數(shù)形結(jié)合，讓數(shù)學(xué)課堂綻放異彩

胡開文

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?！皵?shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中最基本的兩大概念，它們好比數(shù)學(xué)中的“左右腿”。數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要思想；數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合思想方法就是把抽象嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀表意的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以數(shù)助形”，對(duì)直觀問題加以數(shù)理推證和精確刻化；反過來，“以形助數(shù)”，給抽象的問題賦予形象化的原型，從而給人們以形象思維的啟示，從而達(dá)到把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的目的。全面理解數(shù)形結(jié)合思想，就需要從“以數(shù)助形”、“以形助數(shù)”和“數(shù)形互變”三個(gè)方面體會(huì)。

一、以數(shù)助形

從“以數(shù)助形”的角度看“數(shù)形結(jié)合”思想主要有以下兩個(gè)結(jié)合點(diǎn)。

1.利用數(shù)軸。

例：有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a與b的大小關(guān)系是（？搖？搖？搖？搖）

分析：從有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置看，a<0，b>0，所以a

數(shù)軸的引入為有理數(shù)內(nèi)容體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想提供了橋梁。對(duì)于每一個(gè)有理數(shù)，數(shù)軸上都有唯一確定的點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)，因此，兩個(gè)有理數(shù)大小的比較，可以通過這兩個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置關(guān)系來判斷。盡管我們學(xué)習(xí)的是有理數(shù)，但要記住它的形（數(shù)軸上的點(diǎn)），在課堂教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，幫助初一學(xué)生正確理解有理數(shù)的概念及其運(yùn)算法則。

2.平面直角坐標(biāo)系將一些代數(shù)表達(dá)式賦予幾何意義。

（1）x取什么值時(shí)，函數(shù)值y等于0？

（2）x取什么值時(shí)，函數(shù)值y始終大于0？

分析：函數(shù)值y=0，說明函數(shù)圖像與x軸相交，而y>0，說明函數(shù)圖像要在x軸上方。

解：（1）當(dāng)x=-2時(shí)，y=0；（2）當(dāng)x>-2時(shí)，y>0。

由于在直角坐標(biāo)系中，有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）與點(diǎn)P的一一對(duì)應(yīng)，使函數(shù)關(guān)系式與其圖像的數(shù)形結(jié)合成為必然。一個(gè)函數(shù)可以用圖像表示，而借助這個(gè)圖像又可以直觀分析出函數(shù)的一些性質(zhì)和特點(diǎn)，這為數(shù)學(xué)的研究與應(yīng)用提供了很大的幫助。因此，函數(shù)關(guān)系式及其圖像內(nèi)容凸顯了數(shù)形結(jié)合的思想方法，課堂教學(xué)時(shí)老師若注重?cái)?shù)形結(jié)合，將會(huì)收到事半功倍的教學(xué)效果。

我們教學(xué)時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)圖形的特征常常體現(xiàn)著數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用“數(shù)”的規(guī)律，數(shù)值的計(jì)算，就可以尋找出處理“形”的方法，達(dá)到以“數(shù)”助“形”的目的。

二、以形助數(shù)

幾何圖形在數(shù)學(xué)中所具有的最大優(yōu)勢(shì)就是直觀易懂，所以在談到“數(shù)形結(jié)合”思想時(shí)，就更偏好于“以形助數(shù)”的方法，利用幾何圖形解決相關(guān)不易求解的代數(shù)問題。幾何圖形直觀的運(yùn)用于代數(shù)中主要體現(xiàn)在：

利用相關(guān)的幾何圖形幫助記憶代數(shù)公式，如：平方差公式。

利用圖形面積的相等關(guān)系，進(jìn)一步從幾何角度驗(yàn)證了平方差公式的正確性，滲透了數(shù)形結(jié)合的思想方法，讓學(xué)生體會(huì)到代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)多角度、多方面地思考問題。

三、“數(shù)形”互變

“形數(shù)”互變是指在有些數(shù)學(xué)問題中不僅僅是簡(jiǎn)單的以“數(shù)”助“形”或以“形”助“數(shù)”，而是需要“形”“數(shù)”互相變換，不但要想到由“形”的直觀變?yōu)椤皵?shù)”的嚴(yán)密，還要由“數(shù)”的嚴(yán)密聯(lián)系到“形”的直觀。

例：某市氣象臺(tái)測(cè)得一熱帶風(fēng)暴中心從A城正西方向300km處，以每小時(shí)26km的速度向北偏東60°方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心200km的范圍內(nèi)為受影響區(qū)域。試問A城是否受這次風(fēng)暴的影響？如果受影響，請(qǐng)求出遭受風(fēng)暴影響的時(shí)間；如果沒有受影響，請(qǐng)說明理由。

分析：本題情景與人們的日常生活密切相關(guān)，其思維深度具有一定挑戰(zhàn)性。如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（數(shù)形結(jié)合）是解決問題的關(guān)鍵。

平面幾何中隱含著很多的數(shù)量關(guān)系，從概念的引出到相關(guān)公式的推導(dǎo)及三角形的解法及其實(shí)際應(yīng)用，無不體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法。在解三角形的問題時(shí)，若先畫出圖形，使已知的邊角關(guān)系和未知的邊角關(guān)系更直觀，有助于問題的順利解決。

總之，初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，可以知道其研究的對(duì)象不外是一些常見的數(shù)量關(guān)系與簡(jiǎn)單的圖形，數(shù)與形不僅是兩個(gè)相互對(duì)立的概念，而且是數(shù)學(xué)中較其他對(duì)立較特殊的一種對(duì)立，然而，數(shù)與形和其他對(duì)立的雙方一樣，也可以在一定的條件下實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化。華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！币虼?，化數(shù)為形；化形為數(shù)，數(shù)形相互為用是數(shù)學(xué)探索和解決數(shù)學(xué)問題的重要途徑。

數(shù)形結(jié)合滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)部分，在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，老師要做好這種“數(shù)”與“形”關(guān)系的揭示與轉(zhuǎn)化，啟發(fā)學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)，數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，才能將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力，提高學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力。這樣，數(shù)學(xué)課堂一定能綻放異彩。