固體運(yùn)載器大氣飛行段內(nèi)彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)研究

梁欣欣，李世鵬，陳 陽(yáng)，張 艷，傅 瑜

（北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京100076）

在滿(mǎn)足一定的固體發(fā)動(dòng)機(jī)總體性能的設(shè)計(jì)約束下，內(nèi)彈道決定了發(fā)動(dòng)機(jī)推力大小的變化趨勢(shì)，飛行程序角則決定了推力方向，將二者聯(lián)合尋優(yōu)，可使固體運(yùn)載器的總體方案和飛行程序更加優(yōu)化［1－4］。在開(kāi)展固體運(yùn)載器總體設(shè)計(jì)的初步論證過(guò)程中，普遍將發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)彈道以平均推力曲線(xiàn)形式來(lái)開(kāi)展發(fā)動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)與總體方案論證。事實(shí)上，平均推力曲線(xiàn)形式的內(nèi)彈道設(shè)計(jì)對(duì)于實(shí)現(xiàn)射程指標(biāo)以及大氣飛行段姿控穩(wěn)定、載荷條件等并非最優(yōu)。本文旨在探尋固體運(yùn)載器具有較好性能時(shí)的發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)彈道曲線(xiàn)形式，在實(shí)際工程研制過(guò)程中可通過(guò)發(fā)動(dòng)機(jī)藥柱設(shè)計(jì)來(lái)改變藥柱燃燒過(guò)程中的燃面，獲得有利于運(yùn)載器總體性能的曲線(xiàn)形式。

本文以射程最大為目標(biāo)，用離散化方法建立了內(nèi)彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，并開(kāi)展了內(nèi)彈道優(yōu)化仿真，在滿(mǎn)足飛行過(guò)程中的姿控和載荷約束的同時(shí)，提高固體運(yùn)載器的射程。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 飛行程序設(shè)計(jì)

固體運(yùn)載器飛行程序采用目前通常使用的工程設(shè)計(jì)方法［5］。在主動(dòng)段，運(yùn)載器垂直起飛一段時(shí)間后，利用攻角轉(zhuǎn)彎段調(diào)整推力的方向，此后進(jìn)入攻角為0的重力轉(zhuǎn)彎段，在減小氣動(dòng)損失的同時(shí)，達(dá)到彈道轉(zhuǎn)彎的目的，然后進(jìn)入定軸俯仰程序角飛行段。被動(dòng)段為無(wú)動(dòng)力橢圓軌道飛行段。固體運(yùn)載器主動(dòng)段俯仰飛行程序角曲線(xiàn)如圖1所示。

圖1 固體運(yùn)載器主動(dòng)段俯仰飛行程序角曲線(xiàn)

圖1 中，t1可由運(yùn)載器推重比確定，t2在運(yùn)載器飛行亞音速段結(jié)束，重力轉(zhuǎn)彎段可在大氣稀薄時(shí)的某一高度結(jié)束。通過(guò)以上程序角設(shè)計(jì)原則，推力方向的變化僅與攻角轉(zhuǎn)彎段的最大負(fù)攻角αM有關(guān)。

1.2 飛行動(dòng)力學(xué)建模

在方案論證階段，可將固體運(yùn)載器的運(yùn)動(dòng)視為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，在發(fā)射坐標(biāo)系內(nèi)建立質(zhì)點(diǎn)彈道模型［6－7］。固體運(yùn)載器運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

式中：x，y，z為運(yùn)載器位置在發(fā)射系的坐標(biāo)；vx，vy，vz為速度在發(fā)射系的分量。

動(dòng)力學(xué)方程為

式中：GB為彈體系到發(fā)射系的轉(zhuǎn)換矩陣；GV為速度系到發(fā)射系的轉(zhuǎn)換矩陣；Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z分別為氣動(dòng)阻力、升力和側(cè)力；gx、gy、gz為引力在發(fā)射系的分量；Fe為發(fā)動(dòng)機(jī)的有效推力，按下式計(jì)算：

式中：F0（t）為發(fā)動(dòng)機(jī)地面推力，Se為發(fā)動(dòng)機(jī)噴口面積，F(xiàn)v（t）為發(fā)動(dòng)機(jī)的真空推力，p為大氣壓強(qiáng)，p0為地面大氣壓強(qiáng)。

氣動(dòng)力按下式計(jì)算：

式中：Cx為阻力系數(shù)，Cαy為升力系數(shù)對(duì)攻角α的導(dǎo)數(shù)，Cβz為側(cè)力系數(shù)對(duì)側(cè)滑角β的導(dǎo)數(shù)，SM為固體運(yùn)載器特征面積，q為動(dòng)壓。

地球采用靜止圓球假設(shè)，因此引力可按下式計(jì)算：

式中：g沿地心矢徑方向，可根據(jù)角度關(guān)系獲得發(fā)射系分量gx，gy，gz；μ為地球引力系數(shù)；r為地心矢徑。

質(zhì)量按下式計(jì)算：

式中：m為運(yùn)載器實(shí)時(shí)質(zhì)量，m0為各級(jí)起飛質(zhì)量，為各級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)的質(zhì)量流量。

2 優(yōu)化模型及求解方法

2.1 優(yōu)化模型

本文建立推力曲線(xiàn)的假設(shè)條件：①發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥量、總沖、工作時(shí)間保持不變；②內(nèi)彈道推力與壓強(qiáng)、流量成正比；③不考慮發(fā)動(dòng)機(jī)上升沿與下降沿的曲線(xiàn)變化；④不考慮內(nèi)彈道曲線(xiàn)的變化導(dǎo)致的發(fā)動(dòng)機(jī)總重的變化。

將內(nèi)彈道推力曲線(xiàn)離散化為多個(gè)結(jié)點(diǎn)，將每個(gè)結(jié)點(diǎn)上的推力值作為優(yōu)化變量，然后采用擬合方法獲得整個(gè)內(nèi)彈道推力曲線(xiàn)。

離散及擬合方法在軌跡優(yōu)化的各類(lèi)算法中應(yīng)用較為廣泛，本文采用等時(shí)間間隔離散、線(xiàn)性擬合方法。將發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間為T(mén)的內(nèi)彈道推力曲線(xiàn)F（t）離散化為等時(shí)間間隔的N段，N＋1個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)上的推力值分別為F0，F(xiàn)1，…，F(xiàn)N，n＝1，2，…，N，則曲線(xiàn)F（t）可利用時(shí)間節(jié)點(diǎn)上的推力值線(xiàn)性擬合獲得，即：

推力結(jié)點(diǎn)值F0，F(xiàn)1，…，F(xiàn)N和最大負(fù)攻角αM構(gòu)成了優(yōu)化問(wèn)題的優(yōu)化變量。發(fā)動(dòng)機(jī)總沖為定值，且推力結(jié)點(diǎn)值受發(fā)動(dòng)機(jī)承壓影響需在一定范圍內(nèi)變化，即構(gòu)成了優(yōu)化問(wèn)題的約束條件。綜上，可建立以最大射程為優(yōu)化目標(biāo)的內(nèi)彈道優(yōu)化模型，如下所示：

式中：J（X）為目標(biāo)函數(shù)，X為優(yōu)化變量，L為射程，I為發(fā)動(dòng)機(jī)總沖，F(xiàn)為平均推力，δ為平均推力上下浮動(dòng)的百分比，可根據(jù)發(fā)動(dòng)機(jī)可承受壓強(qiáng)確定。流量的計(jì)算可根據(jù)與推力成正比的關(guān)系計(jì)算得到。

為了將上述帶約束的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的優(yōu)化問(wèn)題，將待優(yōu)化的各節(jié)點(diǎn)推力值進(jìn)行等比調(diào)節(jié)和值域調(diào)控的迭代處理，使得約束自動(dòng)滿(mǎn)足。無(wú)約束的優(yōu)化模型為

將帶約束的優(yōu)化問(wèn)題（8）轉(zhuǎn)換為無(wú)約束問(wèn)題（9）的流程，如圖2所示。

圖2 帶約束的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為無(wú)約束問(wèn)題的流程圖

2.2 優(yōu)化流程

針對(duì)優(yōu)化模型，可將攻角轉(zhuǎn)彎段的最大負(fù)攻角利用一維搜索獲得優(yōu)化值，其余優(yōu)化變量利用成熟的優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化。針對(duì)優(yōu)化模型（8）的仿真優(yōu)化流程如圖3所示。

圖3 離散法優(yōu)化流程

2.3 優(yōu)化算法

本文采用自適應(yīng)差分進(jìn)化法［8－9］進(jìn)行優(yōu)化求解。1）基本思想。

自適應(yīng)差分進(jìn)化法的基本思想為：針對(duì)種群中個(gè)體適應(yīng)度的分散程度進(jìn)行度量，并利用個(gè)體的適應(yīng)度及其分散程度進(jìn)行交叉和變異操作，用種群熵表征種群搜索過(guò)程中的收斂程度，并根據(jù)種群熵的變化自適應(yīng)地減小種群的搜索范圍，即在搜索初期快速減小種群的搜索范圍，提高早期收斂的快速性；隨著搜索的進(jìn)行，逐步降低種群搜索范圍減小的速度，以保證全局收斂性能，避免局部收斂。

2）基本操作。

設(shè)種群規(guī)模為m，設(shè)Fmin和Fmax是在搜索過(guò)程中第k代種群的最小和最大適應(yīng)度值，將適應(yīng)度值劃分為等距的m個(gè)Aj（j＝1，2，…，m）區(qū)域：

設(shè)種群中有mj個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值屬于Aj區(qū)域，定義個(gè)體出現(xiàn)在Aj區(qū)域的概率為Pj＝mj／m。由此，定義第k代種群的熵為設(shè)krc、S分別為初始種群或改變范圍后種群的代數(shù)和熵，kmax為最大的設(shè)定代數(shù)，定義SR為是否改變種群范圍的控制參數(shù)：SR＝0.98exp（－krc／kmax）。

設(shè)優(yōu)化變量xj∈ ［，］，j＝1，2，…，m，和分別為第k代種群中適應(yīng)度值前60%的個(gè)體的第j個(gè)變量的最大值和最小值。當(dāng)Sk／S＜SR時(shí)，改變種群搜索的范圍：

式中：w為松弛因子。在搜索初期，SR較大，保證算法快速縮小種群的搜索范圍，提高搜索效率。隨著搜索的進(jìn)行，SR逐漸變小，種群搜索范圍縮小的速度減緩，以保證算法的全局收斂性。

3）算法流程。

自適應(yīng)差分進(jìn)化法的流程如圖4所示。

圖4 自適應(yīng)差分進(jìn)化算法流程圖

3 優(yōu)化結(jié)果及分析

針對(duì)典型三級(jí)固體運(yùn)載器大氣飛行段開(kāi)展分析。對(duì)于載荷條件，由于該飛行器一級(jí)飛行段不是最?lèi)毫虞d荷環(huán)境，其最大動(dòng)壓提高30%依然滿(mǎn)足載荷條件；對(duì)于姿控條件，一二級(jí)分離的高度盡可能高，一二級(jí)分離動(dòng)壓盡可能小，則對(duì)姿控條件越有利。

利用自適應(yīng)差分進(jìn)化法開(kāi)展離散模型的優(yōu)化。將一級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間等間隔分為24段，以25個(gè)節(jié)點(diǎn)值作為優(yōu)化變量，最優(yōu)轉(zhuǎn)彎攻角αM在25個(gè)節(jié)點(diǎn)值確定后由一維搜索算法獲得，δ＝0.3，即F（t）內(nèi)彈道曲線(xiàn)各節(jié)點(diǎn)值上、下限分別設(shè)定為平均推力值的130%和70%。種群規(guī)模為40，迭代收斂最大代數(shù)為200代。

優(yōu)化迭代收斂曲線(xiàn)如圖5所示，得到的優(yōu)化內(nèi)彈道曲線(xiàn)如圖6所示，優(yōu)化結(jié)果與平均推力對(duì)比如表1所示。圖5中，Lmax為每代最大射程值，表1中以平均模型為基準(zhǔn)給出了各量?jī)?yōu)化后的變化百分比，L為射程，qmax為最大動(dòng)壓，Hs為一二級(jí)分離高度，qs為一二級(jí)分離動(dòng)壓。

圖5 優(yōu)化收斂曲線(xiàn)

圖6 優(yōu)化內(nèi)彈道曲線(xiàn)

表1 優(yōu)化結(jié)果與平均推力對(duì)比

由圖表可知，“前高后低”的雙推力內(nèi)彈道曲線(xiàn)對(duì)于提高射程來(lái)說(shuō)具有積極意義，可提高射程約3.1%；同時(shí)，由于跨音速段推力大，導(dǎo)致最大動(dòng)壓提高27.1%，小于可承受最大動(dòng)壓；一二級(jí)分離高度提高為115.6%，分離動(dòng)壓減小為37.8%，這對(duì)于姿控分離穩(wěn)定十分有利。因此，在固體運(yùn)載器方案論證時(shí)，可針對(duì)“前高后低”的雙推力內(nèi)彈道形式對(duì)大氣飛行段工作的發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)展研究論證工作，保證在符合發(fā)動(dòng)機(jī)性能約束和運(yùn)載器飛行載荷環(huán)境約束的情況下，提高射程能力，改善一二級(jí)分離環(huán)境。

4 結(jié)論

本文以固體運(yùn)載器為研究對(duì)象，針對(duì)大氣飛行段內(nèi)彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)建模，并以自適應(yīng)差分進(jìn)化法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。通過(guò)對(duì)仿真結(jié)果的分析，有以下幾點(diǎn)結(jié)論：①將內(nèi)彈道及外彈道聯(lián)合優(yōu)化，可進(jìn)一步改善固體運(yùn)載器的整體性能和飛行環(huán)境；②內(nèi)彈道曲線(xiàn)優(yōu)化形式并非傳統(tǒng)認(rèn)為的平均推力形式；③“前高后低”的雙推力的內(nèi)彈道曲線(xiàn)形式對(duì)于提高射程和改善飛行環(huán)境具有積極意義。

研究成果可為固體運(yùn)載體總體方案論證提供借鑒意義。

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