約束條件下大小膠球尺寸比值對(duì)排空作用的研究

鄧元祥

(湖南工學(xué)院數(shù)理教學(xué)部，湖南衡陽(yáng)421002)

0 引言

膠球間的排空作用是目前學(xué)術(shù)界炙手可熱的研究問(wèn)題之一.Asakura和Oosawa最早提出了排空作用這個(gè)概念，他們認(rèn)為在小粒子的流體中大粒子之間存在排空作用［1］.近些年來(lái)，隨著對(duì)該課題的深入研究，已經(jīng)通過(guò)理論分析、實(shí)驗(yàn)測(cè)試以及計(jì)算機(jī)模擬等手段，獲得了許多有關(guān)排空作用的性質(zhì)和特征信息.其中，對(duì)無(wú)約束條件下大膠球間的排空作用的信息較為全面，但是對(duì)幾何約束下排空作用的認(rèn)識(shí)還剛剛起步.顯然，幾何約束的情形是多種多樣的，因此約束條件下的排空作用也與實(shí)際應(yīng)用有著更為廣泛的聯(lián)系，因而需要更為詳細(xì)的研究.目前，人們已經(jīng)研究了單邊硬板限制時(shí)大膠球的排空作用［2-3］，同時(shí)，在曲面限制時(shí)大膠球的排空作用也有相關(guān)的報(bào)道［4-6］.我們自己研究了在非約束情形下大小膠球不同尺寸比的排空作用［7］，本文在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究在有兩塊平行硬板限制時(shí)，隨著大小粒子半徑比值發(fā)生改變，對(duì)大粒子之間的排空作用進(jìn)行研究，即主要考慮在限定尺寸范圍內(nèi)的粒子尺寸的變化對(duì)排空作用的影響.

1 模型及計(jì)算方法

根據(jù)自由能差的公式

式中 β=(kβT)-1，kβ是波爾茨曼常數(shù)，T 為溫度.加入權(quán)重函數(shù)W(r)，兩個(gè)系統(tǒng)配分函數(shù)［11］比值可以寫(xiě)成

式中r表示體系中膠球的坐標(biāo)，下標(biāo)0、1分別表示V0、V1體系的統(tǒng)計(jì)平均.權(quán)重函數(shù)可以寫(xiě)成如下簡(jiǎn)潔的形式

式中n0和n1是兩個(gè)待定常數(shù).將(3)式代人(2)式中，式(2)寫(xiě)為

上式中f(x)=［1+exp(x)］-1是費(fèi)米函數(shù)，C是常量.對(duì)于硬球勢(shì)或近似硬球勢(shì)，取C=0，聯(lián)合(1)式可以得到

代入相關(guān)參數(shù)，可以計(jì)算出系統(tǒng)的排空勢(shì)和排空力［5］.

2 計(jì)算結(jié)果與討論

本工作采用Monte Carlo方法和接受率方法對(duì)模型進(jìn)行了計(jì)算機(jī)模擬研究，為了便于結(jié)果的對(duì)比，本文所考慮的系統(tǒng)參數(shù)與文獻(xiàn)［7］中無(wú)約束情形的參數(shù)完全一樣，因此，在本文中考慮體積分?jǐn)?shù)為 η=0.1，0.2的兩種系統(tǒng)，每一個(gè)系統(tǒng)大小膠球的半徑比值為 R/r=1，3，5，7，為了突出顯示大小膠球的半徑比值不同時(shí)的排空作用，當(dāng)R/r=1 時(shí)，取 Lx=12r，當(dāng) R/r=3，5，7時(shí)，Lx取 Lx=12r，20r，28r.同時(shí)，為了確保模型有足夠大的空間，每一種膠球系統(tǒng)，取Lz=38r，Ly=20r.我們首先確定膠球的初始位置，即給定 η，Lx，Ly，Lz值，然后根據(jù)接受率方法對(duì)小膠球進(jìn)行抽樣處理［12］.其中，在方向上，確定邊界條件為，一旦小膠球跑出邊界，即讓它回到原來(lái)的位置;在Ly，Lz方向上，我們就采用周期邊界條件，這就是約束條件下膠球間的排空作用系統(tǒng).在計(jì)算過(guò)程當(dāng)中，小膠球的移動(dòng)接受率參數(shù)區(qū)間為:0.3～0.5;同時(shí)，為了使系統(tǒng)在計(jì)算時(shí)達(dá)到平衡，蒙特卡羅步取為:1.0×105個(gè)，為了能夠完整收集數(shù)據(jù)，蒙特卡羅步取為:3.0×105個(gè).

圖1 兩種體積分?jǐn)?shù)情況下的排空勢(shì)結(jié)果Fig.1 Depletion potential results of two volume fraction situations

圖2 兩種體積分?jǐn)?shù)情況下的排空力結(jié)果Fig.2 Depletion force results of two volume fraction situations

對(duì)于 η=0.1，0.2 兩種體積分?jǐn)?shù)情況下的排空勢(shì)與排空力結(jié)果見(jiàn)圖1、2.圖示中排空勢(shì)、排空力的單位分別為 KBT，πRρKBT，其中ρ是數(shù)密度，橫坐標(biāo)的單位取2r(r為小膠球的半徑);其中，長(zhǎng)虛線、點(diǎn)線、實(shí)線和短虛線分別表示大小膠球半徑為R/r=1，3，5，7 時(shí)系統(tǒng)的排空作用.通過(guò)圖 1(a)、圖2(a)可知，當(dāng)體積分?jǐn)?shù)η=0.1時(shí)，大膠球間的排空勢(shì)和排空力隨著大小膠球半徑比值增加而增大;同時(shí)，通過(guò)圖1(b)、圖2(b)可知，當(dāng)體積分?jǐn)?shù)η=0.2時(shí)也同樣能得到大膠球間的排空勢(shì)和排空力隨著大小膠球半徑比值增加而增大的結(jié)論.與此同時(shí)，通過(guò)對(duì)比圖2(a)、(b)可知，體積分?jǐn)?shù)η=0.2時(shí)，在半徑比相同的情況下大膠球間的排空力明顯大于體積分?jǐn)?shù)η=0.1時(shí)的情形.另外，我們還將文獻(xiàn)［7］無(wú)約束情況下粒子尺寸的變化對(duì)排空作用的結(jié)果也圖示于圖3(a)、(b)中.對(duì)比圖2與圖3，結(jié)果清楚表明，在體積分?jǐn)?shù)相同的情況下，有約束時(shí)大膠球間排空作用大于無(wú)約束的情形.

圖3 無(wú)約束情況下粒子尺寸的變化對(duì)排空作用的結(jié)果Fig.3 Depletion results by the change of particle size in unconstrained situations

3 結(jié)束語(yǔ)

本工作通過(guò)用Monte Carlo方法和接受率方法，對(duì)處于兩塊平行硬板約束時(shí)半徑比值分別為R/r=1，3，5，7等四種情況下的大小膠球系統(tǒng)進(jìn)行了模擬，研究結(jié)果表明，大小膠球的半徑比值對(duì)排空力有很大的影響，在體積分?jǐn)?shù)相同的情況下，大膠球間的排空作用隨著半徑比值增加而增大.此外，通過(guò)與無(wú)約束情況下粒子尺寸的變化對(duì)排空作用的影響相比較，有約束情況下大膠球間排空作用大于無(wú)約束的情形.

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