中職單報(bào)高職中三角函數(shù)知識(shí)復(fù)習(xí)的方法探析

張 智

（六盤水職業(yè)技術(shù)學(xué)院，貴州 六盤水553001）

從近幾年的貴州省中職單報(bào)高職招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷來(lái)看，三角函數(shù)這部分內(nèi)容的比重較重，2010 年、2011 年、2012 年均為31 分，占到總分?jǐn)?shù)的20% ，題型基本由選擇題、填空題和計(jì)算題構(gòu)成。

考查的主要內(nèi)容分別是任意角的三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、加法定理、最值、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。下面筆者根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，結(jié)合試卷上的問(wèn)題，談?wù)劚救藢?duì)三角函數(shù)知識(shí)復(fù)習(xí)的粗淺看法。

1 三角函數(shù)的定義

例1.若角α 的終邊過(guò)點(diǎn)P（3、-4），則sinα=( D ) （2011 卷）

例2.若角α 的終邊過(guò)點(diǎn)P（-1,1），則cosα=( C ) （2012 卷）

根據(jù)已知任意角α 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)， 先求出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，那么代入對(duì)應(yīng)的公式，得解。 這部分內(nèi)容考試時(shí)以選擇題的形式出現(xiàn)，學(xué)生只要能熟記定義，對(duì)角α 的正弦、余弦對(duì)應(yīng)的比值分辨得清楚，不弄混淆，基本上都能夠作出正確的選擇。

2 常見特殊角的三角函數(shù)值

中學(xué)階段學(xué)習(xí)的銳角的三角函數(shù)值， 比如30°、45°、60°對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，我們現(xiàn)階段的中職生多數(shù)記不住，個(gè)別記住的，又記混淆了。 再加上還要記住0°、90°、180°、270°、360°這些新增加的特殊角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，就更難了。每次用到的話，如果都要臨時(shí)用定義去推算的話，得不償失，既費(fèi)時(shí)又費(fèi)力。 對(duì)于這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，我借助它們的圖像（“五點(diǎn)法”作的正弦、余弦函數(shù)圖像以及[-90°，90°]間正切函數(shù)的圖像）和相應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性以及特殊交點(diǎn)的值，就能把不易記住、易混淆的函數(shù)值都弄清楚，這對(duì)順利解決相關(guān)問(wèn)題幫助很大，效果很明顯。當(dāng)然對(duì)角度制和弧度制轉(zhuǎn)換是要熟練掌握的。

3 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

對(duì)部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，要記住并且熟練運(yùn)用這些誘導(dǎo)公式，是較難的一件事情。 我在給學(xué)生們講解這部分內(nèi)容時(shí)，分別用不同的語(yǔ)言描述出這些公式的特點(diǎn)，直觀淺顯地教給學(xué)生，讓他們輕松自如地使用它們。

3.1 α+k·360°（k∈Z）的誘導(dǎo)公式

這些角與α 具有相同的終邊，k 取整數(shù)。 公式描述為：“終邊相同的角同名三角函數(shù)值相等”?！巴弊匀皇侵溉呛瘮?shù)名稱前后一致。常見的代表角度，比如390°角與30°角，sin390°就直接等于sin30°，其中k=1。

3.2 -α 的誘導(dǎo)公式

這組公式我們從正弦、 余弦和正切函數(shù)它們的簡(jiǎn)單圖像入手，容易發(fā)現(xiàn)它們的圖像只有余弦的關(guān)于y 軸對(duì)稱，從而判定余弦函數(shù)是偶函數(shù)。其余兩個(gè)圖像關(guān)于圓點(diǎn)對(duì)稱，只能是奇函數(shù)。公式描述為：“負(fù)號(hào)出現(xiàn)在cos 里面，負(fù)號(hào)要消失”。 言外之意，負(fù)號(hào)出現(xiàn)在sin、tan 里面，負(fù)號(hào)都要往前提。

3.3 180°+α 的誘導(dǎo)公式

把α 看作一個(gè)銳角，在它的基礎(chǔ)上加上一個(gè)正的180°，自然這個(gè)角的終邊就到第三象限了。我們知道，第一、第三象限的角的正切值為正。 這組公式就選常見的一句話——“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”來(lái)描述。 三個(gè)公式中，只有正切的公式直接相等，即tan(180°+α) = tanα, 正弦、余弦的公式展開后都要帶負(fù)號(hào)。

3.4 180°-α 的誘導(dǎo)公式

這組公式選用初中的補(bǔ)角關(guān)系來(lái)描述更簡(jiǎn)單，又更容易記住?！盎檠a(bǔ)角的兩個(gè)角，正弦值相等”。余弦、正切的話，公式展開后都要帶負(fù)號(hào)。

掌握以上知識(shí)后，解決下面的問(wèn)題就比較簡(jiǎn)單了。

以上四組公式，用單位圓的知識(shí)進(jìn)行講解的話，對(duì)我們的學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)起來(lái)很困難，并且教學(xué)質(zhì)量無(wú)法保證。如果都用一句口訣——“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”來(lái)記的話，學(xué)生會(huì)覺(jué)得很籠統(tǒng)，不透徹，無(wú)法激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。本人覺(jué)得，考慮到學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際，四組公式從不同的特點(diǎn)入手，選用個(gè)性化、差別化的口訣來(lái)幫助理解、記憶，直觀簡(jiǎn)單了很多，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

4 三角函數(shù)的基本變換方法（二倍角公式、加法定理、最值的求法）

例6.sin22.5°cos22.5°的值是（ C ）.（2011 年卷）

這是二倍角正弦公式的反用情況。 二倍角正弦公式可以理解為，同角的正弦和余弦相乘的2 倍等于這個(gè)角2 倍角的正弦。

例7.sin10°cos20°+cos10°sin20°=（2012 年卷）。

這是正弦加法定理的反用情況， 利用口訣—— “正余余正符號(hào)同”，上式就等于30o 的正弦值了。 余弦加法定理的口訣則為“余余正正符號(hào)異”。 口訣記住了，解決這類問(wèn)題就不難了。

這道題只要代入sinx 的兩個(gè)最值1 和-1， 就很容易得到所求的最大值是2。

以上三個(gè)知識(shí)點(diǎn)，只要學(xué)生能找到訣竅來(lái)理解公式，合理運(yùn)用公式應(yīng)該是很容易做到的。

5 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：sin2α+cos2α=1，.知道正弦函數(shù)值，可以利用平方關(guān)系，求出余弦函數(shù)值；然后利用商數(shù)關(guān)系，求出正切函數(shù)值.當(dāng)然這種方法運(yùn)算起來(lái)過(guò)程較為復(fù)雜，按部分學(xué)生的計(jì)算能力來(lái)講的話，要完整的得到正確答案，有較高的難度。 這類型的問(wèn)題選用用“四步法”來(lái)解決的話，較為簡(jiǎn)單。 “四步法”就是“一畫”：用已知條件所給的比的絕對(duì)值，畫出相應(yīng)的直角三角形（把α 看做是銳角）。 “二用”：用勾股定理求出直角三角形的第三邊，即是α 角的鄰邊。 “三求”：用銳角三角函數(shù)定義，求出α 的余弦、正切值的絕對(duì)值分別為“四定”：根據(jù)α是第二象限的角，確定α 的余弦和正切值都取負(fù)值，即就分別是所求的三角函數(shù)值。 這種方法理解掌握后，只需為數(shù)不多的幾步就能完成整個(gè)解題過(guò)程，能將學(xué)生從繁重的計(jì)算中解放出來(lái)。

三角函數(shù)這部分內(nèi)容，知識(shí)點(diǎn)較多而且有些雜亂，在復(fù)習(xí)時(shí)我們要以《考試大綱》為依據(jù)，立足教材，重視基礎(chǔ)，因材施教，教給學(xué)生一些直觀、易懂、實(shí)用的方式方法，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中做到心中有數(shù)，有的放矢，從而能在有限的時(shí)間內(nèi)取得最佳的學(xué)習(xí)效果。