關(guān)于“負(fù)零”的理解和教學(xué)

[摘 要] 通過(guò)對(duì)“負(fù)零”的深入理解，舉了一個(gè)教學(xué)案例，在該案例中融入了數(shù)學(xué)概念的挖掘與剖析，并且歸納出負(fù)號(hào)的兩層含義，解決了實(shí)際教學(xué)中的難題。文章的后兩部分對(duì)案例進(jìn)行評(píng)析和思考，提出一些教學(xué)觀點(diǎn)。

[關(guān)鍵詞] 負(fù)零;負(fù)號(hào);相反數(shù);近世代數(shù);興趣;最近發(fā)展區(qū)

[作者簡(jiǎn)介] 胡力文（1984—），男，安徽蕭縣人，碩士，中學(xué)二級(jí)教師、國(guó)家二級(jí)心理咨詢師，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育。

[中圖分類號(hào)] O12? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A? ? [文章編號(hào)] 1674-9324（2020）25-0337-02? ? [收稿日期] 2020-02-20

一、背景

“有理數(shù)”是滬教版六年級(jí)數(shù)學(xué)中的主要章節(jié)，而‘相反數(shù)和‘絕對(duì)值又是這一章當(dāng)中相當(dāng)重要的兩個(gè)概念，這兩個(gè)概念看似簡(jiǎn)單，實(shí)則里面有些細(xì)節(jié)問(wèn)題很不容易被人理解。比如，在“絕對(duì)值”一節(jié)中有一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)：當(dāng)a<0時(shí)，|a|=-a。許多學(xué)生也許會(huì)有這樣或那樣的疑問(wèn)：a已經(jīng)小于0了，怎么還會(huì)出現(xiàn)一個(gè)-a，這里的-a究竟是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？要解決這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，我們必須對(duì)“-”號(hào)的含義有深入的思考和理解。在對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行思考的過(guò)程中，我又想到了一個(gè)問(wèn)題，“-0”這樣的寫法可以嗎？如果可以，它表示什么含義？如果不可以，那又是為什么呢？這個(gè)問(wèn)題，我在課堂上提出，引起了學(xué)生很大的興趣。而當(dāng)我們把這一系列問(wèn)題都搞清楚之后，我們也就更容易把握相反數(shù)和絕對(duì)值這兩個(gè)重要概念了。

二、案例

那是2011年我剛踏上教師崗位的時(shí)候，六年級(jí)正好講到相反數(shù)和絕對(duì)值這兩個(gè)概念。在一次備課組的交流活動(dòng)中，好幾位老師都說(shuō)，當(dāng)a<0時(shí)，|a|=-a，學(xué)生很不容易理解，也有老師提出-a這個(gè)符號(hào)的出現(xiàn)對(duì)于六年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)是不是太早了？而對(duì)于這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，當(dāng)時(shí)似乎沒(méi)有老師能夠想出一個(gè)有效的解決方法，也就順其自然了，等學(xué)生到了七年級(jí)學(xué)了代數(shù)式之后他們自然會(huì)理解的。

由于我之前研究生期間主修的是代數(shù)方向，因此我對(duì)近世代數(shù)里面結(jié)構(gòu)和符號(hào)的理解就比較深入。在一次對(duì)于-a的思考過(guò)程中，我的腦海中突然產(chǎn)生了一個(gè)靈感：有理數(shù)集Q關(guān)于有理數(shù)的加法和乘法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)環(huán)（其實(shí)也是一個(gè)域），而環(huán)當(dāng)中關(guān)于加法運(yùn)算有“負(fù)元素”的概念，這里的“負(fù)元素”指的是加法交換群的逆元素，對(duì)應(yīng)到中學(xué)數(shù)學(xué)就是相反數(shù)。因?yàn)樵谌我庖粋€(gè)環(huán)當(dāng)中0的負(fù)元素仍然是0，所以我又想到了這樣一個(gè)事實(shí)：-0是有確切含義的，它表示0的相反數(shù)，-0=0。帶著這樣的思考，我走進(jìn)了課堂。

那節(jié)課，我簡(jiǎn)單地給學(xué)生復(fù)習(xí)了一下正數(shù)、零、負(fù)數(shù)的概念之后，就提出了一個(gè)問(wèn)題：-0這樣的寫法可以嗎？如果可以，它表示什么含義？如果不可以，那又是為什么呢？我的問(wèn)題一說(shuō)完，學(xué)生們“唰”的一下討論開(kāi)了。他們有的說(shuō)可以，有的說(shuō)不可以，展開(kāi)了激烈的爭(zhēng)論。

就這樣，過(guò)了三四分鐘之后，我讓他們把注意力集中到我這邊，然后說(shuō)：“認(rèn)為可以的同學(xué)請(qǐng)舉手”，大約有一半不到的學(xué)生舉起了手。我接著說(shuō)：“認(rèn)為不可以的同學(xué)請(qǐng)舉手”，這次舉手的學(xué)生要稍微多一些。

接下去，我讓持這兩種不同觀點(diǎn)的學(xué)生說(shuō)一下他們的理由。第一位同學(xué)說(shuō)：“我認(rèn)為-0這樣的寫法是可以的，因?yàn)?0就等于0?！敝劣跒槭裁?0=0，他似乎不能更好地回答。第二位同學(xué)說(shuō)：“我認(rèn)為-0這樣的寫法不可以。因?yàn)?沒(méi)有正負(fù)，所以-0是沒(méi)有意義的”。

這兩位同學(xué)都說(shuō)完之后，又有同學(xué)在下面爭(zhēng)論。我示意讓他們安靜，這時(shí)他們都帶著期盼的眼神望著我，等待我宣布“最終判決”。我知道，此時(shí)他們一定非常想知道正確答案，于是我就說(shuō)：“事實(shí)上，-0這樣的寫法是可以的?！痹捯魟偮洌值谝环N觀點(diǎn)的同學(xué)都開(kāi)心地叫出了“耶！”而持第二種觀點(diǎn)的學(xué)生都在疑惑地問(wèn)我“為什么？”

這時(shí)候，我感覺(jué)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被激發(fā)出來(lái)了。接著我就說(shuō)：“在數(shù)軸上，按照有理數(shù)的大小來(lái)進(jìn)行分類，0右邊的數(shù)都是正數(shù)，0左邊的數(shù)都是負(fù)數(shù)，而0本身是沒(méi)有正負(fù)的，但這并不意味著-0這樣的寫法不可以。事實(shí)上，-0表示0的相反數(shù)，-0=0?！边@樣一說(shuō)，學(xué)生的臉上都露出了恍然大悟的表情。

接下去，我就給學(xué)生歸納總結(jié)出了“-”號(hào)的兩層含義：①在一個(gè)正數(shù)前面加上“-”號(hào)，表示一個(gè)負(fù)數(shù)（小于0的數(shù)），比如-1、-4、-■、-5.27，等等;②在任何一個(gè)有理數(shù)前面都可以加上“-”號(hào)，表示原來(lái)這個(gè)有理數(shù)的相反數(shù)，比如-0=0（-0表示0的相反數(shù)）、

-（-2）=2（-（-2）表示-2的相反數(shù)）、-a表示a的相反數(shù)（其中a是有理數(shù)）。在我講解的時(shí)候，學(xué)生們都豎起耳朵聽(tīng)著，認(rèn)真地做著筆記。

有了這樣的認(rèn)識(shí)，最后我們回到了之前的那個(gè)教學(xué)難點(diǎn)：當(dāng)a<0時(shí)，|a|=-a，我問(wèn)學(xué)生：“這里的-a表示什么？”這時(shí)學(xué)生們都異口同聲地回答：“a的相反數(shù)?！蔽艺f(shuō)：“很好，這里的-a表示a的相反數(shù)。這句話的意思是，當(dāng)a<0時(shí)，a的絕對(duì)值就等于a的相反數(shù)?！表樦@個(gè)話題，我再告訴學(xué)生：“事實(shí)上，當(dāng)a=0時(shí)，|a|=a=-a，即|0|=0=-0。也就是說(shuō)，0的絕對(duì)值既等于0本身，又等于0的相反數(shù)?！睂?duì)于這樣的分析和歸納，學(xué)生們依然全神貫注地聽(tīng)著，在筆記本上記著。

“-0這樣的寫法可以嗎？”一定深深地印在了這個(gè)班學(xué)生的腦海中。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)于“–”號(hào)的兩層含義有了清晰的認(rèn)識(shí)，他們對(duì)“相反數(shù)”和“絕對(duì)值”這兩個(gè)概念的理解也更加深刻了。

三、評(píng)析

“-”號(hào)的兩層含義是重要的數(shù)學(xué)概念。對(duì)于剛剛接觸“-”號(hào)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們往往會(huì)把“負(fù)號(hào)”和“負(fù)數(shù)”聯(lián)系在一起，比較容易接受“負(fù)號(hào)加在正數(shù)前面表示負(fù)數(shù)（小于0的數(shù)）”這樣的觀點(diǎn)，而對(duì)于第二層有些抽象的含義“在任何一個(gè)有理數(shù)前面都可以加上負(fù)號(hào)，表示原來(lái)這個(gè)有理數(shù)的相反數(shù)”，他們一下子難以接受。這就需要老師創(chuàng)設(shè)情境、鋪設(shè)臺(tái)階，使學(xué)生更容易接受新的觀點(diǎn)、新的知識(shí)。

偉大的科學(xué)家愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)“興趣是最好的老師”，這就是說(shuō)一個(gè)人一旦對(duì)某事物有了濃厚的興趣，就會(huì)主動(dòng)去求知、去探索、去實(shí)踐，并在求知、探索、實(shí)踐中產(chǎn)生愉快的情緒和體驗(yàn)。在這節(jié)課當(dāng)中，“-0這樣的寫法可以嗎”很好地激發(fā)了學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性。孔子曾經(jīng)說(shuō)過(guò)“不憤不啟，不悱不發(fā)”。也就是說(shuō)，只有當(dāng)學(xué)生達(dá)到“憤”“悱”的狀態(tài)時(shí)，老師的啟發(fā)才是最有效果的。當(dāng)學(xué)生對(duì)“-0這樣的寫法可不可以”這個(gè)問(wèn)題經(jīng)過(guò)激烈的討論之后，他們達(dá)到了一種“憤”和“悱”的心理狀態(tài)，這時(shí)候再去開(kāi)導(dǎo)他們就會(huì)取得令人滿意的效果。

蘇聯(lián)教育家維果斯基提出了“最近發(fā)展區(qū)”理論，他認(rèn)為學(xué)生的發(fā)展有兩種水平，一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，指獨(dú)立活動(dòng)時(shí)所能達(dá)到的解決問(wèn)題的水平;另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平，也就是通過(guò)教學(xué)所獲得的潛力，而二者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū)。我們的教學(xué)也應(yīng)該著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生鋪設(shè)好臺(tái)階，引導(dǎo)學(xué)生一步一步地超越其最近發(fā)展區(qū)而達(dá)到下一階段的發(fā)展水平，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行下一個(gè)發(fā)展區(qū)的發(fā)展，從而達(dá)到我們的教學(xué)目標(biāo)。在這節(jié)課當(dāng)中，等學(xué)生弄明白了“-0表示0的相反數(shù)，-0=0”之后，再給他們講“-”號(hào)的第二層含義，他們也就容易理解了。作好了一系列的鋪墊，再讓學(xué)生理解“當(dāng)a<0時(shí)，|a|=-a”也就不那么難了。就這樣，一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)被巧妙地解決了。

四、思考

幾十年前，有一句教育老話，“要給學(xué)生一杯水，教師得有一桶水”。作為老師，我們雖然只教中學(xué)數(shù)學(xué)，但是必須具備扎實(shí)的專業(yè)功底，學(xué)過(guò)許多高等數(shù)學(xué)課程，吃透課程標(biāo)準(zhǔn)，做過(guò)數(shù)學(xué)難題，經(jīng)歷過(guò)深層次的數(shù)學(xué)思考，這樣才能夠讓我們的數(shù)學(xué)教學(xué)更加貼近數(shù)學(xué)學(xué)科本身，真正做到傳授科學(xué)知識(shí)（而不僅僅是應(yīng)試方法和技巧），從而培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣和學(xué)習(xí)習(xí)慣。“-0這樣的寫法可以嗎”，這個(gè)問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，實(shí)則牽涉到我們對(duì)于“-”號(hào)含義、相反數(shù)等概念的理解。而要深入準(zhǔn)確地理解這樣的兩個(gè)概念，我們?cè)诖髮W(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)過(guò)的近世代數(shù)課程就起了關(guān)鍵的作用。只有當(dāng)我們接觸過(guò)群、環(huán)、域等抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)之后，我們才能真正理解中學(xué)數(shù)學(xué)課本中出現(xiàn)的有理數(shù)、實(shí)數(shù)、代數(shù)式等具體的數(shù)學(xué)對(duì)象中的一些概念。

但是，光有扎實(shí)的專業(yè)功底是不夠的，作為中學(xué)教師，我們還必須了解中學(xué)生的現(xiàn)狀，結(jié)合他們的實(shí)際，用他們能夠聽(tīng)明白的語(yǔ)言和他們進(jìn)行交流（我們總不能和他們講近世代數(shù)里的環(huán)、負(fù)元素這些抽象概念吧）。在課堂上，我們要注意激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，關(guān)注學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”并鋪設(shè)好臺(tái)階，用生動(dòng)形象的語(yǔ)言和能夠被學(xué)生所接受的方式進(jìn)行授課，使我們的課堂教學(xué)收到應(yīng)有的效果，從而讓我們的學(xué)生真正學(xué)有所獲，使他們?cè)趯W(xué)業(yè)上取得進(jìn)步與提高。

參考文獻(xiàn)

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[3]丘維聲.近世代數(shù)[M].北京大學(xué)出版社，2015.

Abstract：Through the deep understanding of "negative zero"，a teaching case is given，in which the tapping and analysis of mathematical concepts are integrated，and the two meanings of negative sign are summed up to solve the problems in practical teaching.In the last two parts of the article，the author evaluates and reflects on the case and puts forward some teaching ideas.

Key words："negative zero";negative sign;opposite number;modern algebra;interest;recent development field