探析高考中的解三角形問題

袁海軍

本節(jié)內(nèi)容是歷年高考的熱點(diǎn)，主要有三種題型：一是與三角函數(shù)相結(jié)合，通過三角恒等變換進(jìn)行化簡求值，然后利用正弦、余弦定理求解邊長，角度，周長，面積等;二是與平面向量、不等式相結(jié)合，利用向量數(shù)量積運(yùn)算，不等式性質(zhì)判斷三角形的形狀或結(jié)合正弦、余弦定理化簡求值，這兩種題型一般難度不大，屬中檔題目;三是運(yùn)用正弦、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.

題型一、直接利用正弦、余弦定理解三角形

例1 在？駐ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，

且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.

（Ⅰ）求A的大小;

（Ⅱ）若sinB+sinC=1，試判斷？駐ABC的形狀.

解析 （Ⅰ）由已知，根據(jù)正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c，

即a2=b2+c2+bc.

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，

故cosA=-，A=120°.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC.

又sinB+sinC=1，得sinB·sinC=，即sinB=sinC=.

因?yàn)?°

故B=C=30°.

所以？駐ABC是等腰的鈍角三角形.

點(diǎn)評 此題難度較低，解題切入點(diǎn)較為容易，運(yùn)用正弦、余弦定理解三角形時(shí)，要分清條件和目標(biāo)，要根據(jù)已知條件，靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理，求邊角或?qū)⑦吔腔セ? 這類題型一般出現(xiàn)在17或18題，屬于送分題，估計(jì)以后這類題型仍會(huì)保留，不會(huì)有太大改變.

例2 在？駐ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2-c2=2b，

且sinAcosC=3cosAsinC，求b.

解析 此題多數(shù)考生反應(yīng)不知從何入手，對已知條件（1）a2-c2=2b左邊是二次的，右邊是一次的，考生總感覺用余弦定理不好處理，而對已知條件（2）sinAcosC=3cosAsinC直覺上過多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式或用正切公式，甚至有的考生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差，將思路復(fù)雜化，從而導(dǎo)致找不到突破口而失分.事實(shí)上此題直接同步使用正弦、余弦定理即可.

解法一：在？駐ABC中，∵sinAcosC=3cosAsinC，則由正弦定理及余弦定理有：a·=3·c化簡并整理得：2（a2-c2）=b2.

又由已知a2-c2=2b，∴4b=b2.解得b=4或b=0（舍）.

解法二：由余弦定理得：a2-c2=b2-2bccosA.又a2-c2=2b，b≠0.

所以b=2ccosA+2…………………………………①

又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC.

sin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC.

由正弦定理得sinB=sinC，故b=4ccosA………………②

由①②，解得b=4.

點(diǎn)評 高考考綱中就明確提出要加強(qiáng)對正弦、余弦定理的考查.在備考中應(yīng)注意總結(jié)、提高考生自己對問題的分析和解決能力及對知識(shí)的靈活運(yùn)用能力.另外提醒：兩綱中明確不再考的知識(shí)和方法了解就行，（如和差化積、積化和差）不必過于強(qiáng)化.

題型二、利用正弦、余弦定理結(jié)合平面向量、不等式、數(shù)列解三角形

例3 已知△ABC得三邊長成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_________.

解析 設(shè)最小邊長為a，則另兩邊為a，2a.

所以最大角余弦cos？琢==-.

點(diǎn)評 本題考查了解三角形和等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，難度偏易.

例4 在△ABC中，已知·=3·.

（1）求證：tanB=3tanA;

（2）若cosC=，求A的值.

解析 （1）∵·=3·，∴AB·ACcosA=3BA·BCcosB，

即ACcosA=3BCcosB.

又由正弦定理，得=，∴sinBcosA=3sinAcosB.

又∵00，cosB>0.

∴=3，即tanB=3tanA.

（2）∵cosC=，0

∴tan[？仔-（A+B）]=2，即tan（A+B）=-2.∴=-2.

由（1），得=-2，解得tanA=1，tanA=-.

∵cosA>0，∴tanA=1，∴A=.

點(diǎn)評 此題將平面向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的基本關(guān)系式，兩角和的正切公式，正弦定理解三角形.（1）先將·=3·表示成數(shù)量積，再根據(jù)正弦定理和同角三角函數(shù)關(guān)系式證明.（2）由cosC=，可求tanC，由三角形三角關(guān)系，得到tanC=tan[？仔-（A+B）]，從而根據(jù)兩角和的正切公式和（1）的結(jié)論即可求得A的值.

題型三、利用三角公式、正弦、余弦定理等知識(shí)解決實(shí)際問題

（1）關(guān)于測量長度、高度問題

例5 某興趣小組測量電視塔AE的高度H（單位：m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=？琢，∠ADE=？茁.

（1）該小組已經(jīng)測得一組？琢、？茁的值，tan？琢=1.24，tan？茁=1.20，請據(jù)此算出H的值;

（2）該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位：m），使？琢與？茁之差較大，可以提高測量精確度.若電視塔的實(shí)際高度為125m，試問d為多少時(shí)，？琢-？茁最大？endprint

解析

（1）=tan？茁？圯AD=，同理：AB=，BD=.

AD-AB=DB，故得-=，解得：H==124.

因此，算出的電視塔的高度H是124m.

（2）由題設(shè)知d=AB，得tan？琢=，tan？茁===，

tan（？琢-？茁）====.

d+≥2，（當(dāng)且僅d===55當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）

故當(dāng)d=55時(shí)，tan（？琢-？茁）最大.

因?yàn)?<？茁<？琢<，則0<？琢-？茁<，所以當(dāng)d=55時(shí)，？琢-？茁最大.

故所求的d是55m.

點(diǎn)評 本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，重點(diǎn)兩角差的正切及不等式的應(yīng)用.

（1）在Rt△ABE中可得AB=，在Rt△ADE中可得AD=，在Rt△BCD中可得BD=，再根據(jù)AD-AB=DB即可得到H.

（2）先用d分別表示出tan？琢和tan？茁，再根據(jù)兩角和公式，求得tan（？琢-？茁）=，再根據(jù)均值不等式可知當(dāng)d=55時(shí)，tan（？琢-？茁）有最大值即tan（？琢-？茁）有最大值，得到答案.

（2）關(guān)于測量角度、高度問題

例6 某人騎自行車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛6km后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為15°，求此山的高度CD.（精確到0.1km）（參考數(shù)據(jù)≈1.41，≈1.73）

解析 在？駐ABC中，∠A=30°，∠C=75°-30°=45°，

由=

？圯BC==3km.

在Rt？駐BCD中，有CD=BC·tan∠DBC=3·（2-）=6-3≈1.0km.

點(diǎn)評 本題涉及測量高度和角度.由于邊、角測量不在同一平面內(nèi)，需作立體圖形的直觀圖，借助不同平面的三角形邊角關(guān)系求解.此題先作出直觀圖：由已知條件，容易求出有關(guān)的角，再求出BC的長，進(jìn)而求出高CD.

注意：在測量與幾何有關(guān)的計(jì)算通常要盡可能畫出示意圖;測量底部不可到達(dá)點(diǎn)的高度，通常要在基線上選兩個(gè)觀察點(diǎn)，在同一平面內(nèi)至少測量三個(gè)數(shù)據(jù)（角邊角），解兩個(gè)三角形;若是直角三角形，求解更便捷.

（3）關(guān)于求行駛（航行）角度、追擊（相遇）時(shí)間問題

例7 如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到B，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min，山路AC長為1260m，經(jīng)測量，cosA=，cosC=.

（1）求索道AB的長;

（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？

（3）為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

解析 （1）在？駐ABC中，∵cosA=，cosC=，

∴A、C∈（0，），∴sinA=，sinC=.

∴sinB=sin[？仔-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=.

根據(jù)=得AB=sinC=1040m.

（2）設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲.乙距離為d，此時(shí)甲行走了（100+50t）m，乙距離A處（130t）m.

則由余弦定理得：d2=（130t）2+（100+50t）2-2×130t×（100+50t）×.

∴d2=200（37t2-70t+50）.

∵0≤t≤，即0≤t≤8，

∴t=時(shí)，即乙出發(fā)分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短.

（3）由正弦定理=，得BC=sinA==500m.

因?yàn)楫?dāng)乙從B出發(fā)時(shí)，甲已經(jīng)走了50×（2+8+1）=550m，還需走710m才能到達(dá)C處，

設(shè)乙的步行速度為V m/min，則-≤3，

∴-3≤-≤3，∴≤v≤.

∴為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在[，]范圍內(nèi).

點(diǎn)評 此題將解三角形、構(gòu)造函數(shù)求最值、解不等式等知識(shí)綜合在一起考查，對考生有一定的難度，實(shí)質(zhì)是解三角形求距離問題;關(guān)于求距離問題要注意兩點(diǎn)：①要選定或確定所求量所在的三角形，若其他量已知，則直接求解，若有未知量，則把未知量放在另一確定的三角形中求解.②要確定用正弦定理，還是余弦定理，如果都可以用，則選擇更便于計(jì)算的定理.

例8 某補(bǔ)給船在A島南偏西50°相距12海里的B處，發(fā)現(xiàn)貨船正由A島沿北偏西10°的方向以10海里/小時(shí)的速度航行.問補(bǔ)給船需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時(shí)趕上貨船補(bǔ)充養(yǎng)料.（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，sin37°≈）

解析 在△ABC中，∠BAC=180°-50°-10°=120°，由余弦定理得：

BC2=AC2+AB2-2·AB·AC·cos∠BAC

=202+122-2×12×20×（-）=784，

∴BC=28.

∴補(bǔ)給船的追趕速度為14 海里/小時(shí).

又在△ABC中由正弦定理得：

=，故sinB==.

得：∠B≈37°，航向?yàn)椋?0°-37°=13°，故補(bǔ)給船行駛的方向約為北偏東13°.

點(diǎn)評 解好本題需明確“方向角”這一概念，方向角是相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°，西偏北60°等.此題先利用方向角求內(nèi)角，再用余弦定理、正弦定理求解.endprint

注意區(qū)別：方位角：指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的夾角，其范圍是（0°，360°）.

知識(shí)小結(jié)：應(yīng)用正弦定理、余弦定理解三角形的應(yīng)用題的一般步驟：

1. 分析：認(rèn)真審題，理解題意，分清已知與未知，根據(jù)題意作出示意圖;

2. 建模：確定實(shí)際問題所涉及的三角形以及三角形中的已知或未知的元素，列方程（組）;

3. 求解：選擇相適應(yīng)的三角公式、正弦、余弦定理及面積公式等有序的解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解.

4. 檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解.

題型四、探析正弦、余弦定理的來源，回歸定義.

例9 敘述并證明余弦定理.

解析 敘述：

余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩遍平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍.或：在△ABC中，a，b，c為A，B，C的對邊，有

a2=b2+c2-2bccosA，

b2=c2+a2-2cacosB，

c2=a2+b2-2abcosC.

證明：（證法一）如圖，a2==（-）·（-）

=-2·+=-2·cosA+

=b2-2bccosA+c2，

即a2=b2+c2-2bccosA.

同理可證b2=c2+a2-2cacosB，

c2=a2+b2-2cacosC.

（證法二）已知？駐ABC中，A，B，C所對邊分別為a，b，c，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則C（bcosA，bsinA），B（c，0），

∴a2=|BC|2=（bcosA-c）2+（bsinA）2=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A

=b2+c2-2bccosA，

即a2=b2+c2-2bccosA.

同理可證，b2=c2+a2-2cacosB，

c2=a2+b2-2abcosC.

點(diǎn)評 本題是課本公式、定理、性質(zhì)的推導(dǎo)，這是高考考查的常規(guī)方向和考點(diǎn)，引導(dǎo)考生回歸課本，重視公式定理的產(chǎn)生背景、推理論證及理解，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和鞏固.

（作者單位：廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

責(zé)任編校 ? 徐國堅(jiān)endprint

注意區(qū)別：方位角：指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的夾角，其范圍是（0°，360°）.

知識(shí)小結(jié)：應(yīng)用正弦定理、余弦定理解三角形的應(yīng)用題的一般步驟：

1. 分析：認(rèn)真審題，理解題意，分清已知與未知，根據(jù)題意作出示意圖;

2. 建模：確定實(shí)際問題所涉及的三角形以及三角形中的已知或未知的元素，列方程（組）;

3. 求解：選擇相適應(yīng)的三角公式、正弦、余弦定理及面積公式等有序的解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解.

4. 檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解.

題型四、探析正弦、余弦定理的來源，回歸定義.

例9 敘述并證明余弦定理.

解析 敘述：

余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩遍平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍.或：在△ABC中，a，b，c為A，B，C的對邊，有

a2=b2+c2-2bccosA，

b2=c2+a2-2cacosB，

c2=a2+b2-2abcosC.

證明：（證法一）如圖，a2==（-）·（-）

=-2·+=-2·cosA+

=b2-2bccosA+c2，

即a2=b2+c2-2bccosA.

同理可證b2=c2+a2-2cacosB，

c2=a2+b2-2cacosC.

（證法二）已知？駐ABC中，A，B，C所對邊分別為a，b，c，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則C（bcosA，bsinA），B（c，0），

∴a2=|BC|2=（bcosA-c）2+（bsinA）2=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A

=b2+c2-2bccosA，

即a2=b2+c2-2bccosA.

同理可證，b2=c2+a2-2cacosB，

c2=a2+b2-2abcosC.

點(diǎn)評 本題是課本公式、定理、性質(zhì)的推導(dǎo)，這是高考考查的常規(guī)方向和考點(diǎn)，引導(dǎo)考生回歸課本，重視公式定理的產(chǎn)生背景、推理論證及理解，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和鞏固.

（作者單位：廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

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注意區(qū)別：方位角：指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的夾角，其范圍是（0°，360°）.

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1. 分析：認(rèn)真審題，理解題意，分清已知與未知，根據(jù)題意作出示意圖;

2. 建模：確定實(shí)際問題所涉及的三角形以及三角形中的已知或未知的元素，列方程（組）;

3. 求解：選擇相適應(yīng)的三角公式、正弦、余弦定理及面積公式等有序的解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解.

4. 檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解.

題型四、探析正弦、余弦定理的來源，回歸定義.

例9 敘述并證明余弦定理.

解析 敘述：

余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩遍平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍.或：在△ABC中，a，b，c為A，B，C的對邊，有

a2=b2+c2-2bccosA，

b2=c2+a2-2cacosB，

c2=a2+b2-2abcosC.

證明：（證法一）如圖，a2==（-）·（-）

=-2·+=-2·cosA+

=b2-2bccosA+c2，

即a2=b2+c2-2bccosA.

同理可證b2=c2+a2-2cacosB，

c2=a2+b2-2cacosC.

（證法二）已知？駐ABC中，A，B，C所對邊分別為a，b，c，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則C（bcosA，bsinA），B（c，0），

∴a2=|BC|2=（bcosA-c）2+（bsinA）2=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A

=b2+c2-2bccosA，

即a2=b2+c2-2bccosA.

同理可證，b2=c2+a2-2cacosB，

c2=a2+b2-2abcosC.

點(diǎn)評 本題是課本公式、定理、性質(zhì)的推導(dǎo)，這是高考考查的常規(guī)方向和考點(diǎn)，引導(dǎo)考生回歸課本，重視公式定理的產(chǎn)生背景、推理論證及理解，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和鞏固.

（作者單位：廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

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