群模糊層次分析法的改進(jìn)及應(yīng)用

李 亮 龔光紅

(北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京100191)

陳金磊 柳瓊俊

(北京機(jī)電工程研究所 信息化室，北京100074)

層次分析法(AHP，Analytic Hierarchy Process)是一種從定性分解到定量分析，再到定量綜合的決策方法.它采用兩兩判斷矩陣來(lái)確立指標(biāo)的權(quán)重，其應(yīng)用難點(diǎn)在于基于專家主觀評(píng)價(jià)來(lái)構(gòu)造的兩兩判斷矩陣難以獲得滿意的一致性［1］.目前提出的解決方法主要有:經(jīng)驗(yàn)估計(jì)法、最優(yōu)傳遞矩陣法、向量夾角余弦法、模式識(shí)別法、誘導(dǎo)矩陣法等［2］.這些方法要求專家反復(fù)輸入、循環(huán)計(jì)算一致性直到達(dá)到設(shè)定閾值為止，增加了AHP使用和計(jì)算復(fù)雜度［3］.

為了提高AHP實(shí)用性，針對(duì)實(shí)際決策中人類思維的模糊性，采用模糊數(shù)學(xué)中三角模糊數(shù)相關(guān)理論提出一種改進(jìn)的群模糊層次分析法(IGFAHP，Improved Group Fuzzy Analytic Hierarchy Process)，同時(shí)引入專家權(quán)重系數(shù)考慮不同專家不同權(quán)重的影響.

1 IGFAHP介紹

IGFAHP將專家的語(yǔ)言意見通過(guò)三角模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為直接模糊判斷矩陣，并導(dǎo)出可能度矩陣計(jì)算權(quán)重.同時(shí)IGFAHP根據(jù)專家重要程度以及相關(guān)指標(biāo)計(jì)算專家權(quán)重系數(shù)，來(lái)評(píng)價(jià)不同專家對(duì)決策結(jié)果的影響.

IGFAHP主要步驟包括評(píng)價(jià)指標(biāo)集的確定，各指標(biāo)權(quán)重的確定，模糊評(píng)判矩陣的確定以及綜合評(píng)判的確定與排序.

1.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)集的確定

設(shè)系統(tǒng)決策總目標(biāo)A可以分成m個(gè)指標(biāo)子集，分別記為 B1，B2，…，Bm，Bi(i=1，2，…，m)之間相互獨(dú)立，定義滿足:

1.2 各指標(biāo)權(quán)重的確定

專家對(duì)指標(biāo)權(quán)重的評(píng)價(jià)存在模糊性.采用三角模糊數(shù)既描述其模糊性，又適合作數(shù)學(xué)處理［4］.按照表1所示的指標(biāo)標(biāo)度表結(jié)合專家對(duì)某指標(biāo)重要性的意見構(gòu)造各層次指標(biāo)的模糊判斷矩陣.

表1 指標(biāo)標(biāo)度表Table1 Index scale

設(shè)上一層指標(biāo)B與下一層指標(biāo)C1，C2，…，Cn之間存在隸屬關(guān)系(B為 C1，C2，…，Cn的父指標(biāo))，則專家給出的權(quán)重意見按標(biāo)度表轉(zhuǎn)換后，可得直接模糊判斷矩陣Rw，表達(dá)式為

式中，ri=(li，mi，ui)是三角模糊數(shù)，i=1，2，…，n;li，mi，ui分別表示指標(biāo)Ci在與父指標(biāo) B進(jìn)行比較時(shí)，專家給出的最悲觀估計(jì)值、最可能估計(jì)值和最樂觀估計(jì)值;Rw是一個(gè)1×n的三角模糊數(shù)矩陣，表示專家給出父指標(biāo)B下各指標(biāo)的重要性程度.

通過(guò)Rw可以計(jì)算出指標(biāo) C1，C2，…，Cn的相對(duì)于父指標(biāo)B的權(quán)重，其方法如下:設(shè)有s(s≥1)個(gè)專家給出指標(biāo) C1，C2，…，Cn相對(duì)于父指標(biāo) B的三角模糊數(shù)矩陣集表達(dá)式為

式中，k=1，2，…，s.當(dāng) s=1 時(shí)為個(gè)體決策;當(dāng) s＞1時(shí)為群體決策.計(jì)算相對(duì)權(quán)重步驟如下:

1)集結(jié)s個(gè)專家的偏好信息.s個(gè)專家的偏好信息分為相同和不同兩種情況.

若專家的重要程度相同，則綜合判斷矩陣的表達(dá)式為

若專家的重要程度不同，則通過(guò)對(duì)專家知名度、職稱、學(xué)歷、判斷依據(jù)、熟悉程度和自信度6種常見因數(shù)進(jìn)行評(píng)分比較得出專家權(quán)重系數(shù)［5］.設(shè)有s位專家，第t個(gè)專家的權(quán)重系數(shù)計(jì)算表達(dá)式為

式中，at，bt，ct，dt，et，ft為專家的職稱、學(xué)歷、判斷依據(jù)、熟悉程度和自信度，對(duì)應(yīng)的分值如表2所示.

表2 專家權(quán)重系數(shù)打分表Table2 Expert weight factor scoring

歸一化處理為

則s個(gè)專家的偏好判斷信息后的綜合判斷矩陣為

2)計(jì)算歸一化的綜合判斷矩陣.指標(biāo)Ci對(duì)應(yīng)的歸一化后得，表達(dá)式為

記歸一化的綜合判斷矩陣為Sw，表達(dá)式為

3)求得各指標(biāo)相應(yīng)的可能度，建立可能度矩陣V.為了比較兩個(gè)三角模糊數(shù)接近程度，定義三角模糊數(shù)可能度(PD，Possible Degree)，可能度為實(shí)數(shù)值，計(jì)算表達(dá)式［6］為

式中，M1=(a1，b1，c1)，M2=(a2，b2，c2)為 2 個(gè)任意的三角模糊數(shù).計(jì)算方法如圖1所示.

圖1 三角模糊數(shù)可能度計(jì)算示意圖Fig.1 Triangular fuzzy number possible degree calculating

對(duì)于 n個(gè)指標(biāo) C1，C2…Cn，把三角模糊數(shù)(i=1，2，…，n)進(jìn)行兩兩比較并按式(10)計(jì)算每?jī)蓚€(gè)指標(biāo) Ci和 Cj的可能度 V(≥)，得到可能度矩陣(為實(shí)數(shù)矩陣)，表達(dá)式為

4)求取相對(duì)權(quán)重，按照式(13)從可能度矩陣中求得每一個(gè)指標(biāo)的相對(duì)權(quán)重，取最小值:

式(14)遞歸可求出任意一指標(biāo)相對(duì)根指標(biāo)(指標(biāo)體系根節(jié)點(diǎn))的相對(duì)權(quán)重［7］.設(shè)根指標(biāo)的絕對(duì)權(quán)重為1，并定義任意一指標(biāo)的絕對(duì)權(quán)重為該指標(biāo)相對(duì)根指標(biāo)的相對(duì)權(quán)重乘以根指標(biāo)的絕對(duì)權(quán)重，記為W.則該指標(biāo)體系樹的絕對(duì)權(quán)重集為

對(duì)于整個(gè)指標(biāo)體系樹，任意指標(biāo)的絕對(duì)權(quán)重滿足如下性質(zhì):0≤Wi≤1(i=1，2，…，n);對(duì)于同一層的指標(biāo):∑W=1.

1.3 模糊評(píng)判矩陣的確定

評(píng)判集的確定借鑒改進(jìn)矩陣方法給出指標(biāo)評(píng)價(jià)的等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)，把評(píng)判集劃分為5個(gè)等級(jí)，即E={e1，e2，e3，e4，e5}.

專家組中的專家依據(jù)自己的知識(shí)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)對(duì)指標(biāo)集Ai(i=1，2，…，m)中的每一個(gè)評(píng)估指標(biāo)在系統(tǒng)評(píng)估評(píng)判集 E={e1，e2，e3，e4，e5}={低，較低，中，較高，高}中的相應(yīng)評(píng)語(yǔ)處劃鉤，對(duì)應(yīng)的模糊評(píng)價(jià)如表3所示［8］.按照此種方法對(duì)評(píng)估子集中的每一個(gè)評(píng)估指標(biāo)進(jìn)行評(píng)判，即可得到模糊評(píng)判矩陣 Ri(i=1，2，…，m).

表3 評(píng)判值轉(zhuǎn)換表Table3 Evaluation-value converting

1.4 綜合評(píng)判的確定和排序

設(shè)由上述指標(biāo)權(quán)重確定方法經(jīng)計(jì)算得到系統(tǒng)評(píng)估子集B的各指標(biāo)Bi對(duì)應(yīng)的權(quán)重集為

設(shè)Ri為評(píng)價(jià)子集A的各指標(biāo)Bi到評(píng)價(jià)評(píng)判集E={低，較低，中，較高，高}的評(píng)判值可得指標(biāo)Bi的評(píng)判模糊為

指標(biāo)體系的最下層有l(wèi)個(gè)指標(biāo)，計(jì)算最下層的綜合評(píng)價(jià)評(píng)判模糊向量為(D1，D2，…，Dl)，系統(tǒng)總的評(píng)判模糊值為

設(shè)系統(tǒng)有k個(gè)方案，根據(jù)可得出方案集的綜合評(píng)價(jià)評(píng)判模糊向量:

采用式(11)比較綜合評(píng)價(jià)評(píng)判模糊向量(T1，T2，…，Tk)的值，即可得到各個(gè)方案的綜合評(píng)價(jià)評(píng)判實(shí)數(shù)值g.對(duì)于方案i:

計(jì)算各方案的綜合評(píng)價(jià)評(píng)判實(shí)數(shù)值，得到各方案的評(píng)價(jià)實(shí)數(shù)向量G，對(duì)G進(jìn)行實(shí)數(shù)排序，得到各方案的優(yōu)劣程度，從而得到最終決策結(jié)果.

2 實(shí)驗(yàn)分析

對(duì)于IGFAHP，專家給出n個(gè)指標(biāo)的模糊判斷矩陣為

則其一致性檢驗(yàn)函數(shù)為F(n)，為其計(jì)算方法為

通過(guò)比較AHP(AHP計(jì)算方式見文獻(xiàn)［9］)和IGFAHP方法對(duì)一致性的影響:選取常用的3～9同層指標(biāo)數(shù)，并采用蒙特卡洛法進(jìn)行仿真分別得出20次和100次仿真實(shí)驗(yàn)平均的一致性.從表4和表5中可看出IGFAHP方法對(duì)一致性的顯著改進(jìn).

式中，aik=(bik，cik，dik)，bik，cik，dik∈R+并且 0 ＜bik＜cik＜dik＜1;wk為理想權(quán)重并滿足:wk∈R+，

表4 20次實(shí)驗(yàn)平均F(n)Table4 20 times experimental average F(n)

表5 100次實(shí)驗(yàn)平均F(n)Table5 100 times experimental average F(n)

3 應(yīng)用實(shí)例

以飛行器總體方案的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)為例，構(gòu)建一個(gè)單層具有5個(gè)子指標(biāo)的指標(biāo)體系如圖2所示，設(shè)有2個(gè)專家對(duì)3個(gè)方案進(jìn)行評(píng)價(jià)，得出3個(gè)方案評(píng)價(jià)排序結(jié)果，從而選出最優(yōu)方案，圖2為飛行器方案評(píng)價(jià)風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)體系［10－15］.

圖2 風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)體系Fig.2 Risk index system

專家針對(duì)指標(biāo)體系中的各項(xiàng)指標(biāo)分別給出如表6所示的模糊權(quán)重輸入.對(duì)綜合評(píng)價(jià)值進(jìn)行排序，結(jié)果為:0.546(2號(hào)方案)＞0.339(3號(hào)方案)＞0.231(1號(hào)方案).這里綜合實(shí)數(shù)評(píng)價(jià)值越大，表示風(fēng)險(xiǎn)越高，故1號(hào)方案風(fēng)險(xiǎn)最小，為較優(yōu)方案.

表6 專家輸入及綜合評(píng)價(jià)值Table6 Expert input and comprehensive evaluation

4 結(jié)論

1)IGFAHP中專家權(quán)重系數(shù)的引入將AHP擴(kuò)展到群決策領(lǐng)域;

2)蒙特卡洛方法實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示基于模糊判斷矩陣的權(quán)重計(jì)算方法顯著改善AHP的一致性.

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