中國(guó)剩余定理（四）

劉瑋

皓天：“你跟我講講什么是同余式?！冰i飛和皓天開始討論同余式。

就好比4和7被3除余數(shù)都是1，4和7對(duì)3是同余的。如果兩個(gè)數(shù)，比如a和b被m除的余數(shù)相同，我們就說a和b對(duì)模m同余，記作：

a ≡ b（modm）

通常b

對(duì)于孫子定理，“物不知數(shù)”：用3除余2，用5除余3，用7除余2。把這個(gè)未知數(shù)用同余式可寫成：

N ≡ 2（mod3）

N ≡ 3（mod5）

N ≡ 2（mod7）

先設(shè)法將余數(shù)化為1，即得：

N1 ≡ 1（mod3）

N2≡ 1（mod5）

N3 ≡ 1（mod7）

由上式可知，需要找一個(gè)數(shù)用3除余1且又是5和7的公倍數(shù)：

5×7n1 ≡ 1（mod3）

即：

35n1 ≡ 1（mod3）

這里n1 = 2，則N1 = 70。其中的35這個(gè)數(shù)是計(jì)算過程中要照顧另兩個(gè)條件而衍生出來的數(shù)，叫衍數(shù)，之后衍數(shù)還要被乘以題中的余數(shù)2而放大成70。放大衍數(shù)的目的是為了找到除3余1的數(shù)，所以這個(gè)方法被秦九韶稱作“大衍求一術(shù)”。

秦九韶創(chuàng)造的“大衍求一術(shù)”，開創(chuàng)了系統(tǒng)的一般一次同余式組解法的先河。在中世紀(jì)，它不僅代表了中國(guó)數(shù)學(xué)的最高成就，即使在當(dāng)時(shí)的世界領(lǐng)域中也是處于最先進(jìn)的水平，比西方同類解法早500多年。

“物不知數(shù)”題流傳到國(guó)外，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在其《算盤書》中就引用了該題。到18世紀(jì)初，該題又輾轉(zhuǎn)到歐洲，“數(shù)學(xué)王子”高斯對(duì)一次同余式組進(jìn)行研究，在其著作《算術(shù)研究》中給出了它的一般性解法，并將這種解法命名為“高斯定理”。而高斯解法符合“大衍求一術(shù)”，之后歐洲人便將“高斯定理”改為“中國(guó)剩余定理”。秦九韶的“大衍求一術(shù)”在數(shù)學(xué)史上有著不可動(dòng)搖的領(lǐng)先地位，甚至在當(dāng)代的電子計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)中也用到了。

“中國(guó)人也這么厲害啊！我為此感到無比自豪。”皓天由衷地佩服秦九韶，“說了半天，我早餓了，咱們先吃點(diǎn)東西吧?！?/p>

“這旁邊就有美食小吃，” 鵬飛向店家招了招手，“請(qǐng)把你們的特色小吃每樣都來一份！”

他倆一邊聊著“中國(guó)剩余定理”，一邊欣賞著周圍美景。清秀的村莊三面環(huán)山一面臨水，湖光山色，景色宜人。湖水清澈見底，湖中還有幾對(duì)鴨子在嬉戲……

“看！那邊來了位村姑，她端了那么大的一個(gè)重筐?！?/p>

村姑是來湖邊洗碗的，皓天走過去和她搭訕道：“怎么會(huì)要洗這么多碗？你家里來了很多客人嗎？”

村姑說：“是啊，兩個(gè)客人共用一碗飯，三個(gè)客人共用一碗湯，五個(gè)人共食一碗肉，不知道客人有多少。”

鵬飛：“那你告訴我你要洗多少碗?！?/p>

“嘿嘿！我也不清楚呢。” 村姑一邊洗碗一邊說，“剛才我兩個(gè)兩個(gè)地?cái)?shù)不多不少正好點(diǎn)完，三個(gè)三個(gè)地?cái)?shù)就多出兩個(gè)，五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)也多出兩個(gè)。我家?guī)锥嗫腿藥锥嗤?？?/p>

“咳！總共不足100個(gè)碗還來考我們！”鵬飛來了興致，“用不定方程！”

皓天也喊道：“‘大衍求一術(shù)！”

他們各自快速動(dòng)手算了起來。鵬飛設(shè)x個(gè)客人，用了y只碗，則有：

x/2 + x/3 + x/5 = y

化簡(jiǎn)得：

31x = 30y

皓天將表中數(shù)據(jù)換上新數(shù)后往下算（請(qǐng)?jiān)谙卤砝锾钌希?，然后向那村姑說道：“你家來了60個(gè)客人，用了62個(gè)碗，對(duì)嗎？”

村姑：“你真聰明！告訴我你是怎么算出來的？”

皓天學(xué)著程大位的樣子喃喃念道：“兩個(gè)吃貨一壺茶，三山給水十只鴨；五顏六色山海味，吃上一月再回家?！?/p>

“妙！妙！”村姑連連稱贊，“你答對(duì)了。”

鵬飛也樂不思蜀了：“好！吃上一月再回家！”