(wèn)題能夠得以解決，但仔細(xì)回顧解題思路不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生選擇“三角形全等”作為“支點(diǎn)”，而三角形全等的條件是通過(guò)多次轉(zhuǎn)化才能找到，顯然使得“動(dòng)力臂”在縮短，“阻力臂”在變長(zhǎng)，使解題的流暢性受到限制，而且沒(méi)有使學(xué)生很好的利用平行四邊形的性質(zhì)和判定巧妙的解題。

教師引導(dǎo)：先證四邊形AECF是平行四邊形得到AE=CF，再證四邊形AGCH是平行四邊形得到AG=CH，從而AE-AG=CF-CH得到EG=CH。顯然，此法解決問(wèn)題時(shí)選擇好了適當(dāng)?shù)摹爸c(diǎn)”和“足夠的長(zhǎng)的動(dòng)力臂”，以“四兩撥千斤之力”，輕松地把問(wèn)題得以轉(zhuǎn)化。

二、多元拓展數(shù)與形的巧妙結(jié)合是對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的挑戰(zhàn)

教師在教學(xué)中要引起學(xué)生的興趣，符合他們的需要，才能有效促使學(xué)生的發(fā)展。美國(guó)圖論學(xué)者哈里說(shuō)過(guò)：“千言萬(wàn)語(yǔ)不及一張圖”。

例題：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度數(shù)。

學(xué)生的思維誤區(qū)：題目中的條件涉及到以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的三條線段的長(zhǎng)度分別是1、2、3，似乎和要解決的問(wèn)題之間沒(méi)有明確的聯(lián)系，進(jìn)而使學(xué)生的思維陷入了僵局……教師如何引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)某種手段使問(wèn)題得以轉(zhuǎn)化呢？數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化可以通過(guò)我們比較熟悉的平移，翻折和旋轉(zhuǎn)來(lái)達(dá)到。

方法一：圖2中，將△CBP繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CAP，連接PP，從而利用全等三角形和勾股定理的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題；

方法二：圖3中，將△CAP繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBP，連接PP，從而利用全等三角形和勾股定理的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題。

也許師生探討到這里似乎問(wèn)題得到了完美的解答，那么為什么圖形旋轉(zhuǎn)以后點(diǎn)B可以和點(diǎn)A重合呢？像這些細(xì)節(jié)問(wèn)題要引導(dǎo)學(xué)生理解，才是找到了解決本道題最重要的“支點(diǎn)”，從而順利的“撬動(dòng)”了地球，使學(xué)生既感受了數(shù)學(xué)的奧秘，又獲得了成功的喜悅，增進(jìn)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，進(jìn)而提升了學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、特殊的情形創(chuàng)造一般的精美——一般到特殊

解題時(shí)若能注意到問(wèn)題的特殊性，進(jìn)而分析考慮有無(wú)可能把待解決的問(wèn)題化為某個(gè)特殊問(wèn)題或極端問(wèn)題情形，不僅是可行的，也是必要的！

例題：如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD，AD=BC=3，AB=CD=9，在矩形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)M，在CD上取一點(diǎn)N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點(diǎn)K，得到△MNK，則對(duì)△MNK的敘述正確的個(gè)數(shù)是：①△MNK一定是等腰三角形；②△MNK可能是鈍角三角形；③△MNK有最小面積且等于4.5；④△MNK有最大面積且等于7.5（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

此題是個(gè)選擇題，由于題型的特殊性，教師不妨引導(dǎo)學(xué)生“因題施法”，待解決的問(wèn)題比較多，實(shí)際上只要明確軸對(duì)稱(chēng)這一變換的性質(zhì)是什么？折疊只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小，似乎它就不能稱(chēng)之為“地球”了，只能稱(chēng)為一個(gè)“乒乓球”了，怎樣找到合適的“支點(diǎn)”和足夠長(zhǎng)的杠杠呢？不妨引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問(wèn)題的問(wèn)法，△MNK的面積的最大（?。┲祮?wèn)題，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)△MNK的高可以看做是矩形的寬即BC的長(zhǎng)，所以有了這個(gè)巧妙的“杠杠”，“支點(diǎn)”很顯然就放在了三角形的底KN上了，而且KN的值是最合適的“支點(diǎn)”，從而學(xué)生的思維很快得到了提升和訓(xùn)練。如圖2中的KN最小，如圖3中的KN最大，最終把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到△ADK中利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題。

不重視解題方法的總結(jié)和歸納，是許多學(xué)生在中考和高考中成績(jī)不理想的一個(gè)主要原因。教師的使命不是教會(huì)學(xué)生怎么提高數(shù)學(xué)成績(jī)和分?jǐn)?shù)，而是在不斷地探索和收獲中能夠?qū)で蠼鉀Q問(wèn)題的巧妙辦法，從而積累自己的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也是培養(yǎng)思維能力、創(chuàng)造能力的有效途徑，從而推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。