三角恒等變換技巧

張琦

三角恒等變換問題在歷年高考和自主招生試題中屢見不鮮，主要考查考生的邏輯推理和運算求解能力.主要是通過三角公式進行等價變換以達到化簡、求值、證明的目的.其實三角恒等變換說起來就那么幾個公式——雖然多，但是有規(guī)律;就那么幾個套路——不是正用就逆用;但從實際考試效果看，還是有相當一部分考生不能在短時間內(nèi)找到解決問題的最佳方案.針對這些問題，本文著重分析各類試題中有關(guān)三角恒等變換的問題，主要剖析命題切入點，以及圍繞三角恒等變換的解題方法和思路.

學(xué)習三角恒等變換過程中，最難的是對公式的理解及靈活運用上.要想得心應(yīng)手的應(yīng)用三角公式，關(guān)鍵在于構(gòu)建公式網(wǎng)絡(luò)，理解其內(nèi)在聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化關(guān)系.

本部分內(nèi)容里，考生需要理解任意角三角函數(shù)的定義，以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.在此基礎(chǔ)上，能運用上圖所述公式進行簡單的恒等變換.

一、活用定義，巧妙解題

定義是對數(shù)學(xué)對象本質(zhì)特征的刻畫，因此定義是研究問題的基礎(chǔ)和出發(fā)點，是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法. 我們已經(jīng)通過單位圓定義法得出了任意角三角函數(shù)的定義，從定義也導(dǎo)出了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式，為我們進一步研究三角函數(shù)性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).從這個意義上說，牢固掌握三角函數(shù)的定義是學(xué)好三角函數(shù)的根本保證.

考題1. 已知角？琢的終邊經(jīng)過點（-4，3），則cos？琢=（ ?）

A. B. C. - D. -

【解析】根據(jù)余弦函數(shù)定義，cos？琢=y，其中y是角？琢的終邊與單位圓交點的縱坐標，根據(jù)三角形相似可知y==-.答案選D.

【點評】本題是課本例題的一個改編，課本原題為“已知角？琢的終邊經(jīng)過點（-3，-4），求角？琢的正弦、余弦和正切值.”主要考查考生對單位圓定義法、三角形相似的判定定理的理解.從而進一步體會三角函數(shù)“終邊定義法”與“單位圓定義法”一致性.

相關(guān)鏈接1. 已知tan？琢=2，那么cos2？琢= ? ? ? ? ? ?.

【解析】cos2？琢====-.

【點評】本題為“知切求弦”題型，基本的解決思路是根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，列出方程tan？琢==2，sin2？琢+cos2？琢=1，求出sin？琢，cos？琢的值，從而根據(jù)二倍角公式cos2？琢=cos2？琢-sin2？琢可得結(jié)論.但是按這種方法解題時，需要注意tan？琢=2時，角？琢可以是第一象限角，也可以是第三象限角，所以需要分類討論，但是結(jié)果是一致的.此外，本題也是標準的二次奇次式問題，也可以直接化弦為切，從而求值，也就是上面的解析.與此類似，2014豐臺一模理第9題：“已知tan？琢=2，則的值為_____.”也是類似的解法.

二、化切為弦，關(guān)注通法

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，我們知道tan？琢=，由于正弦和余弦的性質(zhì)是我們熟悉的，所以在這樣轉(zhuǎn)化之后問題通?？梢垣@得解決.其實通過“化切為弦”“正余互化”等途徑來減少或統(tǒng)一所需變換的式子中函數(shù)的種類，這就是變換函數(shù)名法.它實質(zhì)上是“歸一”思想，通過同一和化歸以有利于問題的解決或發(fā)現(xiàn)解題途徑.

考題2. 設(shè)？琢∈（0，），？茁∈（0，），且tan？琢=，

則（ ?）

A. 3？琢-？茁= B. 3？琢+？茁= C. 2？琢-？茁= D. 2？琢+？茁=

【解析】tan？琢=？圳=？圳sin？琢cos？茁=cos？琢（1+sin？茁）？圳sin？琢cos？茁-cos？琢sin？茁=cos？琢？圳sin（？琢-？茁）=cos？琢;

∵？琢∈（0，），？茁∈（0，），∴-<？琢-？茁<;

又∵cos？琢>0，∴0<？琢-？茁<;

所以？琢-？茁=-？琢，即2？琢-？茁=.答案選C.

【點評】本題是一道標準的化切為弦問題，全面考查了考生對“化切為弦”思想的了解，以及兩角差的正弦公式.此外，考生也必須明白“對于銳角？琢，？茁，如果sin？琢=cos？茁，那么？琢，？茁互余”.本題另外一種解法如下：

tan？琢=======tan（+）.

∵？琢∈（0，），？茁∈（0，），∴<+<;

所以+=？琢，即2？琢-？茁=.

除本題外，考生嘗試用不同方法解決課本練習“求證：=”.

相關(guān)鏈接2. 4cos50°-tan40°=（ ?）

A. B. C. D. 2-1

【解析】

4cos50°-tan40°=

==

=

==.答案選C.

【點評】解決本題，考生不僅需要注意“化切為弦”，同時還得注意sin？琢=sin（？仔-？琢），同時注意到系數(shù)2倍的關(guān)系，整理即可.

三、正難則反，公式逆用

按常規(guī)的思路，大家習慣公式的正用，而不習慣“倒著想，反著用”.如果說公式的正用是拆分的過程，那么公式的逆用則是合并的過程.從思維上來講，公式的逆用，體現(xiàn)了逆向思維，是一個配湊的過程，更體現(xiàn)了構(gòu)造的思想，因此要求更高.

公式逆用中，考題最常涉及的當屬輔助角公式了.在用輔助角公式時經(jīng)常會涉及到三角函數(shù)中的二倍角公式，兩角和與差的正、余弦公式.由于內(nèi)容豐富，所以本部分內(nèi)容命題形式不拘一格，對考生有比較高的要求.

考題3. 已知函數(shù)f（x）=cosx·sin（x+）-cos2x+，x∈R.

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期;

（Ⅱ）求f（x）在閉區(qū)間[-，]上的最大值和最小值.endprint

【解析】（Ⅰ）由已知，有f（x）=cosx·（sinx+cosx）-cos2x+

=sinxcosx-cos2x+

=sin2x-（1+cos2x）+

=sin2x-cos2x

=sin（2x-）.

所以，f（x）的最小正周期為T==？仔.

（Ⅱ）因為x∈[-，]，所以2x-∈[-，].

于是，當2x-=，即x=時，f（x）取得最大值;

當2x-=-，即x=-時，f（x）取得最小值-.

所以，函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-，]上的最大值為，最小值為-.

【點評】本題不難，屬常規(guī)問題.第（Ⅰ）問需要考生注意公式化簡.而第（Ⅱ）問則需要注意三角函數(shù)定區(qū)間的最值問題.請各位考生注意，三角函數(shù)一章的公式必須熟練掌握.而在第（Ⅰ）問化簡時考查知識點主要包括：正用兩角和的正弦公式、逆用二倍角公式、逆用兩角差的正弦公式.這種類型問題非常常見，大多數(shù)省市高考題均有涉及.

相關(guān)鏈接3 ?化簡cos20°·cos40°·cos80°.

【解析】=cos20°·cos40°·cos80°=

=

=

=

=.

【點評】觀察本式特征，20°與40°之間為二倍角關(guān)系，40°與80°之間也為二倍角關(guān)系. 所以我們嘗試應(yīng)用二倍角公式，添加分母，并同乘sin20°，則能很好利用正弦的二倍角公式.最終約分可得結(jié)果.

四、抓住整體，重點突破

前面我們已經(jīng)構(gòu)建了三角恒等變換的公式網(wǎng)絡(luò)，這些公式意圖通過已知的形如單角？琢，？茁的三角函數(shù)值來求出形如復(fù)合角“？琢±？茁，2？琢”等的三角函數(shù)值.出于公式的簡潔性要求，更是出于角之間相互明了關(guān)系的表示，這里的已知角？琢，？茁寫成了單角的形式，但這并不意味著具體問題中的角一定就是這樣的簡潔形式，我們還是要從整體著眼，關(guān)注整體間的關(guān)系.

考題4. 設(shè)？琢為銳角，若cos（？琢+）=，則sin（2？琢+）的值為 ? ? ? ? ?.

【解析】∵ 0< ？琢 <，∴ < ？琢 +<+=.

∵ cos（？琢+）=，∴ sin（？琢+）=.

∴ sin（2？琢+）=2sin（？琢+）cos（？琢+）=2··=.

∴ cos（2？琢+）=.

∴ sin（2？琢+）=sin（2？琢+-）=sin（2？琢+）cos-cos（2？琢+）sin=·-·=.

【點評】本題中有？琢與2？琢的兩倍關(guān)系，但是2？琢+與？琢+之間不是兩倍關(guān)系，所以我們需要對其進行進一步整理.，2（？琢+）=2？琢+-到這一步，命題者的思路就清楚了：先用關(guān)于角？琢+的二倍角公式求出角？琢+的正弦值和余弦值，再用兩角差的正弦公式即可求出結(jié)果.與本題類似，有很多問題都可以類似解決，如“設(shè)tan（？琢+？茁）=tan（？茁-）=，則tan（？琢+）= ? ? ? ? ? ?.”只需要知道？琢+=（？琢+？茁）-（？茁-）即可.

相關(guān)鏈接4. 已知函數(shù)f（x）=sin（3x+）.

（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間;

（Ⅱ）若？琢是第二象限角，f（）=cos（？琢+）cos2？琢，求cos？琢-sin？琢的值.

【解析】

（Ⅰ）因為函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為[-+2k？仔，+2k？仔]，k∈Z，

由-+2k？仔≤3x+≤+2k？仔，k∈Z，得-+≤x≤+，k∈Z.

所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-+， +]，k∈Z.

（Ⅱ）由已知， 有sin（？琢+）=cos（？琢+）（cos2？琢+sin2？琢），

所以sin？琢cos+cos？琢sin=（cos？琢cos-sin？琢sin）

（cos2？琢-sin2？琢），

即sin？琢+cos？琢=（cos？琢-sin？琢）2（sin？琢+cos？琢）.

當sin？琢+cos？琢=0時，由？琢是第二象限角，知？琢=+2k？仔，k∈Z.

此時，cos？琢-sin？琢=-.

當sin？琢+cos？琢≠0時，有（cos？琢-sin？琢）2=.

由？琢是第二象限角，知cos？琢-sin？琢< 0，此時cos？琢-sin？琢=-.

綜上所述，cos？琢-sin？琢=-或-.

【點評】本題第（Ⅰ）問考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，第（Ⅱ）問考查三角函數(shù)的恒等變換.在第（Ⅱ）問中，考生需要注意我們要求的是cos？琢-sin？琢這個整體的值，所以我們不需要單獨求得sin？琢與cos？琢的值.此外，在整理的過程中，要注意轉(zhuǎn)化的等價性，換句話說，不能直接認為cos？琢+sin？琢≠0從而直接約分.

五、樹立目標，提高效率

三角恒等變換是有一些基本的模式，但是如果以為掌握了這些所謂的方法和技巧，就能夠通過套用“公式或套路”就能夠順利解決問題，那就大錯特錯了.要想順利的解決三角恒等變換問題，出來熟悉公式網(wǎng)絡(luò)以外，還要有強烈的目標意識，在目標的引領(lǐng)下，將已知條件進行轉(zhuǎn)化，逐步推進，直至導(dǎo)出結(jié)論.

考題5. 對于任意的？茲，求32cos6？茲-cos6？茲-6cos4？茲-15cos2？茲的值.

【解析】因為32cos6？茲=32（）3=4cos3 2？茲+12cos2 2？茲+12cos2？茲+4，endprint

-cos6？茲=-4cos3 2？茲+3cos2？茲，

-6cos4？茲=-12cos2 2？茲+6，

-15cos2？茲=-15cos2？茲，

所以，各式相加，得32cos6？茲-cos6？茲-6cos4？茲-15cos2？茲=10.

【點評】初次接觸本題，大多數(shù)考生都會感覺無從下手，因為這里的函數(shù)雖然都是余弦，但是角包括了？茲，2？茲，4？茲，6？茲，如果想把角都化簡到？茲，明顯工作量太大，畢竟涉及到了6倍角.所以我們把目標定位2？茲，這樣4？茲是2？茲的二倍角，6？茲是2？茲的三倍角，？茲是2？茲的半角，操作起來必然事半功倍.

六、適當推廣，提高能力

現(xiàn)在很多的考生都要參加各個學(xué)校組織的自主招生考試，自主招生試題與普通高考試題比起來，出題形式更加靈活，知識面更廣、更深，對考生的能力要求更高.

考題6. 若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，則sin（x+y）= ? ? ? ?.

【解析】因為cosxcosy+sinxsiny=cos（x-y）=，

sin2x+sin2y=2sin（x+y）cos（x-y）=;

所以sin（x+y）=.

【點評】本題需要考生了解和差化積公式.其實，補充上和差化積與積化和差公式，以及萬能公式的知識網(wǎng)絡(luò)如下：

相關(guān)鏈接5. 已知sinx+siny=，cosx-cosy=，求cos（x+y），sin（x-y）.

【解析】由sinx+siny=，得sin2x+sin2y+2sinxsiny=……①

由cosx-cosy=，得cos2x+cos2y-2cosxcosy=………②

兩式相加，得2-2cos（x+y）=+=，

所以cos（x+y）=1-=.

又由sinx+siny=，得2sincos=…………③

由cosx-cosy=，得-2sincos= …………④

兩式相除，得tan=-，

所以sin（x-y）==

-=-.

【點評】本題要求的cos（x+y）=cosxcosy-sinxsiny，里面有cosxcosy和sinxsiny，而如果注意到已知條件只需要平方處理，也會包含cosxcosy和sinxsiny，并且由于cos2x+sin2x=1，容易得cos（x+y）的值. 而要求sin（x-y）的時候，則需要考生對和差化積公式有相當?shù)牧私?

（作者單位：北京市第十二中學(xué)）

責任編校 徐國堅endprint

-cos6？茲=-4cos3 2？茲+3cos2？茲，

-6cos4？茲=-12cos2 2？茲+6，

-15cos2？茲=-15cos2？茲，

所以，各式相加，得32cos6？茲-cos6？茲-6cos4？茲-15cos2？茲=10.

【點評】初次接觸本題，大多數(shù)考生都會感覺無從下手，因為這里的函數(shù)雖然都是余弦，但是角包括了？茲，2？茲，4？茲，6？茲，如果想把角都化簡到？茲，明顯工作量太大，畢竟涉及到了6倍角.所以我們把目標定位2？茲，這樣4？茲是2？茲的二倍角，6？茲是2？茲的三倍角，？茲是2？茲的半角，操作起來必然事半功倍.

六、適當推廣，提高能力

現(xiàn)在很多的考生都要參加各個學(xué)校組織的自主招生考試，自主招生試題與普通高考試題比起來，出題形式更加靈活，知識面更廣、更深，對考生的能力要求更高.

考題6. 若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，則sin（x+y）= ? ? ? ?.

【解析】因為cosxcosy+sinxsiny=cos（x-y）=，

sin2x+sin2y=2sin（x+y）cos（x-y）=;

所以sin（x+y）=.

【點評】本題需要考生了解和差化積公式.其實，補充上和差化積與積化和差公式，以及萬能公式的知識網(wǎng)絡(luò)如下：

相關(guān)鏈接5. 已知sinx+siny=，cosx-cosy=，求cos（x+y），sin（x-y）.

【解析】由sinx+siny=，得sin2x+sin2y+2sinxsiny=……①

由cosx-cosy=，得cos2x+cos2y-2cosxcosy=………②

兩式相加，得2-2cos（x+y）=+=，

所以cos（x+y）=1-=.

又由sinx+siny=，得2sincos=…………③

由cosx-cosy=，得-2sincos= …………④

兩式相除，得tan=-，

所以sin（x-y）==

-=-.

【點評】本題要求的cos（x+y）=cosxcosy-sinxsiny，里面有cosxcosy和sinxsiny，而如果注意到已知條件只需要平方處理，也會包含cosxcosy和sinxsiny，并且由于cos2x+sin2x=1，容易得cos（x+y）的值. 而要求sin（x-y）的時候，則需要考生對和差化積公式有相當?shù)牧私?

（作者單位：北京市第十二中學(xué)）

責任編校 徐國堅endprint

-cos6？茲=-4cos3 2？茲+3cos2？茲，

-6cos4？茲=-12cos2 2？茲+6，

-15cos2？茲=-15cos2？茲，

所以，各式相加，得32cos6？茲-cos6？茲-6cos4？茲-15cos2？茲=10.

【點評】初次接觸本題，大多數(shù)考生都會感覺無從下手，因為這里的函數(shù)雖然都是余弦，但是角包括了？茲，2？茲，4？茲，6？茲，如果想把角都化簡到？茲，明顯工作量太大，畢竟涉及到了6倍角.所以我們把目標定位2？茲，這樣4？茲是2？茲的二倍角，6？茲是2？茲的三倍角，？茲是2？茲的半角，操作起來必然事半功倍.

六、適當推廣，提高能力

現(xiàn)在很多的考生都要參加各個學(xué)校組織的自主招生考試，自主招生試題與普通高考試題比起來，出題形式更加靈活，知識面更廣、更深，對考生的能力要求更高.

考題6. 若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，則sin（x+y）= ? ? ? ?.

【解析】因為cosxcosy+sinxsiny=cos（x-y）=，

sin2x+sin2y=2sin（x+y）cos（x-y）=;

所以sin（x+y）=.

【點評】本題需要考生了解和差化積公式.其實，補充上和差化積與積化和差公式，以及萬能公式的知識網(wǎng)絡(luò)如下：

相關(guān)鏈接5. 已知sinx+siny=，cosx-cosy=，求cos（x+y），sin（x-y）.

【解析】由sinx+siny=，得sin2x+sin2y+2sinxsiny=……①

由cosx-cosy=，得cos2x+cos2y-2cosxcosy=………②

兩式相加，得2-2cos（x+y）=+=，

所以cos（x+y）=1-=.

又由sinx+siny=，得2sincos=…………③

由cosx-cosy=，得-2sincos= …………④

兩式相除，得tan=-，

所以sin（x-y）==

-=-.

【點評】本題要求的cos（x+y）=cosxcosy-sinxsiny，里面有cosxcosy和sinxsiny，而如果注意到已知條件只需要平方處理，也會包含cosxcosy和sinxsiny，并且由于cos2x+sin2x=1，容易得cos（x+y）的值. 而要求sin（x-y）的時候，則需要考生對和差化積公式有相當?shù)牧私?

（作者單位：北京市第十二中學(xué)）

責任編校 徐國堅endprint