基于指數(shù)效用函數(shù)的保險(xiǎn)基金投資決策及保費(fèi)確定

王后春， 崔玉樂(lè)

（安徽建筑大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，合肥 230601）

1 前 言

保險(xiǎn)公司的投資狀況與其經(jīng)營(yíng)效益及穩(wěn)定性高度相關(guān)。事實(shí)上，保險(xiǎn)投資己成為保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)營(yíng)收入的重要源泉。在發(fā)達(dá)國(guó)家，保險(xiǎn)公司的保險(xiǎn)投資收益遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其真接的承保收益。保險(xiǎn)投資是現(xiàn)代保險(xiǎn)業(yè)得以生存和發(fā)展的重要支柱，它不僅可以提高公司的競(jìng)爭(zhēng)地位，還關(guān)系到國(guó)家的經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定。保險(xiǎn)公司的償付能力和效益最終取決于其投資收益。因此，為適應(yīng)保險(xiǎn)市場(chǎng)的發(fā)展，研究保險(xiǎn)投資以及在此基礎(chǔ)上的保險(xiǎn)定價(jià)等問(wèn)題已成為當(dāng)前的一項(xiàng)重要課題。

隨著保險(xiǎn)公司運(yùn)作限制的放寬，保險(xiǎn)公司可同時(shí)開(kāi)展包括證券、貨幣、保險(xiǎn)等在內(nèi)的多個(gè)市場(chǎng)的業(yè)務(wù)，保險(xiǎn)公司在各市場(chǎng)的資產(chǎn)配置直接影響公司的收益與風(fēng)險(xiǎn)。有關(guān)保險(xiǎn)公司的投資策略選擇問(wèn)題，已經(jīng)引起了眾多學(xué)者的關(guān)注。目前，該類(lèi)問(wèn)題主要集中在對(duì)不同的盈余過(guò)程和不同的目標(biāo)函數(shù)下，利用隨機(jī)控制理論中的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法尋找最優(yōu)的投資策略和再保策略。如在保險(xiǎn)公司盈余過(guò)程近似為擴(kuò)散過(guò)程，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)情形下，Browne（1995）研究了破產(chǎn)概率最小和期望終值效用最大這兩種情況下保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資策略選擇問(wèn)題［1］。在經(jīng)典的復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型下，就風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的情形，Hipp ＆Plum（2000）在理賠分布服從指數(shù)分布情形下獲得了破產(chǎn)概率最小化目標(biāo)下的最 優(yōu) 投 資 策略的 顯 式 解［2］；Schmidli（2001，2002）研究了最優(yōu)比例再保策略和投資策略的選擇問(wèn)題，證明了在破產(chǎn)概率最小時(shí)對(duì)應(yīng)HJB方程解的存在性和最優(yōu)性，但并沒(méi)給出具體解的形式［3－4］。Yang ＆ Zhang（2005）考慮了保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程為跳躍擴(kuò)散模型，保險(xiǎn)公司允許資金投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情況下，在期望終值效用最大目標(biāo)下給出了保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資策略，獲得了破產(chǎn)概率最小時(shí)對(duì)應(yīng)的HJB方程［5］。Wang（2007）討論了未來(lái)某時(shí)刻使得保險(xiǎn)公司責(zé)任準(zhǔn)備金的指數(shù)效用最大化的最優(yōu)投資策略［6］。國(guó)內(nèi)學(xué)者劉潔等人（2013）通過(guò)對(duì)經(jīng)典的復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型的連續(xù)擴(kuò)散近似，利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理分別得出了在破產(chǎn)概率最小和終值期望效用最大兩種目標(biāo)函數(shù)下，保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資和最優(yōu)再保策略的顯式解和對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，并對(duì)兩種目標(biāo)函數(shù)下的最優(yōu)策略做了比較研究［7］。姚海祥等人（2013）在金融市場(chǎng)僅存在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情況下研究了投資終止時(shí)間不確定且?guī)в型ㄘ浥蛎浻绊懙淖顑?yōu)投資組合選擇問(wèn)題［8］。

縱觀(guān)現(xiàn)有關(guān)于保險(xiǎn)投資策略的文獻(xiàn)，沒(méi)有考慮保險(xiǎn)公司在承保期的期初一次性收取保費(fèi)這一現(xiàn)實(shí)情況，也沒(méi)有考慮保費(fèi)確定即保險(xiǎn)定價(jià)問(wèn)題。不同于姚海祥等人（2013）、劉潔等人（2013）、Wang（2007）提出的保險(xiǎn)公司以常數(shù)保費(fèi)率連續(xù)收取保費(fèi)的情形，本文擬假定保險(xiǎn)公司在一個(gè)承保周期的期初一次性收取保費(fèi)，且假定保險(xiǎn)公司盈余全部投資于一類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（股票）和一類(lèi)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（債券），風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，索賠總量服從復(fù)合泊松過(guò)程。就這種跳躍擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型的情形，本文采用指數(shù)效用函數(shù)，在期望終期財(cái)富指數(shù)效用最大化目標(biāo)下，利用隨機(jī)控制原理，通過(guò)求解HJB方程，獲得最優(yōu)投資策略的解析形式。根據(jù)相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，在保險(xiǎn)公司是風(fēng)險(xiǎn)中性的假設(shè)下，給出期初躉繳保費(fèi)計(jì)算公式。

2 跳躍擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型

首先建立投資影響下保險(xiǎn)公司盈余過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。

設(shè)本文所涉及的隨機(jī)變量和隨機(jī)過(guò)程都定義在完備化的概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上。

考慮一個(gè)僅有兩類(lèi)資產(chǎn)的金融市場(chǎng)，其中一類(lèi)是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，另一類(lèi)是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程｛Lt，0≤t≤T｝滿(mǎn)足

其中Wt是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，μ，σ均為正常數(shù)，分別表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率和收益波動(dòng)率。

飯店的發(fā)展離不開(kāi)有專(zhuān)業(yè)知識(shí)的人才，酒店的經(jīng)營(yíng)理念從過(guò)去的“顧客第一、顧客是上帝”轉(zhuǎn)變?yōu)椤邦櫩偷谝?，員工第一”，萬(wàn)豪酒店集團(tuán)早就提出“沒(méi)有滿(mǎn)意的員工就沒(méi)有滿(mǎn)意的顧客”，要關(guān)注員工，要讓員工滿(mǎn)意，在酒店工作有種歸屬感，保障員工的福利，這樣才有充分挖掘員工的潛能，在員工實(shí)現(xiàn)自身的人生價(jià)值的同時(shí)，為酒店做出更大的貢獻(xiàn)。

記保險(xiǎn)公司在時(shí)刻t的盈余為Ut。為增加收益，保險(xiǎn)公司計(jì)劃對(duì)時(shí)刻t的盈余Ut進(jìn)行兩類(lèi)投資:投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的資金為πt，投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的資金為Ut－πt。則保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程｛Ut，0≤t≤T｝滿(mǎn)足

其中r≥0表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。

3 最優(yōu)投資策略及保費(fèi)公式

下面的研究不考慮交易費(fèi)、稅收和紅利。

考慮到現(xiàn)實(shí)中大部分投資者為風(fēng)險(xiǎn)厭惡型投資者，本文采用指數(shù)效用函數(shù)u（v）＝－e－qv作為保險(xiǎn)公司的效用函數(shù)，其中正常數(shù)q稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)厭惡因子。

在跳躍擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型（1）下，保險(xiǎn)公司希望通過(guò)最優(yōu)投資策略π＊t來(lái)追求期望終期財(cái)富指數(shù)效用最大化。為此，定義索賠總量過(guò)程｛St，0≤t≤T｝下的值函數(shù)

值函數(shù)M（x，t；S）表示t時(shí)刻保險(xiǎn)公司的盈余為x條件下保險(xiǎn)公司期望終期財(cái)富指數(shù)效用的最大值。

定理 在跳躍擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型（1）下，設(shè)值函數(shù)M（x，t；S）關(guān)于t一次可微，關(guān)于x二次可微。若t時(shí)刻保險(xiǎn)公司的盈余為x，則期望終期財(cái)富指數(shù)效用最大化目標(biāo)下保險(xiǎn)公司最優(yōu)投資策略為

結(jié)合（2）和（5），由伊藤公式及動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理得值函數(shù)M（?x，t）滿(mǎn)足如下HJB方程

為解該倒向隨機(jī)微分方程，猜測(cè)它有形如M（?x，t）＝－e－q?xf（t）的解，代入（6）得

解一階微分方程（8）并注意到邊界條件f（T）＝1得

結(jié)合M（?x，t）＝－e－q?xf（t）知（4）成立。

在保險(xiǎn)公司是風(fēng)險(xiǎn)中性的假設(shè)下，期初躉繳保費(fèi)H滿(mǎn)足

即在初始時(shí)刻不收取任何保費(fèi)也不承擔(dān)任何賠付責(zé)任與收取保費(fèi)H因而承擔(dān)賠付責(zé)任這兩種情況下相應(yīng)的最優(yōu)值函數(shù)相等。

由（4）得

由（9），（10），（11）得期初躉繳保費(fèi)為

注1．從式（3）可看出，分配于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資量隨著其收益波動(dòng)率σ的增大而減小，隨著其期望收益率μ的增大而增大，隨著保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)厭惡因子q的增大而減小，隨著無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r的增大而減小。同時(shí)，最優(yōu)投資策略對(duì)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率非常敏感，一旦利率調(diào)整，保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資策略就會(huì)作較大的調(diào)整。

注2．在保險(xiǎn)公司是風(fēng)險(xiǎn)中性的假設(shè)下，期初躉繳保費(fèi)H獨(dú)立于初始盈余ω以及μ，σ，且是一個(gè)投資期［0，T］內(nèi)索賠總量的確定性等價(jià)值的折現(xiàn)值。

在式（12）中，令r＝0得H＝h，故H是保險(xiǎn)公司在無(wú)任何投資情況下的期初躉繳保費(fèi)h的推廣。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文打破保險(xiǎn)公司以常數(shù)保費(fèi)率連續(xù)收取保費(fèi)的局限，研究保費(fèi)在一個(gè)承保周期的期初躉繳時(shí)，公司的盈余過(guò)程為跳躍擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型的情形下保險(xiǎn)人的最優(yōu)投資策略選擇及保費(fèi)確定問(wèn)題。運(yùn)用最優(yōu)控制原理得到了保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資策略和最大化期望終期財(cái)富指數(shù)效用的解析表達(dá)式，同時(shí)對(duì)最優(yōu)投資策略和有關(guān)參數(shù)的關(guān)系進(jìn)行了簡(jiǎn)單分析。在此基礎(chǔ)上給出風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)下保險(xiǎn)公司期初躉繳保費(fèi)的計(jì)算公式。本文對(duì)保險(xiǎn)人的投資運(yùn)作及保險(xiǎn)定價(jià)具有指導(dǎo)作用。

進(jìn)一步，本文保費(fèi)的計(jì)算方法也可以應(yīng)用到責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算。此外，本文模型還可以在其它一些方面進(jìn)行拓展，如保險(xiǎn)公司以變量保費(fèi)率連續(xù)收取保費(fèi)，以及分期收取保費(fèi)等情形，今后將深入研究。

1 Browne S．Optimal investment policies for a firm with random risk process:Exponential utility and minimizing the probability of ruin［J］．Mathematics of Operations Research，1995，20（4）:937－958．

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8 姚海祥，伍慧玲，曾 燕．不確定終止時(shí)間和通貨膨脹影響下風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最優(yōu)投資策略［J］．系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2013，33（1）:1－11．

9 林元烈．應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程［M］．北京:清華大學(xué)出版社，2002．