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    一類耦合超混沌系統(tǒng)同步控制

    2014-12-26 16:28:31張恩賓劉紅敏
    科教導刊 2014年34期
    關(guān)鍵詞:同步控制

    張恩賓 劉紅敏

    摘 要 本文主要研究了一類耦合超混沌系統(tǒng)的同步控制問題,基于實際應用背景給出了一種可行的同步控制定義,在此定義下分別對兩個典型耦合超混沌系統(tǒng)的同步控制進行了研究,利用全局Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性理論分析方法,分別給出了針對不同耦合方式的耦合超混沌系統(tǒng)的同步控制方法,并且這種方法對所有初值都是成立的。

    關(guān)鍵詞 超混沌系統(tǒng) 同步控制 Lyapunov函數(shù)

    中圖分類號:O415.5文獻標識碼:A

    Synchronization of Some Coupled Hyperchaotic Systems

    ZHANG Enbin, LIU Hongmin

    (Information Engineering Department, He'nan College of Finance & Taxation, Zhengzhou, He'nan 451464)

    Abstract This paper studies mainly of synchronization of some coupled hyperchaotic systems, Base on the application of communications, we has been a new viable definition of synchronization. Following this definition, we have been studied on two well-known hyperchaotic systems, and a new result on the systems synchronized for all initial conditions has been given, which has been proved using the Lyapunov function method.

    Key words Hyperchaotic systems; synchronization; Lyapunov function

    0 引言

    近年來,混沌系統(tǒng)的同步控制及其在保密通信中的應用研究得到了廣泛的關(guān)注,混沌同步技術(shù)更是其中的關(guān)鍵問題([1][2][3])。對混沌同步控制的研究有以下主要結(jié)論:

    定理1[3] 給定兩個混沌系統(tǒng)

    = ?() ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1)

    = ?() + () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(2)

    其中,()為一對角陣,系統(tǒng)(1)稱為驅(qū)動系統(tǒng),系統(tǒng)(2)稱為受迫系統(tǒng)。若||(0)(0)||充分小,則存在一個有限值( = 1,2,…,)對 = (,,…,)有≥使得系統(tǒng)(1)和(2)是同步的(證明參見[3])。

    這種方法主要通過計算Lyapunov指數(shù)來整定反饋系數(shù)矩陣,這就存在幾個問題。首先,在計算Lyapunov指數(shù)時計算量大且右端項 ()必須可微;其次,必須保證初值相差很小。這些都為實際應用帶來了很多不便,特別是對高維超混沌系統(tǒng)就不太適用了。

    由于高維超混沌系統(tǒng)能產(chǎn)生更復雜的動態(tài)特性,因此成為了研究的重點,在文獻[4][5]基礎(chǔ)上,通過分析兩類典型的耦合混沌系統(tǒng)的同步控制,給出了基于Lyapunov函數(shù)的一種中給出了一種基于觀測器的方法,給出了對任意初值的同步控制方法,本文在文獻[5]的基同步控制方法,并且這種方法對任意初值都是有效的。

    1 耦合超混沌同步控制

    本文基于保密通信的實際應用背景,結(jié)合文獻中已有的方法,給出了一種可行的混沌同步定義,下文主要基于此定義進行討論:

    定義1 設有下面兩個系統(tǒng):

    = ?() ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3)

    = ?() + () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(4)

    其中, (,)是與 ()有關(guān)的適當反饋項,記() = ()()為誤差系統(tǒng),若||()|| = 0,我們就稱系統(tǒng)(1)、(2)是同步的。

    1.1 線性耦合超混沌系統(tǒng)的同步控制

    我們考慮Chua系統(tǒng)[6]:

    (5)

    其中 () = 3()1.6(∣∣∣+1∣)為一分段線性函數(shù)。

    在定義1中?。ǎ?= (),其中 = (,,,), = [,,,], = [,,,],可得系統(tǒng)(5)的受迫系統(tǒng)為:

    (6)

    設 = , = , = , = 。則得誤差方程:

    (7)

    取Lyapunov函數(shù)為() = ?+ ?+ ?+ ,顯然對于任意的≠0都有()>0,考慮:

    () = · + · + 2· + · ? ? ? ? ? ?(8)

    由(7)得:() = 2()[ () ()]2() ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (9)

    我們的目的是使()<0,下面考慮 () ()的估計。

    為了方便不妨記 = 、 = ?,我們分別在區(qū)間(,],(],(1,)上簡單計算可得:

    ≤(()())()≤

    又 = 則

    (()())≤

    代入(9)得

    ()≤2()

    (10)

    因為總是非正的,故我們?nèi)?0,>0,>0,>0則()<0也即是說誤差方程(7)是在Lyapunov意義下是漸近穩(wěn)定的,所以系統(tǒng)(5)、(6)當反饋矩陣滿足上述條件時是同步的,且對任意初值成立。又由(10)我們可以看 = 0, = 0,>0, = 0時,同樣可以得到混沌系統(tǒng)的同步控制,即可以用一個非零元素來控制,這在應用中有實際意義。

    圖1 Chua系統(tǒng)同步誤差( = 0, = 0, = 0, = 0)

    1.2 非線性耦合超混沌系統(tǒng)同步控制

    本節(jié)我們考慮系統(tǒng)[7]:

    (11)

    由于該系統(tǒng)含有非線性耦合項,因此不能直接采用上節(jié)的控制方法。我們對此設置觀測項,取 = ?+ (),其中 = (,), = [,,,], = [,,,],給出定義1中的受迫系統(tǒng)形式為:

    (12)

    下面我們對進行整定,使系統(tǒng)(12)是對系統(tǒng)(11)的全局觀測,即實現(xiàn)系統(tǒng)同步。

    記 = 得誤差系統(tǒng)方程:

    (13)

    構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為() = ?+ ?+ ?+ ,≠0有()>0,考慮() = ?+ ?+ ?+ 代入(13)得

    () = ()()()()0.5( + )0.50.25

    (14)

    因為0.5( + ),0.5,0.25都是非正項,故我們?nèi)?0.5,>0.75,>0.75,>0.8則有()<0,即當上述條件滿足時誤差方程(13)漸近穩(wěn)定,所以此時系統(tǒng)(11)和(12)是同步的,并且對任意初值成立。

    圖2 系統(tǒng)同步誤差仿真結(jié)果( = 1, = 2, = 2, = 2.5)

    2 結(jié)束語

    上述方法主要針對不同的耦合形式,構(gòu)造不同的同步系統(tǒng),使得以誤差方程為線性系統(tǒng),通過構(gòu)造相應的Lyapunov函數(shù),利用穩(wěn)定性判別方法,理論分析證明了其(下轉(zhuǎn)第244頁)(上接第206頁)有效性,并且可以得到同步控制參數(shù)的估計,從而實現(xiàn)混沌系統(tǒng)的同步控制,并且在實際應用中也是可行的,從計算機模擬結(jié)果可以看出本文的方法是有效的。另外,這種方法可以類似的推廣到一般的耦合超混沌系統(tǒng)。

    參考文獻

    [1] T. L. Carroll and L. M. Pecora, “Synchronization chaotic circuits,” IEEE Trans. Circuit Systems, vol 38,pp. 456. Apr. 1991.

    [2] L. kocarev, K. S. Halle, K. Eckert, L. O. Chua. Experimental demonstration of secure communication via chaotic synchronization[J].Int. J. Bifurc. Chaos,1992.2(3):709-713.

    [3] L. Kocarev, A. Shang, and L. O. Chua, “Transtitions in dynamical regimes by driving: a unified method of control and synchronization of chaos,” Int.J.Bifurc.Chaos,1993:479-483.

    [4] O. Morgul and E. Solak, “Observer based synchronization of chaotic systems,” Phys. Rev. E, vol. 54, no. 5, pp. 4803~4811,1996.

    [5] Giuseppe Grassi and Saverio Mascolo, “Nonlinear Observer Design to Synchronize Hyperchaotic Systems via a Scalar Signal,” IEEE Trans. Circuits Systems, vol. 44, NO. 10, Oct. 1997:1011~1014.

    [6] T. Matsumoto, L. O. Chua, and K. Kobayashi, “Hyperchaos: Laboratory experiment and numerical confirmation,” IEEE Trans. Circuits Systems, vol. CAS-38, no. 11, pp. 1143-1147, Nov. 1986.

    [7] O. E. R?ssler, “An equation for hyperchaos,” Phs. Lett., vol. 71A, no. 2-3, pp. 155-157,1979.

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