巧用幾何和物理情景進(jìn)行向量教學(xué)

胡旭耀

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；向量；物理；幾何

〔中圖分類號(hào)〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 A

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2014）21—0118—02

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中，在必修課程、選修課程中設(shè)置了向量的內(nèi)容.但是，對(duì)于中學(xué)生來說，向量卻是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一大跨越，不僅僅是增加了新內(nèi)容，更重要的是要讓學(xué)生立足于向量這一全新的視角，拓展對(duì)問題的思維方式.因此，向量教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一.下面，筆者從向量的基本概念、向量的應(yīng)用、向量數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)等幾個(gè)方面入手，談一談如何利用幾何與物理情景進(jìn)行向量教學(xué).

1. 向量基本概念與表示

學(xué)生初學(xué)向量，對(duì)向量“既有大小又有方向”的基本概念難以直接理解，教師可設(shè)計(jì)一些情景活動(dòng)，來幫助學(xué)生加深理解.

活動(dòng)1：平面上昆蟲的位移.如果觀察桌子上的一只螞蟻（用A表示），猜測(cè)螞蟻將會(huì)跑到哪里？

學(xué)生不容易猜出螞蟻移動(dòng)的位置，因?yàn)橛袩o數(shù)可能的方向.故教師可假設(shè)在若干秒內(nèi)，螞蟻從起點(diǎn)開始有以下舉動(dòng)，讓學(xué)生根據(jù)圖示進(jìn)行列舉：（1）相等的距離、相反的方向（如從A到H和從A到C）；（2）相等的距離、不同的方向（如從A到B和從A到C）；（3）不同的距離、相同的方向（如從A到K和從A到L）.這樣，通過讓學(xué)生比較不同的位移和軌跡，引入“既有大小又有方向”的量，進(jìn)而引出向量的概念.

活動(dòng)2：城市之間的位移.每天早晨，某人要從城區(qū)I地點(diǎn)的家中坐車到城區(qū)E地點(diǎn)去上班，到了晚上，他又要從城區(qū)E地點(diǎn)返回到城區(qū)I地點(diǎn)的家中.問：這兩次行程之間有何區(qū)別？ 部分學(xué)生會(huì)對(duì)向量的表示存在錯(cuò)誤理解，如將I←E表示成■，將I→E表示成■.通過該活動(dòng)，引入向量的表示方法與含義，讓學(xué)生理解向量的記法、幾何表示以及相反向量和共線向量的概念.

活動(dòng)3：幾何實(shí)例.在平行六面體中所標(biāo)示出的向量中，請(qǐng)區(qū)別：（1）長度或者數(shù)量相等的向量；（2）在相同路徑上的向量；（3）和■有相同方向的向量；（4）和■相等的向量；（5）和■相反的向量.

由于語言表達(dá)的原因，一些學(xué)生可能會(huì)有如下的誤解：水平和垂直方向意味著“相反”的方向：所有的垂直向量都和水平向量■相反.類似地，和向量■垂直的向量，如向量■，會(huì)被認(rèn)為是和水平向量■相反.通過該活動(dòng)，讓學(xué)生直觀地理解垂直向量的概念.

2.向量的比較

比較向量時(shí)，學(xué)生的主要困難在于錯(cuò)誤地認(rèn)為向量的相等僅僅就是向量大小的相等，也就是在數(shù)量上的相等，而忽略向量在方向上的相同；另外，在向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)平行移動(dòng)后，誤認(rèn)為是形成了不同的向量.可通過實(shí)例活動(dòng)，來幫助學(xué)生理解.如通過舉例平行六面體中的■和■，說明它們是相等的向量，但不是同一個(gè)向量，不同是因?yàn)樗鼈冊(cè)诓煌奈恢?，但它們卻相等.

3.非共線向量求和

非共線向量求和時(shí)所用的向量運(yùn)算法則是向量學(xué)習(xí)的難點(diǎn)和重點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)會(huì)有很大障礙.因此，教師在教學(xué)的時(shí)候可循序漸進(jìn)地結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行類比講授.（1）三角形法則.向量之間的操作可被看作是對(duì)對(duì)象進(jìn)行多種操作之后的最終效果.可通過物理中常用的位移和速度的例子進(jìn)行說明.（2）位移情景：甲從地點(diǎn)A行駛到地點(diǎn)C，中間經(jīng)過地點(diǎn)B，并用向量表示其行程.乙從地點(diǎn)A直接行駛到地點(diǎn)C.請(qǐng)比較甲、乙兩人最終的位移.（3）速度情景：小球沿著管道以4厘米/秒的速度移動(dòng)，同時(shí)管道以3厘米/秒的速度向上移動(dòng).在位移情景實(shí)例中，甲、乙兩人的最終位移相同；在管道問題實(shí)例中，在2秒內(nèi)，如果管道沒有移動(dòng)，則小球的位移是■；如果只有管道移動(dòng)，小球的位移是■；如果同時(shí)移動(dòng)，小球的位移是■.通過這些情景實(shí)例的解釋和討論，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)三角形法則的理解.

2. 平行四邊形法則.在介紹平行四邊形法則時(shí)，可通過以下的預(yù)備活動(dòng)，來幫助學(xué)生理解平行四邊形法則與三角形法則之間的關(guān)系.

（1）進(jìn)行如圖所示的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)：有一個(gè)平板車，車上有一小球.在平板車向右運(yùn)動(dòng)一段距離的同時(shí)，小球在車上向上邊運(yùn)動(dòng)一段距離.分析小球最終的位移情況，可以有兩種方式：一種是可認(rèn)為平板車先向右運(yùn)行，然后小球向上運(yùn)動(dòng)；一種是認(rèn)為小球先向上運(yùn)動(dòng)，然后平板車向右運(yùn)動(dòng).

無論我們?nèi)绾斡^察和分析運(yùn)動(dòng)的順序，小球最終的位移是相同的.在此基礎(chǔ)上，可以引入向量求和的可交換性概念，引入三角形法則與平行四邊形法則之間的等價(jià)關(guān)系.

（2）進(jìn)行如下兩個(gè)構(gòu)造活動(dòng)， 要求保持形狀的平行四邊形，觀察和分析形成的軌跡：a.移動(dòng)點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的兩條線段；b.移動(dòng)點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的兩個(gè)向量，移動(dòng)時(shí)，要保持向量的方向不變。

活動(dòng)a的作用是讓學(xué)生首先感受由線段構(gòu)成的平行四邊形的特點(diǎn)和形式；活動(dòng)b的作用是讓學(xué)生理解帶有方向的向量所構(gòu)成的平行四邊形的形式、通過和活動(dòng)a進(jìn)行比較，理解向量的平行四邊形法則的規(guī)律.在這些準(zhǔn)備活動(dòng)結(jié)束后，然后在課堂上進(jìn)行了關(guān)于力的真實(shí)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)：如圖所示，在A點(diǎn)需要掛多大的重量去保持平衡？通過思考、計(jì)算、試驗(yàn)、講解，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)平行四邊形法則.

向量是高中數(shù)學(xué)新課程中的重點(diǎn)內(nèi)容之一.本文針對(duì)中學(xué)生學(xué)習(xí)向量時(shí)面對(duì)的理解上的困難，提出基于學(xué)生的實(shí)際生活體驗(yàn)，結(jié)合學(xué)生的物理和幾何課程，通過設(shè)計(jì)各種物理和幾何情景活動(dòng)與實(shí)例，將抽象的概念用直觀具體的方式進(jìn)行傳授，以幫助學(xué)生對(duì)向量概念有更深入地理解.

？笙 編輯：謝穎麗