一個析取等值式及其相關(guān)邏輯問題的學(xué)術(shù)對話

馬雷，張建軍，翟玉章，杜國平

（1.東南大學(xué) 人文學(xué)院，江蘇 南京 211189；2.南京大學(xué) 哲學(xué)系，江蘇 南京 210093；3.中國社會科學(xué)院 邏輯研究所，北京 100732；4.南京師范大學(xué) 哲學(xué)系，江蘇 南京 210046）

一、馬雷與張建軍的問答

馬雷（以下簡稱“馬”）：

我們能不能說“A∨B∨C 永真，當(dāng)且僅當(dāng)A∨B永真或者A∨C永真”？A、B、C代表單一命題和代表復(fù)合命題對于這個論斷有區(qū)別嗎？

張建軍（以下簡稱“張”）：

不知這個問題是針對何具體問題提出的。

“A ∨B∨C 永真，當(dāng)且僅當(dāng)A ∨B 永真或者A ∨C 永真”，一般地說是不對的。如“p∨q∨非q”永真，但p∨q和p∨非q都不永真，只能得“（p∨q）∨（p∨非q）”這個析取式永真。這對單一命題和復(fù)合命題都是一樣的②。

馬：我們可以說“如果A∨B 永真或者A∨C 永真，那么A∨B∨C永真”，可以通過論證“A∨B永真或者A∨C永真”來論證“A∨B∨C永真”，是吧？但是，不能倒過來論證，因為兩者沒有等值關(guān)系。就是說，克勞斯著《形式邏輯導(dǎo)論》③272頁中這樣的論證思路還是對的。為了論證

可以論證或者

或者

他還是錯在隨便脫去豎號。奇怪的是，在這個例子中，他不同意原式三大項同時脫去豎號，再運算，而是主張分解開來再脫去豎號運算。張老師舉的這個例子特別簡潔明白，能說明問題。但是，如果做個限定，A∨B∨C 里面排除出現(xiàn)q∨非q 的情況，那么原等值式是否就對？

張：我手頭沒有克勞斯的書。這里可能要區(qū)分真和永真。A∨B∨C與（A∨B）∨（A∨C）是等價的，一個真另一個必真，一個永真另一個必永真。從（A∨B）∨（A∨C）為真可得其析取支至少一真，但從（A ∨B）∨（A ∨C）永真得不出其析取支至少一個永真④。

當(dāng)然你說的倒過來的論證是對的。

馬：問題還沒搞明白，請看：

對于任何動物而言，它頭上的毛一定有一個是動物的

馬是動物

所以，對于任何馬而言，它的頭上的毛一定有一個是馬的

對于任何真的析取式而言，它的析取支一定有一個是真的

永真是一種真

所以，對于任何永真的析取式而言，它的析取支一定有一個是永真的

如果前面一個推理正確，那后一個也正確。為什么后一個真前提卻推出錯的結(jié)論？除非您認(rèn)為前一個推理不對。

張：前一個推理是有效的，但后一個推理與之不同。永真并不是一個真值，只能說永真語句在任何可能世界中都取“真”值。（故不能說永真是一種真，而只能說永真語句是一種真語句）⑤

永真析取式是說它的析取支無論在任何情形（任何可能世界）都至少一真，但不是至少一“永真”。請考慮：

A∨非A 肯定永真，只能得出析取支必至少一“真”，而得不出至少一“永真”。

馬：我也懷疑“永真是一種真”有問題，但不知在什么地方出了問題，您這樣說，我就清楚了。你說“永真語句是一種真語句”，那么下面的推理對嗎？

對于任何析取式而言，如果它是真語句，則它的析取支一定有一個是真語句

永真語句是一種真語句

所以，對于任何析取式而言，如果它是永真語句，則它的析取支一定有一個是永真語句

該推理與下面您認(rèn)為正確的推理有什么不同嗎？

對于任何動物而言，它頭上的毛一定有一個是動物的

馬是動物

所以，對于任何馬而言，它的頭上的毛一定有一個是馬的。

張：馬和動物這個推理有效，是因結(jié)論本身就是邏輯真理（馬的頭上的毛是馬的毛），與馬和動物的種屬關(guān)系無關(guān)。

從種屬關(guān)系立論，從任一永真析取句都是真析取句、任一真析取句的析取支至少一真，只能得一永真析取句的析取支至少一真（不能得永真）。

王路以前主張把truth譯為真而不譯為真理，我一直反對。因為“真”是一個真值，truth（真理）是真命題或真語句，二者不可混為一談。你的討論為此提供了新的佐證⑥。

馬：很贊同您關(guān)于真值和真理的區(qū)分。又有一個問題，是不是我以前沒有注意到？

對于任何動物而言，它頭上的毛一定有一個是動物的

馬是動物

所以，對于任何馬而言，它的頭上的毛一定有一個是馬的。

您是說這是一個有效推理（因為結(jié)論是邏輯真的），但結(jié)論不能從前提中推出來。就是說前提與結(jié)論沒有必然聯(lián)系，對吧？如果是這樣，那對“有效推理”的定義是什么呢？凡結(jié)論為邏輯真的推理都是有效推理？就是說前提與結(jié)論（或者說前件與后件）之間構(gòu)成了一個真的邏輯關(guān)系，但前提不一定能必然推出結(jié)論？就是說不符合推理規(guī)則的推理也可能是有效推理？有效推理與正確推理應(yīng)當(dāng)區(qū)別開來嗎？

張：從有效推理定義說，若前提矛盾或結(jié)論永真就可判定是有效推理，當(dāng)然這種推理乃是“空虛”有效。經(jīng)典邏輯的有效式可寫成永真的實質(zhì)蘊涵式⑦。前提矛盾或后件永真都是永真的實質(zhì)蘊涵式。

正確推理看怎么定義，若我們要求前提一定真，則前提矛盾的必不正確，后一種要看具體情況。

馬：謝謝您幫我澄清概念！我理解的正確推理就是符合推理規(guī)則的推理，這可能是一種傳統(tǒng)邏輯觀念，而不是現(xiàn)代邏輯觀念。

剛剛發(fā)現(xiàn)，就推理規(guī)則而言，關(guān)于馬和動物的推理，從前提確實推不出結(jié)論。

正確的推理：

動物的毛有一個是動物的

馬是動物

所以，馬的毛有一個是動物的

錯誤的推理：

馬的毛有一個是動物的

馬是動物

所以，馬的毛有一個是馬的

通過聯(lián)鎖三段論可以論證。

張：這很對，類似于從馬是動物，可推出所有馬的頭都是動物的頭。

二、馬雷與翟玉章的問答

馬：我們能不能說“A∨B∨C 永真，當(dāng)且僅當(dāng)A∨B 永真或者A∨C 永真”？A、B、C 代表單一命題和代表復(fù)合命題對于這個論斷有區(qū)別嗎？

翟玉章（以下簡稱“翟”）：

很好的問題。答案是肯定的。

這里的A、B、C 可以理解為語句模式，比如“p”,“p 或q”, “如果p,那么q”,“既非p,也非q”等（其中的“p”,“q”是所謂語句模式字母，意思是它們的位置可以為具體的語句所代替）?，F(xiàn)在來表明你的結(jié)論。（1）如果【A或者B】是有效模式（又稱永真式），那么對該模式中模式字母無論用什么語句來代替，所形成的語句都是真的。因此在任何解釋下，不論C是否為真，【A或B或C】也是真的（因為【A或B或C】的真值在【A 或B】為真的情況下即為真），而這正是【A或B或C】為有效模式的含義。（2）同樣可以說明：如果【A或C】是有效模式，那么，【A或B或C】也是有效模式。綜合（1）和（2）可知，【A或B或C】為有效模式的充分條件是【A或B】或【A或C】是有效模式。

現(xiàn)在進一步說明這也是必要條件。如果【A或B或C】為有效模式，那么，在任何解釋下，A,B,C 三者至少之一為真。（1）如果A為真，顯然，【A或B】和【A或C】都為真，既然都為真，則至少之一為真可確保，即【A 或B】為真或【A 或C】為真。（2）如果B 為真，那么【A 或B】為真；既然【A 或B】為真，那么【A 或B】為真或【A 或C】為真。（3）如果C 為真，說明同（2）。綜合（1）、（2）、（3），【A 或B 或C】為有效模式的必要條件是【A或B】或【A或C】是有效模式。

綜合上面兩段，可知結(jié)論成立：A∨B∨C 永真，當(dāng)且僅當(dāng)A∨B永真或者A∨C永真。

以上說明很直觀。只運用了“或者”一詞的含義：“p 或者q”為真當(dāng)且僅當(dāng)“p”為真或“q”為真，以及有效模式（永真式）的定義：一個模式是有效的，當(dāng)且僅當(dāng)無論對該模式中的字母作何解釋，所得到的語句都是真的；比如模式“p或者非p”是一個有效模式，因為無論對“p”作何解釋（無數(shù)種解釋可以歸結(jié)為兩種，即用真語句代替“p”和用假語句代替“p”),得到的語句都是真的，而模式“p或者非q”不是有效模式，因為當(dāng)我們分別用假語句（比如，“中國在美洲”）和真語句（比如，“加拿大在美洲”）來解釋“p”和“q”時，得到的是一個復(fù)合的假語句（比如“中國在美洲或者加拿大不在美洲”）。

另外，再重申一下A,B,C 和“p”,“q”,“r”的區(qū)別。前者可以是復(fù)雜模式，而后者只是模式字母，是最簡單的模式。為什么前者無引號，后者有引號？原因：A,B，C是名詞，是模式的名稱；而p,q,r則是語句模式（當(dāng)然是最簡單的模式），起著語句的作用，但代替這些小寫字母的可以是復(fù)雜的語句。因此，嚴(yán)格說來“A或者B”是不合句法的，因為“或者”聯(lián)結(jié)的是兩個語句，而不是兩個名字。你可能注意到，我使用了“【A或者B】”這樣的表達(dá)式，意思是這個語句是由A和B所代表的語句所形成的復(fù)合句?！皃或者q”是合格的表達(dá)式，因為這里的小寫字母所起的就是語句的作用，而不像A，B 那樣，只是起語句名稱的作用。這里的區(qū)別實際上就是對象和對象的名稱之間的區(qū)別，這在很多情況下是一目了然的，如“北京”和北京的區(qū)別，但在數(shù)學(xué)和邏輯里，這個區(qū)別有時會迷失，一流的邏輯學(xué)家如羅素者都曾經(jīng)有過這樣的混淆。

馬：謝謝你的詳細(xì)分析！我的問題有些歧義，現(xiàn)在改成“A∨B∨C永真，當(dāng)且僅當(dāng)A∨B和A∨C當(dāng)中至少有一個是永真的”。如果這樣表述的話，您還認(rèn)為正確嗎？

翟：仍然正確。

馬：假定A=┐（┐M∨P）；B=┐S∨┐M；C=┐S∨P，則

A∨B=（┐M∧┐P）∨（┐S∨┐M）=（┐S∨M∨┐M）∧（┐S∨┐M∨┐P）。該式不是永真的。

A∨C=┐（┐M∨P)∨(┐S∨P)=（M∧┐P）∨（┐S∨P）=（┐S∨M∨P）∧（S∨P∨┐P）。該式也不是永真的。

A∨B∨C=┐（┐M∨P）∨（┐S∨┐M）∨（┐S∨P）=（M∧┐P）∨（┐S∨┐M）∨（┐S∨P）?=（┐S∨M∨┐M∨P）∧（┐S∨M∨P∨┐P）。該式是永真的。

就是說原等值式不正確。怎么解釋？

翟：第一封回信中關(guān)于必要條件的證明是錯誤的。

現(xiàn)在進一步說明這也是必要條件。如果【A或B或C】為有效模式，那么，在任何解釋下，A, B, C三者至少之一為真。（1）如果A 為真，顯然，【A 或B】和【A 或C】都為真，既然都為真，則至少之一為真可確保，即【A 或B】為真或【A 或C】為真。（2）如果B 為真，那么【A或B】為真；既然【A或B】為真，那么【A或B】為真或【A 或C】為真。（3）如果C 為真，說明同（2）。綜合（1）、（2）、（3），【A 或B 或C】為有效模式的必要條件是【A 或B】或【A 或C】是有效模式。

黑體字之前的論證都是正確的。但黑體字的結(jié)論是錯的。我們只能說， 綜合（1）、（2）、（3），如果【A 或B 或C】是有效模式，那么在任何解釋下，【A或B】和【A 或C】中至少有一個是真的，而這其實只是說【（A或B）或（A或C）】是有效模式。而說【（A或B）或（A 或C）】是有效模式，并不等于說 【A 或B】或【A 或C】是有效模式。簡單的反例是：雖然“p 或非p”是有效模式，但“p”和“非p”都不是有效模式。邏輯上的事情有時很微妙，稍有疏忽就會出錯。我原是一步一步說明的，但最后出現(xiàn)了跳躍，錯誤正出現(xiàn)在此跳躍中。

非常感謝您通過一個反例（即證偽法）糾正我的這一錯誤。

馬：你認(rèn)為下面的推理對不對？

對于任何動物而言，它頭上的毛一定有一個是動物的

馬是動物

所以，對于任何馬而言，它的頭上的毛一定有一個是馬的。

翟：有效推理。從直觀上就很清楚。但我還是將它推導(dǎo)如下。

兩個前提和結(jié)論的同步結(jié)構(gòu)是：

前提一：（x)(Fx→(Ey)(Gyx(Ez)(FzGyz)))

前提二：（x)(Hx→Fx)

結(jié)論：（x)(Hx→(Ey)(Gyx(Ez)(HzGyz)))

Fx:x是動物，Gxy:x是y頭上的毛，Hx:x是馬。

為了表明這是一個有效的推理，只需表明肯定前提而否定結(jié)論會導(dǎo)致矛盾即可。

1.（x）(Fx→(Ey)(Gyx(Ez)(FzGyz)))...前提一

2.（x）(Hx→Fx)...前提二

3.-（x）(Hx→(Ey)(Gyx(Ez)(HzGyz)))...結(jié)論的否定

4.（Ex）-(Hx→(Ey)(Gyx(Ez)(HzGyz)))...3的前置式

5.-（Ha→(Ey)(Gya(Ez)(HzGyz)))...4，特稱例化

6.Ha-(Ey)(Gya(Ez)(HzGyz))...5，真值函項變換

7.Ha...6，合取的性質(zhì)：如果合取為真，那么任一合取肢也為真。

9.-(Ey)(Gya(Ez)(HzGyz))...6，合取的性質(zhì)

10.(y)-(Gya(Ez)(HzGyz))...9的前置式

11.Ha→Fa...2,全稱例化

12.Fa...7,11,肯定前件推理

13.Fa→(Ey)(Gya(Ez)(FzGyz))...1,全稱例化

14.(Ey)(Gya(Ez)(FzGyz))...12、13，肯定前件推理

15.Gba(Ez)(FzGbz)...14,特稱例化

16.Gba...15,合取的性質(zhì)：如果合取為真，那么任一合取支為真。

17.-(Gba(Ez)(HzGbz))...10，全稱例化

18.-Gba∨-(Ez)(HzGbz)...17,真值函項變換（德摩根定律）

19.-Gba∨(z)-(HzGbz))...18,移置律（將析取式后一個析取支實現(xiàn)量詞前置）

20.(z)(-HzGbz∨-Gba)...19,移置律（將整個析取式實現(xiàn)量詞的前置）

21.-HaGba∨-Gba...20，全稱例化

22.-Gba...21,7，真值函項變換

23.Gba-Gba（矛盾）...22、16

馬：你的有效推理的定義是不是這樣：“從有效推理定義說，若前提矛盾或結(jié)論永真就可判定是有效推理，當(dāng)然這種推理乃是‘空虛’有效。經(jīng)典邏輯的有效式可寫成永真的實質(zhì)蘊涵式。前提矛盾或后件永真都是永真的實質(zhì)蘊涵式。”（張建軍語）

我理解的正確推理是符合推理規(guī)則的推理，就是如果前提真，并且符合推理規(guī)則，結(jié)論一定真；如果前提假，并且符合推理規(guī)則，則結(jié)論必然假⑧。

翟：你對我的理解是正確的。但你我之間其實并無分歧。照你的理解，一個推理是有效推理，當(dāng)且僅當(dāng)結(jié)論可以邏輯地從前提中推導(dǎo)出來，或只要前提真，那么結(jié)論就一定真。但我們?nèi)绾闻袛嗄芊襁壿嫷赝茖?dǎo)出來呢，或者如何判斷在前提真的情況下結(jié)論一定真呢？其核心方法仍是判斷由前提作前件而結(jié)論作后件的條件句是否為邏輯真。另外將條件句稱為（實質(zhì)）蘊涵句是不準(zhǔn)確的。蘊涵句是元語言層面的東西，它談的是兩個語句之間的關(guān)系。而條件句一般并不是關(guān)于語句的。當(dāng)然兩者之間有聯(lián)系，具體地說：任何一個條件句都對應(yīng)一個實質(zhì)蘊涵句。舉例：“如果明天天不下雨，我就去爬山”這個條件句如果是真的，那么對應(yīng)的蘊含句也是真的：語句“明天天不下雨”蘊含語句“我明天去爬山”。

馬：我可以通過聯(lián)鎖三段論證明下面的推理無效，就是按照正確規(guī)則從前提推不出結(jié)論。

對于任何動物而言，它頭上的毛一定有一個是動物的

馬是動物

所以，對于任何馬而言，它的頭上的毛一定有一個是馬的。

正確的推理：

動物的毛有一個是動物的

馬是動物

所以，馬的毛有一個是動物的

錯誤的推理：

馬的毛有一個是動物的（把前面的結(jié)論作為大前提）

馬是動物

所以，馬的毛有一個是馬的

翟：“動物的毛有一個是動物的”與你的原先的前提“對于任何動物而言，它頭上的毛一定有一個是動物的”并不是一回事。前者說的是：存在著如此這般的對象，這個東西既是動物的毛，同時又是動物的毛，簡化成：存在著動物的毛。但后者并不蘊含存在著動物的毛這一點，它只是說，任何對象如果是動物，那么將存在著既是它的毛又是動物的毛（這意味著可能是別的動物的毛），這里并沒有說到是否存在著毛的問題，至多只是有條件地肯定存在著這樣的東西。另外，這個推理嚴(yán)格說來并不是三段論推理，因為第一個前提實際上只有一個概念，即“動物的毛”，另外整個推理有四個概念：動物的毛、馬、動物、馬的毛。更重要的是，這并不是一個有效推理。如果你將“馬是動物”替換成“永動機是動物”（這是真的），結(jié)論將是“永動機的毛有一個是動物的”，這說的是存在著既是永動機的毛又是動物的毛的東西，但這樣的東西顯然是不存在的。

馬：“馬是動物”是否等值于“馬的毛是動物的毛”？或“馬的頭上的毛是動物頭上的毛”？

翟：馬是動物：(x)(如果x是馬，那么x是動物）

馬的毛是動物的毛：（x)(如果x是馬的毛，那么x是動物的毛），進一步地：（x)(如果(Ey)(y 是馬而且x是y的毛），那么 (Ey)(y是動物而且x是y的毛))

可以證明，這是一個有效推理。

具體地說，就是要證明體現(xiàn)：“(x)(Fx→Gx)”蘊含“(x)((Ey)(FyDyx→(Ey)(GyDyx))”

類似的推理，16 世紀(jì)的邏輯學(xué)家Joachim Jungius曾經(jīng)考察過，不過他的例子是：

從“圓是圖形”推導(dǎo)出“畫圓的人是畫圖形的人”，這個推理涉及關(guān)系：x畫y。

他還有另外一個例子：從“偶數(shù)的平方是偶數(shù)”和“6 是偶數(shù)”推導(dǎo)出“6 的平方是偶數(shù)”。這看上去極像一個三段論，但事實上并不是。要說明這一推理，要用到關(guān)系：x是y的平方。

同樣，我們也可以從“馬是動物”推出“馬的頭是動物的頭”，再從后者推出“（馬的頭）的毛是（動物的頭）的毛”。

馬：一般人承認(rèn)從“馬是動物”推出“馬的毛是動物的毛”，但沒有說明從“馬的毛是動物的毛”能否推出“馬是動物”。

翟：確實，反過來的推理并不成立。舉例：即使每一個美國人的財產(chǎn)都是中國人的財產(chǎn)，但美國人依然可以不是中國人。

馬：“每一個美國人的財產(chǎn)都是中國人的財產(chǎn)”是什么意思？

“馬的毛是動物的毛”這個意思比較含糊。準(zhǔn)確理解應(yīng)為“馬身上長的毛是動物身上長的毛”，這與“馬所擁有的東西是動物所擁有的東西”（比如“馬的鞍子是動物的鞍子”）是不同的。如果這樣理解，會怎么樣？

翟：每一個美國人的財產(chǎn)是中國人的財產(chǎn)。

（x)(如果x 是美國人的財產(chǎn)，那么x 是中國人的財產(chǎn)）

（x)(如果(Ey)(y 是美國人而且x 是y 的財產(chǎn)），那么(Ey)(y是中國人而且x是y的財產(chǎn)))

你可以看到，這與“（x)(如果(Ey)(y是馬而且x是y 的毛），那么(Ey)(y 是動物而且x 是y 的毛))”（即“馬的毛是動物的毛”），在結(jié)構(gòu)上是一樣的。

你所說的區(qū)別，多數(shù)情況下只是一種修辭上的區(qū)別。你的兩種說法，馬的毛是動物的毛，馬身上長的毛是動物身上長的毛，前者說：和馬發(fā)生某種關(guān)系的事物同時也是和動物發(fā)生同樣關(guān)系（x 是y 的毛）的事物，后者說的也是：和馬發(fā)生關(guān)系的事物同時也是和動物發(fā)生同樣關(guān)系的事物（x 長在y 上）。雖然“x是y的毛”和“x長在y上”的含義并不同，但它們將分別得到同樣的處理。當(dāng)然，如果這兩種關(guān)系發(fā)生在同一個論說中，比如“這雖然是屬于我的毛，但卻不是我身上長著的毛”，將需要用不同的模式字母表示：Fxy而且-Gxy。

馬：我是問“每一個美國人的財產(chǎn)是中國人的財產(chǎn)”的內(nèi)涵是什么？好像美國人是強盜。你對此句的邏輯分析很細(xì)致，推理也對。我的疑惑是：你能舉出反例說明從“X 身上長的Z 是Y 身上長的Z”推不出“X是Y”嗎？

翟：我這個例子也是有感而發(fā)的。現(xiàn)在網(wǎng)上有一種議論，認(rèn)為美國人在發(fā)動一種金融戰(zhàn)爭掠奪中國人的財富！

你讓我舉一個毛的例子，那也能做到的。設(shè)想，人身上并沒有毛，但科學(xué)家經(jīng)過研究認(rèn)為，人身上要是有毛的話，可以防止某種疾病。于是人們紛紛以植入狗毛為榮。于是我們有下面的真前提：人身上長的毛都是狗身上長的毛⑨。但即使如此，人仍然不是狗。

馬：你這個例子好像有些詭辯。你增加了前提。你的推理前提是：

1.人身上植入了狗的毛

2.人身上長的毛都是狗身上長的毛

“人不是狗”的結(jié)論是從兩個前提合推出來的。

翟：我所說的是，從邏輯的角度看，單單從“人身上長的毛是狗身上的毛”是推不出“人是狗”的，就像單單從“美國人的財富是中國人的財富”推不出“美國人是中國人”一樣。結(jié)合到你的例子，你也不能從“馬身上長的毛是動物身上長的毛”推出“馬是動物”一樣，盡管反過來的推理是成立的。

我的意思并不是說從“人身上長的毛是狗身上長的毛”再加上“人身上植入了狗的毛”可以推出“人不是狗”。事實上，這兩個前提并不能推出這一結(jié)論。顯然，第一個前提和第二個前提在邏輯上并無相關(guān)性。“植入”對第一個前提來說完全是一個陌生的詞項。

馬：可能的情況是：假如“人身上長的毛都是狗身上長的毛”真，可以推出“人是狗”真。實際情況是，“人身上長的毛都是狗身上長的毛”是假的（因為毛不可能同時長在人和狗身上），它不能推出“人是狗”真。因為，即使合乎推理規(guī)則，前提錯，結(jié)論一定錯。如果你能舉個前提是真的句子，而合乎規(guī)則地推出假的結(jié)論，我才相信現(xiàn)有的邏輯力量。我總懷疑有些東西，現(xiàn)有的邏輯概括不了。

翟：前提：人的身上覆蓋著的東西都是除人之外的動植物的身上覆蓋的東西（按，實指衣服。但應(yīng)該指出這個前提只在早期農(nóng)業(yè)文明社會中是真的）。

結(jié)論：人是除人之外的動植物。

這大概是合乎你心意的例子了吧。由此例，你一定會更真切地感覺到，從該前提推導(dǎo)出該結(jié)論的規(guī)則（當(dāng)然我不清楚這是什么樣的規(guī)則，但這并不重要）一定是錯的。因為你認(rèn)可正確的規(guī)則能從真前提導(dǎo)致真結(jié)論，但現(xiàn)在卻導(dǎo)致了假結(jié)論，因此規(guī)則一定是錯的。

馬：你舉的例子固然好，但只是一種類型，與“馬的毛是動物的毛”是不一樣的。我們現(xiàn)在使用的邏輯是蘊涵式命題邏輯或講普遍與特殊關(guān)系的詞項邏輯?，F(xiàn)在遇到的問題是，里面有個整體與部分的關(guān)系?！懊笔恰榜R”的一部分，也是某個動物的一部分。這個關(guān)系，現(xiàn)在的邏輯怎么概括？你要是舉反例，也應(yīng)該是我講的這個類型。

翟：我知道你的意思。你的區(qū)別在邏輯上是可以得到處理的。任何無毛的東西都不是馬（毛是馬的不可侵害的一部分），但卻存在著不穿衣服的人（衣服不是人的不可分割的一部分），用符號化的語言表示就是：

(x)(如果x沒有毛，那么x不是馬），

（Ex）(x沒有衣服而且x是人）。

三、馬雷與杜國平的問答

馬：我們能不能說“A∨B∨C 永真，當(dāng)且僅當(dāng)A∨B 永真或者A∨C 永真”？A、B、C 代表單一命題和代表復(fù)合命題對于這個論斷有區(qū)別嗎？

杜國平（以下簡稱“杜”）：

“A∨B∨C永真，當(dāng)且僅當(dāng)A∨B永真或者A∨C永真。”這是不正確的。舉一例即可證明：p∨q∨非q 永真，但是p∨q 不永真，p∨非q 也不永真。A、B、C代表單一命題和代表復(fù)合命題對于這個論斷沒有區(qū)別。

馬：你認(rèn)為下面的推理對不對？

對于任何動物而言，它頭上的毛一定有一個是動物的

馬是動物

所以，對于任何馬而言，它的頭上的毛一定有一個是馬的。

杜：這個推理可能應(yīng)該問題不大，但是如果嚴(yán)格表述的話，最好是：

對于任何動物而言，如果它頭上有毛，那么它頭上的毛一定有一個是動物的；

馬是動物；

所以，對于任何馬而言，如果它頭上有毛，那么它頭上的毛一定有一個是馬的

馬：對于任何動物而言，如果它頭上有毛，則它頭上的毛一定有一個是動物的

馬是動物

所以，對于任何馬而言，如果它頭上有毛，則它的頭上的毛一定有一個是馬的。

對于任何真的析取式而言，如果它有析取支，則它的析取支一定有一個是真的

永真是一種真

所以，對于任何永真的析取式而言，如果它有析取支，則它的析取支一定有一個是永真的。

后一個推理與前一個推理是一樣的，為什么它的結(jié)論是錯的？

杜：這個問題比較復(fù)雜。第一，“對于任何動物而言，如果它頭上有毛，則它頭上的毛一定有一個是動物的；馬是動物；所以，對于任何馬而言，如果它頭上有毛，則它的頭上的毛一定有一個是馬的?！边@是一個自然語言中的有效推理式。它的有效性還依賴于一些沒有列出來的常識判斷，例如“動物的頭是動物的一個部分”等。這也是通常所說的預(yù)設(shè)。而后一個推理則純粹是構(gòu)造的，它是否有效只能根據(jù)純粹的形式。第二，后一個推理的前提“永真是一種真”在邏輯上是不正確的，“真”是一個語義指派的情況，而“永真”是所有語義指派下的情況。

馬：你說得有道理。但玉章證明下面的推理是有效推理。他證明錯了嗎？

對于任何動物而言，它的頭上的毛是動物的

馬是動物

所以，對于任何馬而言，它的頭上的毛是馬的

“有效推理。從直觀上就很清楚。但我還是將它推導(dǎo)如下。

兩個前提和結(jié)論的同步結(jié)構(gòu)是：

前提一：（x)(Fx→(Ey)(Gyx(Ez)(FzGyz)))

前提二：（x)(Hx→Fx)

結(jié)論：（x)(Hx→(Ey)(Gyx(Ez)(HzGyz)))

Fx:x是動物，Gxy:x是y頭上的毛，Hx:x是馬。

為了表明這是一個有效的推理，只需表明肯定前提而否定結(jié)論會導(dǎo)致矛盾即可。

1.（x）(Fx→(Ey)(Gyx(Ez)(FzGyz)))...前提一

2.（x）(Hx→Fx)...前提二

3.-（x）(Hx→(Ey)(Gyx(Ez)(HzGyz)))...結(jié)論的否定

4.（Ex）-(Hx→(Ey)(Gyx(Ez)(HzGyz)))...3的前置式

5.-（Ha→(Ey)(Gya(Ez)(HzGyz)))...4，特稱例化

6.Ha-(Ey)(Gya(Ez)(HzGyz))...5，真值函項變換

7.Ha...6，合取的性質(zhì)：如果合取為真，那么任一合取肢也為真。

9.-(Ey)(Gya(Ez)(HzGyz))...6，合取的性質(zhì)

10.(y)-(Gya(Ez)(HzGyz))...9的前置式

11.Ha→Fa...2,全稱例化

12.Fa...7,11,肯定前件推理

13.Fa→(Ey)(Gya(Ez)(FzGyz))...1,全稱例化

14.(Ey)(Gya(Ez)(FzGyz))...12、13，肯定前件推理

15.Gba(Ez)(FzGbz)...14,特稱例化

16.Gba...15,合取的性質(zhì)：如果合取為真，那么任一合取肢為真。

17.-(Gba(Ez)(HzGbz))...10，全稱例化

18.-Gba∨-(Ez)(HzGbz)...17，真值函項變換（德摩根定律）

19.-Gba∨(z)-(HzGbz))...18,移置律（將析取式后一個析取枝實現(xiàn)量詞前置）

20.(z)(-HzGbz∨-Gba)...19,移置律（將整個析取式實現(xiàn)量詞的前置）

21.-HaGba∨-Gba...20，全稱例化

22.-Gba...21, 7，真值函項變換

23.Gba-Gba（矛盾）...22、16”

杜：1.你開始的問題是：“對于任何動物而言，如果它頭上有毛，則它頭上的毛一定有一個是動物的，馬是動物，所以，對于任何馬而言，如果它頭上有毛，則它的頭上的毛一定有一個是馬的?！焙髞斫o出的證明是：“對于任何動物而言，它的頭上的毛是動物的，馬是動物，所以，對于任何馬而言，它的頭上的毛是馬的?！边@兩者的表述是不同的。

2.“（x)(Fx→(Ey)(Gyx(Ez)(FzGyz)))”錄入可能有誤，缺少連接詞⑩；

3.你給出的形式證明我不知道是哪里給出的，應(yīng)該問題不大，但是已經(jīng)對自然語言的意思進行了某些修正。證明應(yīng)該沒有什么問題。符號可能有誤。

馬：“馬是動物”是否等值于“馬的毛是動物的毛”？或“馬的頭上的毛是動物頭上的毛”？

1.存在一根毛，如果它是動物頭上的毛，則它是動物的毛

馬頭上的毛是動物頭上的毛

所以，存在一根毛，如果它是馬頭上的毛，則它是動物的毛

2.存在一根毛，如果它是馬頭上的毛，則它是動物的毛

馬的毛的動物的毛

所以，存在一根毛，如果它是馬頭上的毛，則它是馬的毛

3.對所有毛而言，如果它是動物頭上的毛，則它是動物的毛

馬頭上的毛是動物頭上的毛

所以，對所有毛而言，如果它是馬頭上的毛，則它是動物的毛

4.對所有毛而言，如果它是馬頭上的毛，則它是動物的毛

馬的毛是動物的毛

所以，對所有毛而言，如果它是馬頭上的毛，則它是馬的毛

你認(rèn)為這四個推理式都有效嗎？

杜：“馬是動物”肯定不等值于“馬的毛是動物的毛”，也不等值于“馬的頭上的毛是動物頭上的毛”。準(zhǔn)確地說，這三者都相互不等值。

1.存在一根毛，如果它是動物頭上的毛，則它是動物的毛

馬頭上的毛是動物頭上的毛

所以，存在一根毛，如果它是馬頭上的毛，則它是動物的毛

有效。

2.存在一根毛，如果它是馬頭上的毛，則它是動物的毛

馬的毛是動物的毛

所以，存在一根毛，如果它是馬頭上的毛，則它是馬的毛

不有效。

3.對所有毛而言，如果它是動物頭上的毛，則它是動物的毛

馬頭上的毛是動物頭上的毛

所以，對所有毛而言，如果它是馬頭上的毛，則它是動物的毛

有效。

4.對所有毛而言，如果它是馬頭上的毛，則它是動物的毛

馬的毛是動物的毛

所以，對所有毛而言，如果它是馬頭上的毛，則它是馬的毛

不有效。

馬：如果“馬是動物”等值于“馬的毛是動物的毛”，也等值于“馬身上長的毛是動物身上長的毛”，則推理

動物的毛有一個是動物的

馬是動物

所以，馬的毛有一個是動物的

馬的毛有一個是動物的

馬是動物

所以，馬的毛有一個是馬的

就可以分別精確表達(dá)為

存在一根毛，如果它是動物頭上的毛，則它是動物的毛

馬頭上的毛是動物頭上的毛

所以，存在一根毛，如果它是馬頭上的毛，則它是動物的毛

（你認(rèn)為有效）

存在一根毛，如果它是馬頭上的毛，則它是動物的毛

馬的毛是動物的毛

所以，存在一根毛，如果它是馬頭上的毛，則它是馬的毛

（你認(rèn)為不有效）

這樣就可以理解從“動物的毛有一個是動物的”推不出“馬的毛有一個是馬的”。

你說，“馬是動物”肯定不等值于“馬的毛是動物的毛”。你能不能找到反例？“馬的毛是動物的毛”意思是說“馬身上長的毛是動物身上長的毛”（區(qū)別與“馬擁有的東西是動物擁有的東西”這個意思，比如“馬的衣服是動物的衣服”）。一般認(rèn)為，從“馬是動物”能推出“馬的毛是動物的毛”。但反過來為什么就不能？

杜：馬的主人是牛的主人，但是馬不是牛。

馬：你這個反例太好了！但我說的是：X身上長的M是Y身上長的M，能不能推出X是Y？

杜：要反駁“X 身上長的M 是Y 身上長的M，推出X 是Y”，只需要舉一個反例即可，不管這個反例多么特殊。

對于連體雙胞胎（共用一只耳朵，記為A器官），X身上長的A器官是Y身上長的A器官，由此不能推出X是Y，因為X和Y是雙胞胎，但不是一個人。

馬：我疑惑的是，當(dāng)一個東西同時長在所謂“兩個”對象的身上時，其實這“兩個”對象就不存在了，只能說是“一個”連接體。我們一般習(xí)慣于把連體雙胞胎看成兩個對象，其實只是一個連體胎。我們不能說“雙頭人”是兩個人，也不能說不是兩個人，只能說是一個連體人。正因為如此，這類人在身份認(rèn)證、生活習(xí)慣、結(jié)婚生子等方面都與常人不同。如果是兩個人，就不會出現(xiàn)這個情況了。

如果X 和Y 是一個對象或一類對象，從“X 身上長的M是Y身上長的M“可以推出“X是Y”。

注釋：

①姓名以最先發(fā)出郵件的時間排序。就問答形式和內(nèi)容而言，排名不分先后，每位問答者都應(yīng)視為并列的第一作者。在問答和注釋中，專家姓名以姓氏表示。

②翟后來通過郵件就黑體部分批注說：“回答非常好！”

③格·克勞斯著《形式邏輯導(dǎo)論》，金培文、康宏逵譯，上海人民出版社1981年版。

④翟后來通過郵件就黑體部分批注說：“永真”和“真”確實是兩個不同的概念。前者的適用對象是模式，可稱為“永真式”（或有效模式）：一個模式是永真的，當(dāng)且僅當(dāng)該模式的所有替換例都是真的；后者適用對象是語句，可稱為“真語句”，但真語句中有一類可稱為永真句。我記得和你說過，“永真句”中的“永真”是個派生的概念：一個語句是永真的，當(dāng)且僅當(dāng)該語句是某個永真式的替換例。在奎因的書里，永真式和永真句分別被稱為有效模式和邏輯真?？虻男g(shù)語是更好的。永真句這個概念有誤導(dǎo)性，仿佛有些語句是永遠(yuǎn)真的，另一些語句則有時真有時假，但事實上，除了所謂場合句（比如“這里有許多人”）外，語句的真值是恒定的。

⑤翟后來通過郵件就黑體部分批注說：我上面的解說要比這清楚些。特別是，為了說清楚有效模式、邏輯真這些概念，無須節(jié)外生枝地使用有爭議的“可能世界”概念?！翱赡苁澜纭弊鳛橐粋€比喻的說法是很形象的，但卻是一個不具解釋力的概念，它比要解釋的概念“邏輯真”來，并不更清楚些。（張又對此批注：玉章對“可能世界”的疑慮，可能是受奎因的影響。但多年研究已表明，“邏輯真理”至少不比“可能世界”更容易澄清，而我認(rèn)為反過來倒更為可行。要解決條件句疑難等古老而常新的難題，是繞不開可能世界語義學(xué)的。）

⑥翟后來通過郵件就黑體部分批注說：我也反對王路的做法，但理由有所不同。在張看來王是把概念弄錯了，而在我看來王是小題大做。真就是真理，兩者的本意都是指真語句?！坝勒媸健敝械摹罢妗笔且粋€派生的概念：永真式就是所有替換例都為真語句的模式。（張又對此批注：王路的出發(fā)點是區(qū)分認(rèn)識論的truth 概念和語義學(xué)的truth 概念，這是有道理的；然而，這種區(qū)分應(yīng)是對同一種對象的不同把握，否則就難以說清語義學(xué)對認(rèn)識論的貢獻了。從經(jīng)典語義學(xué)看，truth 有無窮多，而真值只有兩個真與假；truth 就是“為真的東西”，若直接譯為“真語句”“真命題”或“真陳述”，那都是假定了一種關(guān)于真值載體的哲學(xué)觀點，故還是譯為“真理”為好。）

⑦翟后來通過郵件就黑體部分批注說：條件式。當(dāng)然，每一個條件句都對應(yīng)一個實質(zhì)蘊含句。而邏輯真的條件句則對應(yīng)一個嚴(yán)格蘊含句。

⑧張后來通過郵件針對這一點發(fā)表如下看法：有一個地方請注意，你在與玉章的討論中說：符合推理規(guī)則的推理，就是如果前提真，并且符合推理規(guī)則，結(jié)論一定真；如果前提假，并且符合推理規(guī)則，則結(jié)論必然假。

其中分號后的一句話要去掉，前提假、符合推理規(guī)則，結(jié)論真的事例很多；有效演繹前提到結(jié)論保真，但并不保假。

玉章說要區(qū)分條件句和蘊涵句，這是很有啟發(fā)的；條件句和蘊涵句同義在學(xué)界約定俗成，但這種用法的確造成了很多問題。

我今年在《學(xué)術(shù)研究》發(fā)表了一篇關(guān)于蘊涵問題的論文，因涉及量化，可能對你的著作中有關(guān)問題的研究有用，寄上供參考。蘊涵問題我考慮了整30年，終于在2010年徹底想通，最近要發(fā)系列論文。這是應(yīng)《學(xué)術(shù)研究》約稿寫的第一篇。（指《從形式蘊涵看“實質(zhì)蘊涵怪論”》，載《學(xué)術(shù)研究》2012年第4期——馬雷注）

⑨翟后來通過郵件就黑體部分作出評注：嚴(yán)格說來，這里對假定條件的概括是錯誤的。正確的概括是：人身上植入的毛（曾經(jīng)）是狗身上長的毛。但這樣一來，這就不再是一個反例了。我舉的另外兩例確實是反例，但相比而言，杜在和你的對話中所舉的反例才是一個既直觀又自然的好例子。

⑩翟后來通過郵件就黑體部分作出批注：就像代數(shù)中的乘法符號可以被省略一樣。同樣，在邏輯中，合取的符號也可被省略。這個式子相當(dāng)于：（x)(Fx→（Ey)(Gyx∧(Ez)(Fz∧Gyz)))