基于問題 成于發(fā)現(xiàn)

邢成云

愛因斯坦曾經(jīng)說過：“提出一個(gè)問題比解決一個(gè)問題更重要?！笔澜缟显S多發(fā)明創(chuàng)造都源于“疑問”，質(zhì)疑是開啟創(chuàng)新之門的鑰匙，但要學(xué)生能發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，能主動(dòng)地質(zhì)疑問難，就需要執(zhí)教者營(yíng)造一個(gè)激發(fā)學(xué)生動(dòng)機(jī)的場(chǎng)。一元二次方程是初中學(xué)段的核心知識(shí)，也是落實(shí)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的良好素材。但作為復(fù)習(xí)課，若處理不慎，學(xué)生往往情緒不高，這種“似曾相識(shí)”、沒有多少新鮮度的課堂，難有心靈的震撼、智能的挑戰(zhàn)?；诂F(xiàn)實(shí)，需要讓復(fù)習(xí)課沖破常態(tài)的平淡，通過具有挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，讓學(xué)生體悟到復(fù)習(xí)課同樣思維靈動(dòng)、激情四射！通過“學(xué)答”到“學(xué)問”的轉(zhuǎn)變，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，發(fā)展創(chuàng)新思維，讓復(fù)習(xí)課成為知識(shí)內(nèi)化、方法再建、思想升華的平臺(tái)。

開放思維，啟動(dòng)課堂

師：根據(jù)自己對(duì)一元二次方程概念的理解，能寫出一個(gè)你喜歡的一元二次方程嗎？（生板演，其他同學(xué)互查）

生1：2x2+3x-4=0（1）

生2： x2-x-3=0（2）

生3：2x2+ x-3=0（3）

生4：x2-3=0 （4）

生5：x2+5x=0（5）

生6：ax2+bx+c=0（6）

師：就這6位同學(xué)寫出的6個(gè)方程（為表述方便，編了序號(hào)），誰能提出一些問題供同學(xué)們思考？

生7：判斷他們寫的方程是否是一元二次方程？

生8：分別解這些方程。

生9：不解方程，判斷這些方程實(shí)數(shù)根的情況。

生10：不解方程，求每一個(gè)一元二次方程兩根的平方和？

…………

師：同學(xué)們表現(xiàn)非同一般，能提出這么多好問題！下面我們首先解答生7提出的問題。

大部分認(rèn)為方程（1）～（5）都是一元二次方程，而（6）不是，有少數(shù)同學(xué)質(zhì)疑方程（3）和（6）。

師：既然有不同的聲音，我們就重新審視一下方程（3）、（6），認(rèn)為（3）不是一元二次方程的同學(xué)，有誰說一下自己的理由是什么？

生11：因?yàn)槔锩嬗袩o理數(shù) ，而一元二次方程需要保證是整式方程。

生（眾）： 是無理數(shù)沒錯(cuò)，但它也是整式??！

師：同學(xué)們說得對(duì)，縱然是無理數(shù)，但屬于整式中的單項(xiàng)式，因?yàn)椤?/p>

生（眾）：?jiǎn)为?dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母都是單項(xiàng)式。

師：對(duì)（6）有疑問的同學(xué)請(qǐng)回答。

生12：老師，我現(xiàn)在知道了，需要a、b、c為常數(shù)，并且a不等于0才行。

師（追問）：哪你能寫出一個(gè)含字母的一元二次方程嗎？

生12：能，3x2+px+q=0，p、q都是常數(shù)。

師：好！不錯(cuò)。對(duì)于解方程，我相信同學(xué)們都能操作，現(xiàn)在我們不具體求解，看分別用什么方法較為合適？

生（眾）：（1）求根公式法，（2）配方法，（3）求根公式法，（4）直接開平方法，（5）因式分解法。

…………

在本教學(xué)片段中，教師以開放題“根據(jù)自己對(duì)一元二次方程概念的理解，能寫出一個(gè)你喜歡的一元二次方程嗎”為先行組織者，誘發(fā)學(xué)生的問題欲，然后以問題：“就這6位同學(xué)寫出的6個(gè)方程，誰能提出一些問題供同學(xué)們思考？”乘勝追擊，引出其定義、解法、根的存在情況及其根與系數(shù)關(guān)系等知識(shí)，在交流中加深了對(duì)它們的理解，發(fā)展了思維能力，培養(yǎng)了問題意識(shí)；另外，通過交流活動(dòng)，讓學(xué)生進(jìn)一步感知到方程個(gè)性特點(diǎn)對(duì)優(yōu)化選擇解方程方法的定位，滲透了解題的策略意識(shí)。從這一教學(xué)片段中不難發(fā)現(xiàn)，不管學(xué)生的數(shù)學(xué)水平高低，他們都帶著自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、思考、靈感參與到課堂教學(xué)活動(dòng)中來，給課堂注入了活力，學(xué)生在多變情境的交互作用與思維的碰撞中，不斷萌生出了新的問題（如一開始的6個(gè)方程、生7至生10的4個(gè)問題），見證了學(xué)生不凡的思考能力。作為課堂的組織者，教師及時(shí)甄別并捕捉到了這些生成性資源，或追問、或轉(zhuǎn)問、或評(píng)點(diǎn)激勵(lì)、或留白蓄勢(shì)，將其整合、組織、協(xié)調(diào)、策劃，把它們作為進(jìn)一步開展教學(xué)的素材，問題意識(shí)就在這你來我往的過程中得以滋養(yǎng)、得以涵育。

值得稱道的是，教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生自己提出問題，開辟了學(xué)生問題意識(shí)涵育的重要路徑，能讓學(xué)生親身體驗(yàn)到問題的提出不只是教師的專利，學(xué)生同樣可以有自己的問題，可以解答自己的問題，而不僅是解答教師提出的問題，這種編擬問題的成就感會(huì)推動(dòng)學(xué)生的深度思考，會(huì)有助于學(xué)生思維的發(fā)展，為創(chuàng)新意識(shí)的萌動(dòng)積蓄能量。

縱向變式，引申課堂

師：好，同學(xué)們提出了這么多問題，并做了解答，特別是識(shí)別出了生6提供的方程不是一元二次方程，表現(xiàn)不錯(cuò)。下面哪一位同學(xué)對(duì)方程1做一下改造，使得系數(shù)變?yōu)榇ㄗ帜?，給學(xué)習(xí)增加一點(diǎn)挑戰(zhàn)性。

生1：我變二次項(xiàng)系數(shù)，把“2”改為“2m-1”。

師（板書出來）：（2m-1）x2+3x-4 =0，這還是一元二次方程嗎？

（學(xué)生有的說是，有的說不是）

師：為何不一致了，到底是不是呢？請(qǐng)同學(xué)們思考后交流。

生2：當(dāng)m為常數(shù)時(shí)，就是一元二次方程；可以說是關(guān)于x的一元二次方程……

師：同學(xué)們說得合理嗎？

生3：要保證是一元二次方程，需要2m-1≠0，

師：對(duì)，只有界定了2m-1≠0，才能保證它是關(guān)于x的一元二次方程，否則，就是一元一次方程了。這是這類問題的一道坎，需要我們當(dāng)心！剛才同學(xué)們說得都非常好，說明大家對(duì)概念領(lǐng)會(huì)得不錯(cuò)。

師：我們就這一方程（2m-1）x2+3x-4=0，能否再提出幾個(gè)問題供思考、解答？

（甄別選擇，鎖定以下7個(gè)問題，并編序號(hào)（7）～（12））：

生2：（7）m為何值時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根？

生3：（8）m為何值時(shí)，方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根？endprint

生4：（9）m為何值時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根？

生5：（10）m為何值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根？

生6：（11）若方程的一個(gè)根為1，求m的值，并求方程的另外一個(gè)根是多少？

生7：（12）m為何值時(shí)，方程的兩根互為倒數(shù)？

…………

師：同學(xué)們都有了自己的問題，現(xiàn)在呈現(xiàn)給大家6個(gè)較為典型的問題，請(qǐng)各位同學(xué)先思考定位，不具體求解，5分鐘后交流思路。

生8：?jiǎn)栴}（7），讓根的判別式大于0，然后解關(guān)于m的不等式。

生9（反駁）：不行，要用根的判別式，需要保證它是一元二次方程，本題說“方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”暗示了這是個(gè)一元二次方程，因此要補(bǔ)上“2m-1≠0”！

生10：?jiǎn)栴}（8），在2m-1≠0的前提下，讓?duì)?0，解方程后綜合確定即可。

生11：?jiǎn)栴}（9），在2m-1≠0的前提下，讓?duì)?0，解它們組成的不等式組即可。

生12（質(zhì)疑）：不用考慮2m-1≠0，因?yàn)槿?m-1=0，它就是一元一次方程3x-4=0，一定有實(shí)根。

師（點(diǎn)評(píng)）：這位同學(xué)認(rèn)識(shí)深刻，想得全面，的確，不需要考慮2m-1的限制，若改為“m為何值時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根”同學(xué)們認(rèn)為該如何思考？

生（眾）：那就必須保證2m-1≠0！

師：說得好！有時(shí)候區(qū)別就在細(xì)節(jié)上，認(rèn)真審題至關(guān)重要！

生13：?jiǎn)栴}（10），我認(rèn)為它就是問題（7）、（8）綜合在一塊，在2m-1≠0的前提下，讓?duì)ぁ?，解它們組成的不等式組即可。

生14：方程有實(shí)根，并沒有說有兩個(gè)實(shí)根，因此，只考慮當(dāng)2m-1≠0時(shí)Δ≥0，不全面，還需要考慮2m-1=0的時(shí)候。

…………

從邏輯上講，一元二次方程的定義、解法、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系環(huán)環(huán)相扣、層層推進(jìn)，構(gòu)成了一個(gè)完整的、無缺口的單元知識(shí)鏈結(jié)構(gòu)。而學(xué)生在知識(shí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建、理解上的偏差和學(xué)習(xí)上的遺忘等諸多原因，表現(xiàn)在“四基”上常常會(huì)出現(xiàn)缺口。因此，對(duì)學(xué)生而言，它可能是一個(gè)不完備的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系?；诖耍處熢诮虒W(xué)片段一的基礎(chǔ)上，以問題“哪一位同學(xué)對(duì)方程（1）做一下改造，使得系數(shù)變?yōu)榇ㄗ帜?，給學(xué)習(xí)增加一點(diǎn)挑戰(zhàn)性”起承，以“我們就這一方程（2m-1）x2+3x-4=0，能否再提出幾個(gè)問題供思考、解答”轉(zhuǎn)合，再次放逐學(xué)生的思維，通過變動(dòng)二次項(xiàng)系數(shù)，由“靜”變“動(dòng)”，拉大思維的場(chǎng)域，組織學(xué)生再次思維沖浪，把知識(shí)鏈二次凸顯出來，形成新的經(jīng)驗(yàn)，為以后的遷移造勢(shì)、蓄能。整個(gè)教學(xué)片段，立足于知識(shí)的通透穩(wěn)固、思維的縝密深入，在學(xué)生編擬題目與形成思路的過程中，教師有效地發(fā)揮了主導(dǎo)作用，通過變式與學(xué)生的深度參與，加強(qiáng)了對(duì)“四基”的梳理，使它們能順利鏈接、有效融合，實(shí)現(xiàn)了“厚積”“薄發(fā)”，提高了綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。

“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”是發(fā)展學(xué)生合情推理與邏輯推理的出發(fā)點(diǎn)，是發(fā)展思維的入口，不管是哪一類課型，學(xué)生能力的發(fā)展應(yīng)當(dāng)成為課堂的主脈?？v觀這兩個(gè)教學(xué)片段，執(zhí)教者自始至終以激發(fā)學(xué)生的問題欲、激活學(xué)生的問題因子為先導(dǎo)，都在引領(lǐng)學(xué)生自己提出問題上下足了功夫，通過問題的一路開放，誘使學(xué)生主動(dòng)提出問題、創(chuàng)編問題。使得不同層次的學(xué)生都有話可說，不至于在復(fù)習(xí)課上被邊緣化，大大提高了學(xué)生的參與熱情與參與度?！皢栴}讓學(xué)生提，方法讓學(xué)生悟，思路讓學(xué)生講，錯(cuò)誤讓學(xué)生析”在本節(jié)課得以真情“綻放”。（本文系山東省教學(xué)研究課題——全息教學(xué)論下的跨越式教學(xué)（課題編號(hào)：pt-20120126）的階段性成果之一。 ）

責(zé)任編輯 周瑜芽

E-mail：jxjyzyy@163.comendprint

生4：（9）m為何值時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根？

生5：（10）m為何值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根？

生6：（11）若方程的一個(gè)根為1，求m的值，并求方程的另外一個(gè)根是多少？

生7：（12）m為何值時(shí)，方程的兩根互為倒數(shù)？

…………

師：同學(xué)們都有了自己的問題，現(xiàn)在呈現(xiàn)給大家6個(gè)較為典型的問題，請(qǐng)各位同學(xué)先思考定位，不具體求解，5分鐘后交流思路。

生8：?jiǎn)栴}（7），讓根的判別式大于0，然后解關(guān)于m的不等式。

生9（反駁）：不行，要用根的判別式，需要保證它是一元二次方程，本題說“方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”暗示了這是個(gè)一元二次方程，因此要補(bǔ)上“2m-1≠0”！

生10：?jiǎn)栴}（8），在2m-1≠0的前提下，讓?duì)?0，解方程后綜合確定即可。

生11：?jiǎn)栴}（9），在2m-1≠0的前提下，讓?duì)?0，解它們組成的不等式組即可。

生12（質(zhì)疑）：不用考慮2m-1≠0，因?yàn)槿?m-1=0，它就是一元一次方程3x-4=0，一定有實(shí)根。

師（點(diǎn)評(píng)）：這位同學(xué)認(rèn)識(shí)深刻，想得全面，的確，不需要考慮2m-1的限制，若改為“m為何值時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根”同學(xué)們認(rèn)為該如何思考？

生（眾）：那就必須保證2m-1≠0！

師：說得好！有時(shí)候區(qū)別就在細(xì)節(jié)上，認(rèn)真審題至關(guān)重要！

生13：?jiǎn)栴}（10），我認(rèn)為它就是問題（7）、（8）綜合在一塊，在2m-1≠0的前提下，讓?duì)ぁ?，解它們組成的不等式組即可。

生14：方程有實(shí)根，并沒有說有兩個(gè)實(shí)根，因此，只考慮當(dāng)2m-1≠0時(shí)Δ≥0，不全面，還需要考慮2m-1=0的時(shí)候。

…………

從邏輯上講，一元二次方程的定義、解法、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系環(huán)環(huán)相扣、層層推進(jìn)，構(gòu)成了一個(gè)完整的、無缺口的單元知識(shí)鏈結(jié)構(gòu)。而學(xué)生在知識(shí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建、理解上的偏差和學(xué)習(xí)上的遺忘等諸多原因，表現(xiàn)在“四基”上常常會(huì)出現(xiàn)缺口。因此，對(duì)學(xué)生而言，它可能是一個(gè)不完備的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系?；诖耍處熢诮虒W(xué)片段一的基礎(chǔ)上，以問題“哪一位同學(xué)對(duì)方程（1）做一下改造，使得系數(shù)變?yōu)榇ㄗ帜福o學(xué)習(xí)增加一點(diǎn)挑戰(zhàn)性”起承，以“我們就這一方程（2m-1）x2+3x-4=0，能否再提出幾個(gè)問題供思考、解答”轉(zhuǎn)合，再次放逐學(xué)生的思維，通過變動(dòng)二次項(xiàng)系數(shù)，由“靜”變“動(dòng)”，拉大思維的場(chǎng)域，組織學(xué)生再次思維沖浪，把知識(shí)鏈二次凸顯出來，形成新的經(jīng)驗(yàn)，為以后的遷移造勢(shì)、蓄能。整個(gè)教學(xué)片段，立足于知識(shí)的通透穩(wěn)固、思維的縝密深入，在學(xué)生編擬題目與形成思路的過程中，教師有效地發(fā)揮了主導(dǎo)作用，通過變式與學(xué)生的深度參與，加強(qiáng)了對(duì)“四基”的梳理，使它們能順利鏈接、有效融合，實(shí)現(xiàn)了“厚積”“薄發(fā)”，提高了綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。

“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”是發(fā)展學(xué)生合情推理與邏輯推理的出發(fā)點(diǎn)，是發(fā)展思維的入口，不管是哪一類課型，學(xué)生能力的發(fā)展應(yīng)當(dāng)成為課堂的主脈。縱觀這兩個(gè)教學(xué)片段，執(zhí)教者自始至終以激發(fā)學(xué)生的問題欲、激活學(xué)生的問題因子為先導(dǎo)，都在引領(lǐng)學(xué)生自己提出問題上下足了功夫，通過問題的一路開放，誘使學(xué)生主動(dòng)提出問題、創(chuàng)編問題。使得不同層次的學(xué)生都有話可說，不至于在復(fù)習(xí)課上被邊緣化，大大提高了學(xué)生的參與熱情與參與度?！皢栴}讓學(xué)生提，方法讓學(xué)生悟，思路讓學(xué)生講，錯(cuò)誤讓學(xué)生析”在本節(jié)課得以真情“綻放”。（本文系山東省教學(xué)研究課題——全息教學(xué)論下的跨越式教學(xué)（課題編號(hào)：pt-20120126）的階段性成果之一。 ）

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生4：（9）m為何值時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根？

生5：（10）m為何值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根？

生6：（11）若方程的一個(gè)根為1，求m的值，并求方程的另外一個(gè)根是多少？

生7：（12）m為何值時(shí)，方程的兩根互為倒數(shù)？

…………

師：同學(xué)們都有了自己的問題，現(xiàn)在呈現(xiàn)給大家6個(gè)較為典型的問題，請(qǐng)各位同學(xué)先思考定位，不具體求解，5分鐘后交流思路。

生8：?jiǎn)栴}（7），讓根的判別式大于0，然后解關(guān)于m的不等式。

生9（反駁）：不行，要用根的判別式，需要保證它是一元二次方程，本題說“方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”暗示了這是個(gè)一元二次方程，因此要補(bǔ)上“2m-1≠0”！

生10：?jiǎn)栴}（8），在2m-1≠0的前提下，讓?duì)?0，解方程后綜合確定即可。

生11：?jiǎn)栴}（9），在2m-1≠0的前提下，讓?duì)?0，解它們組成的不等式組即可。

生12（質(zhì)疑）：不用考慮2m-1≠0，因?yàn)槿?m-1=0，它就是一元一次方程3x-4=0，一定有實(shí)根。

師（點(diǎn)評(píng)）：這位同學(xué)認(rèn)識(shí)深刻，想得全面，的確，不需要考慮2m-1的限制，若改為“m為何值時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根”同學(xué)們認(rèn)為該如何思考？

生（眾）：那就必須保證2m-1≠0！

師：說得好！有時(shí)候區(qū)別就在細(xì)節(jié)上，認(rèn)真審題至關(guān)重要！

生13：?jiǎn)栴}（10），我認(rèn)為它就是問題（7）、（8）綜合在一塊，在2m-1≠0的前提下，讓?duì)ぁ?，解它們組成的不等式組即可。

生14：方程有實(shí)根，并沒有說有兩個(gè)實(shí)根，因此，只考慮當(dāng)2m-1≠0時(shí)Δ≥0，不全面，還需要考慮2m-1=0的時(shí)候。

…………

從邏輯上講，一元二次方程的定義、解法、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系環(huán)環(huán)相扣、層層推進(jìn)，構(gòu)成了一個(gè)完整的、無缺口的單元知識(shí)鏈結(jié)構(gòu)。而學(xué)生在知識(shí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建、理解上的偏差和學(xué)習(xí)上的遺忘等諸多原因，表現(xiàn)在“四基”上常常會(huì)出現(xiàn)缺口。因此，對(duì)學(xué)生而言，它可能是一個(gè)不完備的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系?；诖?，教師在教學(xué)片段一的基礎(chǔ)上，以問題“哪一位同學(xué)對(duì)方程（1）做一下改造，使得系數(shù)變?yōu)榇ㄗ帜?，給學(xué)習(xí)增加一點(diǎn)挑戰(zhàn)性”起承，以“我們就這一方程（2m-1）x2+3x-4=0，能否再提出幾個(gè)問題供思考、解答”轉(zhuǎn)合，再次放逐學(xué)生的思維，通過變動(dòng)二次項(xiàng)系數(shù)，由“靜”變“動(dòng)”，拉大思維的場(chǎng)域，組織學(xué)生再次思維沖浪，把知識(shí)鏈二次凸顯出來，形成新的經(jīng)驗(yàn)，為以后的遷移造勢(shì)、蓄能。整個(gè)教學(xué)片段，立足于知識(shí)的通透穩(wěn)固、思維的縝密深入，在學(xué)生編擬題目與形成思路的過程中，教師有效地發(fā)揮了主導(dǎo)作用，通過變式與學(xué)生的深度參與，加強(qiáng)了對(duì)“四基”的梳理，使它們能順利鏈接、有效融合，實(shí)現(xiàn)了“厚積”“薄發(fā)”，提高了綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。

“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”是發(fā)展學(xué)生合情推理與邏輯推理的出發(fā)點(diǎn)，是發(fā)展思維的入口，不管是哪一類課型，學(xué)生能力的發(fā)展應(yīng)當(dāng)成為課堂的主脈。縱觀這兩個(gè)教學(xué)片段，執(zhí)教者自始至終以激發(fā)學(xué)生的問題欲、激活學(xué)生的問題因子為先導(dǎo)，都在引領(lǐng)學(xué)生自己提出問題上下足了功夫，通過問題的一路開放，誘使學(xué)生主動(dòng)提出問題、創(chuàng)編問題。使得不同層次的學(xué)生都有話可說，不至于在復(fù)習(xí)課上被邊緣化，大大提高了學(xué)生的參與熱情與參與度?！皢栴}讓學(xué)生提，方法讓學(xué)生悟，思路讓學(xué)生講，錯(cuò)誤讓學(xué)生析”在本節(jié)課得以真情“綻放”。（本文系山東省教學(xué)研究課題——全息教學(xué)論下的跨越式教學(xué)（課題編號(hào)：pt-20120126）的階段性成果之一。 ）

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