復(fù)變函數(shù)中定積分的計(jì)算

王華閣

（新鄉(xiāng)醫(yī)學(xué)院 基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453003）

在《復(fù)變函數(shù)與積分變換》教材中，在復(fù)變函數(shù)這部分內(nèi)容中，定積分的計(jì)算方法多種多樣，我們可以針對(duì)具體的定積分題型，選擇合適的積分方法。 在這里，我們針對(duì)每種積分類型的特點(diǎn)，通過(guò)相應(yīng)的例題，給出具體的解法。

1 參數(shù)方程法

對(duì)于積分曲線C 為不封閉曲線的定積分，可以考慮參數(shù)方程法進(jìn)行計(jì)算。 用參數(shù)方程法計(jì)算定積分可以根據(jù)不同情況由兩種方法進(jìn)行計(jì)算。

1.1 通過(guò)化為兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的積分進(jìn)行計(jì)算

由z=x+iy，f（z）=u（x，y）+iv（x，y），可得

解：設(shè)f（z）=z2=（x2-y2）+2ixy，u=x2-y2，v=2xy。

設(shè)曲線C1的參數(shù)方程為

1.2 化為參變量的定積分進(jìn)行計(jì)算

對(duì)于例1，我們可以化為參變量的定積分，按照這種方法進(jìn)行計(jì)算。

解：設(shè)曲線C1的參數(shù)方程為

從而，

2 根據(jù)柯西定理及推論進(jìn)行計(jì)算

2.1 定理1（柯西定理）

設(shè)C 是一條簡(jiǎn)單正向閉曲線，f（z）在以C 為邊界的有界閉區(qū)域D 上解析，則

2.2 定理2（柯西定理推論）

設(shè)D 為由外線路C0和內(nèi)線路C0，C1，C2，…，Cn圍成的多連通 區(qū) 域，f（z）在D 內(nèi)及邊界曲線C0，C1，C2，…，Cn上解析，則這里C 為多連通區(qū)域D 的所有正向邊界，方向?yàn)镃0取逆時(shí)針?lè)较颍琧k（k=1，2，L，n）取順時(shí)針?lè)较颉?/p>

例3：C 為矩形區(qū)域0≤x≤3，0≤y≤2 的正向邊界， 證明：

證明：在矩形區(qū)域里做正向圓周R：z-（2+i）=reiθ（θ：2π→0），則在圖中的復(fù)連通區(qū)域內(nèi)解析，從而根據(jù)柯西定理的推論有：

3 根據(jù)柯西積分公式進(jìn)行計(jì)算

定理3：設(shè)f（z）在簡(jiǎn)單正向閉曲線C 及所圍區(qū)域D 內(nèi)處解析，z0為D 內(nèi)任一點(diǎn)，則我們把這個(gè)公式稱為柯西積分公式。

定理3 說(shuō)明f（z0）可由函數(shù)在C 上的積分來(lái)確定，但實(shí)際上，我們通常把這個(gè)公式進(jìn)行變形，可以用這個(gè)公式來(lái)計(jì)算積分

用柯西積分公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)， 先對(duì)曲線C 的解析性做判斷，然后按照下列步驟進(jìn)行：首先注意C 應(yīng)該為正向閉曲線，若f（z）在C 所圍的區(qū)域里解析，則根據(jù)柯西定理，若f（z）在C 所圍的區(qū)域里不解析，再分以下兩種情況：

（1）當(dāng)f（z）有一個(gè)不解析點(diǎn)z0時(shí)，考慮能否把f（z）化成，其中g(shù)（z）在C 內(nèi)解析，則由柯西積分公式可得，

（2）當(dāng)f（z）有n 個(gè)不解析點(diǎn)時(shí)，做以不解析點(diǎn)為圓心的正向圓周C1，…，Cn，半徑足夠小，則由柯西定理的推論，

解：當(dāng)C 為|z-2|=1 時(shí)，

4 利用高階導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算

定理4：設(shè)f（z）在簡(jiǎn)單正向閉曲線C 及其所圍區(qū)域D 內(nèi)處解析，z0為D 內(nèi)任一點(diǎn)， 則0，1，2…）

解：因?yàn)閏osπz 在復(fù)平面上處處解析，所以由定理4，

5 利用留數(shù)定理進(jìn)行計(jì)算

定理5（留數(shù)定理）：設(shè)D 是復(fù)平面上的一個(gè)有界閉區(qū)域，若f（z）在D 內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1，z2，…，zn外處處解析，且它在D的邊界C 上也解析，則

利用留數(shù)定理計(jì)算定積分的步驟：

（1）找出C 所圍區(qū)域內(nèi)f（z）的所有孤立奇點(diǎn)，設(shè)為z1，z2，…，zn。

（2）對(duì)每個(gè)孤立奇點(diǎn)zi，分別求Res（f，zi）。

（3）利用留數(shù)定理求定積分：

[1]蘇變萍，陳東立.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京:高等教育出版社，2010.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社，2007.

[3]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京:高等教育出版社，1988.