擾動(dòng)變系數(shù)組合KdV方程的同倫映射解

盧殿臣，陳婷婷，洪寶劍

(江蘇大學(xué)非線性科學(xué)研究中心，江蘇鎮(zhèn)江212013)

同理可得式(12)在初始條件u2|t=0=0時(shí)的解:

對(duì)非線性偏微分方程(NPDE)的求解一直是數(shù)學(xué)物理工作者研究的重要課題，由于常系數(shù)的非線性發(fā)展方程只是在很多假設(shè)條件滿足的情況下得到的一種理想形式，而變系數(shù)非線性發(fā)展方程能更準(zhǔn)確地刻劃眾多的物理現(xiàn)象，因此研究其解有著重要的現(xiàn)實(shí)意義.近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者發(fā)展了許多求NPDE精確解及近似解的方法，如反散射方法［1］、齊次平衡方法［2］、橢圓函數(shù)方法［3］和攝動(dòng)方法［4］等.同倫映射方法［5］是一種新的、普適性強(qiáng)的求解非線性偏微分方程的解析近似解的方法，被成功應(yīng)用于解決工程技術(shù)中的許多非線性問(wèn)題.如非線性振動(dòng)［6］、邊界層流動(dòng)［7］等.筆者首先介紹同倫映射方法，并將該方法應(yīng)用于研究擾動(dòng)變系數(shù)組合KdV方程中，求其Jacobi橢圓函數(shù)形式的近似解，得到許多新的結(jié)果.

1 同倫映射法和橢圓函數(shù)形式解

現(xiàn)討論如下擾動(dòng)變系數(shù)組合KdV方程:

式中:a(t)，b(t)，c(t)為關(guān)于t的任意函數(shù);f為關(guān)于其變量的充分光滑函數(shù)，f為擾動(dòng)項(xiàng).

方程(1)廣泛應(yīng)用于等離子體物理、固體物理、原子物理、流體力學(xué)和量子場(chǎng)理論等領(lǐng)域.如:當(dāng)a(t)，b(t)，c(t)為常數(shù)，f=0 時(shí)，該方程轉(zhuǎn)化為著名的組合KdV方程，在等離子體物理中它描述了無(wú)Laudau衰變小振幅離子聲波的傳播，在固體物理中用于解釋通過(guò)氟化納單晶的熱脈沖傳播，同時(shí)還可以很好地描述在具有非諧束縛粒子的一維非線性晶格中波的傳播，又可作為流體力學(xué)中的一個(gè)模型方程;當(dāng)f=R(t)時(shí)，方程(1)轉(zhuǎn)化為強(qiáng)迫項(xiàng)組合KdV方程，文獻(xiàn)［8-9］研究了其各種形式的精確解，如孤立波解、三角函數(shù)解、橢圓函數(shù)解等等;當(dāng)b(t)=0時(shí)，文獻(xiàn)［10］研究了其復(fù)合形式橢圓函數(shù)解.接下來(lái)筆者研究方程(1)的Jacobi橢圓函數(shù)形式的近似解.

為了方便起見(jiàn)，不妨令x=x'，t=t'，f(x，t，u，ux，ut)=f*(x'，t'，u，ux'，ut')，則式(2)化為

因此，研究式(1)的解轉(zhuǎn)化為研究式(3)的解.為了得到方程(3)的近似解，引入同倫映射.

1.1 同倫映射法簡(jiǎn)介

假定給定了下面的非線性微分方程A(u)-f(r)=0，r∈Ω 及其邊界條件B(u，?u/?n)=0，r∈Γ，式中A為一般微分算子;B為邊界算子;f(r)為已知解析函數(shù);Γ為區(qū)域Ω的邊界.一般說(shuō)來(lái)，算子A可分解為線性部分L及非線性部分N.所以方程A(u)-f(r)=0可寫成L(u)+N(u)-f(r)=0.

現(xiàn)在建立同倫映射:H(u，p):Ω ×［0，1］→R，

式中:p為參數(shù);v為輔助函數(shù)，滿足L(v)+N(v)=0.

由方程(4)得

可以看出p從0變化到1的過(guò)程就是H(u，p)從L(u)-L(v)變化到A(u)-f(r)的過(guò)程，這就是同倫變形.令

為H(u，p)=0的解.則當(dāng)p=0時(shí)，?u(x，t，0)=u0(x，t)是方程L(u)-L(v)=0的解;當(dāng)p→1時(shí)，得到方程A(u)-f(r)=0的近似解u(x，t)=u0+u1+u2+….

1.2 橢圓函數(shù)形式解

針對(duì)方程(3)建立同倫映射H(u，p):R×I→R，R=(-∞，+∞)，I=［0，1］，有

式中:v為輔助函數(shù);L為線性算子，L(u)=ut+c3u3x.

借助廣義橢圓法［11］，可以得到對(duì)應(yīng)于方程(3)的典型組合KdV方程:

有下列橢圓函數(shù)形式解:

當(dāng)m→1，退化為孤立波形式解:

當(dāng)m→0，退化為三角函數(shù)形式解:

式中:k為任意常數(shù);m為模數(shù)且0≤m≤1.

易知H(u，1)=0與方程(3)相同，故方程(3)的解u(x，t)是H(u，p)=0的解當(dāng)p→1的極限.令

由文獻(xiàn)［12］可知，此級(jí)數(shù)在p∈［0，1］上是一致收斂的.

將式(9)代入方程H(u，p)=0中，取輔助函數(shù)v=v1(x，t)，對(duì)p的同次冪的系數(shù)進(jìn)行比較:

由式(10)得u0(x，t)=v1(x，t).

由傅里葉變換可得式(11)在初始條件u1|t=0=0時(shí)的解:

同理可得式(12)在初始條件u2|t=0=0時(shí)的解:

由此，可得方程(3)的橢圓函數(shù)形式二次近似解為

當(dāng)m→1及m→0時(shí)，分別退化為下列近似解:

用同樣的方法比較p的更高次冪的系數(shù)，還可以得到方程(1)的高次近似解.取不同的輔助函數(shù)，可以得到方程的不同形式的近似解.

2 微擾組合KdV方程的近似解

若方程(3)中的擾動(dòng)項(xiàng)是微擾的，不妨設(shè)f=εun，其中ε為正的小參數(shù)，即方程(3)變?yōu)?/p>

由上一節(jié)的結(jié)果可知方程(13)的橢圓函數(shù)形式近似解.其中零次近似解為u0(x，t)，一次近似解為u01(x，t)，二次近似解為u02(x，t)，則

3 結(jié)論

首次利用同倫映射法求解變系數(shù)組合擾動(dòng)KdV方程，得到了具有Jacobi橢圓函數(shù)形式的二次近似解，在極限情形下可退化為雙曲函數(shù)及三角函數(shù)形式近似解，并研究了其微擾情形下的近似解.同倫映射法可以應(yīng)用于變系數(shù)孤子方程，具有簡(jiǎn)潔、高效的優(yōu)點(diǎn).

References)

［1］Ablowitz M J，Clarkson P A.Solitons，Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering［M］.New York:Cambridge University Press，1991.

［2］Fan Engui.Two new applications of the homogeneous balance method ［J］.Physics Letters A，2000，265:353-358.

［3］Huang W H，Liu Y L.Jacobi elliptic function solutions of the Ablowitz-Ladik discrete non-linear Schrodinger system［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2009，40:786-792.

［4］傅紅筍，曹 莉，韓 波.測(cè)井約束地震波形反演的同倫攝動(dòng)法［J］.地球物理學(xué)報(bào)，2004，55(9):2173-2179.Fu Hongsun，Cao Li，Han Bo.A homotopy perturbation method for well log constrained seismic waveform inversion［J］.Chinese Journal of Geophysics，2004，55(9):2173-2179.(in Chinese)

［5］石蘭芳，周先春.一類擾動(dòng)Burgers方程的孤子同倫映射解［J］.物理學(xué)報(bào)，2010，59(5):2915-2918.Shi Lanfang，Zhou Xianchun.Homotopic mapping solution of soliton for a class of disturbed Burgers equation［J］.Acta Physica Sinica，2010，59(5):2915-2918.(in Chinese)

［6］張琪昌，王 煒，何學(xué)軍.研究強(qiáng)非線性振動(dòng)系統(tǒng)同宿分岔問(wèn)題的規(guī)范形方法［J］.物理學(xué)報(bào)，2008，57(9):5384-5389.Zhang Qichang，Wang Wei，He Xuejun.Homoclinic bifurcation of the strongly nonlinear oscillation system by the normal form method［J］.Acta Physica Sinica，2008，57(9):5384-5389.(in Chinese)

［7］李睿劬，李存標(biāo).平板邊界層中湍流的發(fā)生與混沌動(dòng)力學(xué)之間的聯(lián)系［J］.物理學(xué)報(bào)，2002，51(8):1743-1749.Li Ruiqu，Li Cunbiao.A link between chaos dynamics and the onset of turbulence in a transitional boundary layer［J］.Acta Physica Sinica，2002，51(8):1743-1749.(in Chinese)

［8］盧殿臣，洪寶劍，田立新.帶強(qiáng)迫項(xiàng)變系數(shù)組合KdV方程的顯式精確解［J］.物理學(xué)報(bào)，2006，55(11):5617-5622.Lu Dianchen，Hong Baojian，Tian Lixin.Explicit and exact solutions to the variable coefficient combined KdV equation with forced term［J］.Acta Physica Sinica，2006，55(11):5617-5622.(in Chinese)

［9］套格圖桑，斯仁道爾吉.輔助方程構(gòu)造帶強(qiáng)迫項(xiàng)變系數(shù)組合KdV方程的精確解［J］.物理學(xué)報(bào)，2008，57(3):1295-1300.Taogetusang，Sirendaoerji.The auxiliary equation for constructing the exact solution of the variable coefficient combined KdV equation with forcible term ［J］.Acta Physica Sinica，2008，57(3):1295-1300.(in Chinese)

［10］Sabry R，Zahran M A，F(xiàn)an Engui.A new generalized expansion method and its application in finding explicit exact solutions for a generalized variable coefficients KdV equation［J］.Physics Letters A，2004，326:93-101.

［11］Hong Baojian.New Jacobi elliptic functions solutions for the variable-coefficient mKdV equation［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，215(8):2908-2913.

［12］Liao S J.Beyond Perturbati on:Introduction to the Homotopy Analysis Method［M］.New York:CRC Press，2004.