主成分分析在疾病檢測中的應(yīng)用

劉桃花

(邵陽學(xué)院理學(xué)與信息科學(xué)系，湖南邵陽422000)

0 引言

疾病檢測是人們?nèi)粘＞驮\中很常見且很重要的環(huán)節(jié)，對(duì)于家庭個(gè)人檢測疾病具有顯著意義.其中，肝病檢測是檢查肝臟是否健康的一種方式，如果肝功能出現(xiàn)問題會(huì)影響生活質(zhì)量，一般造成肝功能出現(xiàn)問題的原因有可能是肝病的傳染造成的，也有可能是由于工作壓力過大，沒有很好的休息或者是由于其他疾病引起了暫時(shí)的肝功能造成問題.所以辨別肝功能是不是真正的出現(xiàn)問題還是要有一定的標(biāo)準(zhǔn)，所以就有了肝病檢測指標(biāo).

醫(yī)生對(duì)病人的診斷是靠對(duì)病人觀測若干癥狀后來綜合評(píng)定的.如一個(gè)人發(fā)高燒，醫(yī)生根據(jù)他的體溫高低、白血球數(shù)目及其其他癥狀來判斷它是患感冒、肺炎還是其他疾病.為了使判斷更為準(zhǔn)確可靠，事先應(yīng)有一批經(jīng)專家確診或手術(shù)后經(jīng)病理化驗(yàn)確診的病歷資料，根據(jù)這批資料利用多元統(tǒng)計(jì)方法可建立診斷的準(zhǔn)則(即專家系統(tǒng)).對(duì)來就診的病人，按專家系統(tǒng)的要求，觀測若干項(xiàng)指標(biāo)后，根據(jù)診斷準(zhǔn)則，即作出診斷.

在對(duì)疾病檢驗(yàn)指標(biāo)進(jìn)行分析時(shí)，為了盡可能全面反映評(píng)價(jià)對(duì)象的整體情況，需要選取恰當(dāng)?shù)?、客觀的指標(biāo).在實(shí)際工作中，需要精簡指標(biāo)，將原來的指標(biāo)重新組合成一組相互無關(guān)的綜合指標(biāo)以此來盡可能多地反映原來指標(biāo)信息量，主成分分析為解決此類問題提供了很好的方法.

1 主成分分析原理

1933年，Hotelling提出的主成分分析(Principal Component Analysis)方法正是實(shí)現(xiàn)這一目的的有效途徑之一.主成分分析是考察多個(gè)定量(數(shù)值)變量間相關(guān)性的一種多元統(tǒng)計(jì)方法.它的基本思想是通過降維過程，將多個(gè)相互關(guān)聯(lián)的數(shù)值指標(biāo)轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個(gè)互不相關(guān)的綜合指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)方法，即用較少的指標(biāo)來代替和綜合反映原來較多的信息，這些綜合后的指標(biāo)就是原來多指標(biāo)的主要成分.簡而言之，主成分實(shí)際上就是由原變量X1～Xm線性組合出來的m個(gè)互不相關(guān)、且未丟失任何信息的新變量，也稱為綜合變量.多指標(biāo)的主成分分析常被用來尋找判斷某種事物或現(xiàn)象的綜合指標(biāo)，并給綜合指標(biāo)所蘊(yùn)藏的信息以恰當(dāng)解釋，以便更深刻地揭示事物內(nèi)在的規(guī)律［1-4?.

適合用主成分析方法的數(shù)據(jù)應(yīng)該有如下表格所示的特點(diǎn):

表1 主成分分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)Tab.1 Data structure of principal component analysis

設(shè)數(shù)據(jù)具有表1的結(jié)構(gòu)，且主成分為Z，表達(dá)式如下:

其中Xi為原始變量，xi為Xi的標(biāo)準(zhǔn)化變量(即每個(gè)原始變量減去樣本均數(shù)再除以樣本標(biāo)準(zhǔn)差);bij是線性組合的系數(shù)，稱為因子負(fù)荷量，λi為與第i個(gè)主成分對(duì)應(yīng)的特征值，i，j=1，2，…，m.

求主成分的計(jì)算過程，實(shí)際上就是求上述表達(dá)式因子負(fù)荷量.上面的表達(dá)式是由標(biāo)準(zhǔn)化變量的協(xié)方差矩陣(即相關(guān)矩陣)求特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，其分量為bij，i，j=1，2，…，m，SAS 中直接給出的因子負(fù)荷量與表達(dá)式對(duì)應(yīng).

主成分分析的基本條件與主成分的基本性質(zhì):

原始變量的個(gè)數(shù)為m，則系數(shù)矩陣R就是m階方陣，特征值為λ，求各特征值λi的過程就是求解下列特征方程:|R-λi|=0，此方程的左邊展開后實(shí)際上是一個(gè)λ的m階多項(xiàng)式，其解由大到小依次排列為λ1≥λ2≥…≥λm＞0.主成分分析的基本條件與主成分的基本性質(zhì)可概述如下:

①各主成分之間互不相關(guān)，若原變量服從正態(tài)，則各主成分之間互相獨(dú)立;

②全部m個(gè)主成分所反映的n例樣品的總信息，等于m個(gè)原變量的總信息.信息量的多少，用變量的方差來度量.若將m個(gè)原變量標(biāo)準(zhǔn)化后，每個(gè)變量的方差都為1，故方差之和為m，此時(shí)，求得的m個(gè)主成分的方差之和也為m;

③各主成分的作用大小是 ∶Z1≥Z2≥…≥Zm;

④第 i個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率是(λi/m)×100%;

2 主成分分析在肝病檢測指標(biāo)中的應(yīng)用

以下是某醫(yī)院記錄的100例肝病患者的18項(xiàng)癥狀.這100名患者中，有21名女性，79名男性，其中20歲以下(不包括20歲)有6名，20歲以上且40歲以下(不包括40歲)有36名，40歲以上且60歲以下(不包括60歲)有43名，60歲以上(不包括60歲)有15名.

這18項(xiàng)癥狀分別是:輸血史、低熱(≦38℃)、中高熱(＞38℃)、寒戰(zhàn)、踝部水腫、脛前水腫、下肢水腫、單側(cè)上肢水腫、鞏膜黃染、皮膚黃染、肝掌、蜘蛛痣、皮膚搔癢、咯白痰、咳嗽、咽痛、扁桃體紅、扁桃體腫大，依次用X1至X18表示，其中0表示無該癥狀，1表示有該癥狀.

表2 相關(guān)矩陣的特征值Tab.2 Eigenvalues of the correlation matrix

我們通過SAS軟件［5］對(duì)上述事例進(jìn)行主成分分析，第1部分給出了相關(guān)矩陣的特征值(Eigenvalue)，(文章只給出了前7個(gè)主成分的特征值)特征值越大，它所對(duì)應(yīng)的主成分變量包含的信息就越多.第1個(gè)至第7個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率分別為 38.52%、23.64%、9.56%、7.42%，5.78%、4.43% 和3.68%，最后1列為累計(jì)貢獻(xiàn)率，由此列數(shù)值可知:前7個(gè)主成分就包含了原來18個(gè)指標(biāo)93.00%的信息.

表3 特征向量Tab.3 Eigenvectors

續(xù)表

第2部分給出了特征向量(Eigenvectors)，(文章只列舉了前6個(gè)主成分的特征向量)，據(jù)此可以寫出由標(biāo)準(zhǔn)化變量所表達(dá)的各主成分的關(guān)系式:

在各主成分的表達(dá)式中，各標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)Xi前的系數(shù)與該主成分所對(duì)應(yīng)的特征值之平方根的乘積是該主成分與該指標(biāo)之間的相關(guān)系數(shù)，如∶

系數(shù)的絕對(duì)值越大，說明該主成分受該指標(biāo)的影響也就越大.因此，決定第1主成分Z1大小的主要為 X3和 X4，即中高熱(＞38℃)和寒戰(zhàn);決定第2主成分Z2大小的主要為X5和X7，即踝部水腫和下肢水腫;決定第3主成分Z3大小的主要為X5、X6和X7，即踝部水腫、脛前水腫和下肢水腫AFP;決定第4主成分大小的主要為X1和X9、X15，但作用相反.這可以表明(以專業(yè)知識(shí)為依據(jù)):Z1指向傳單;Z2指向肺炎;Z3指向丙肝;Z4指向急性乙肝，Z5指向心衰，Z6指向慢性乙肝，Z7指向乙肝，其余的貢獻(xiàn)率很小，僅作參考，它可能指向其他肝病，如指向急性肝萎縮.

求出了主成分，并結(jié)合專業(yè)知識(shí)給各主成分所蘊(yùn)藏的信息以恰當(dāng)?shù)慕忉專€應(yīng)該利用它們來判斷樣品的特性，本例可據(jù)肝病患者的4個(gè)主成分值來為判斷肝病類型提供參考.為了求主成分值的方便，可將用標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)表達(dá)的主成分換成用原指標(biāo)表達(dá)的形式.

設(shè)現(xiàn)有一名疾病就診者，測得18項(xiàng)疾病指標(biāo)為:X1=0，X2=1，X3=0，X4=0，X5=0，X6=0，X7=0，X8=0，X9=1，X10=1，X12=1，X13=1，X14=0，X15=0，X16=0，X17=0，X18=0，把它們分別代入Z1至Z18表達(dá)式中計(jì)算得，Z6值最大，即第6主成分的值最大，因此，診斷該病人炎癥類型很可能為慢性乙肝.

3 總結(jié)

本文通過SAS軟件利用主成分分析，得出影響判斷疾病的主要診斷指標(biāo)，尤其是對(duì)肝病診斷，并通過患者的檢測指標(biāo)對(duì)其所患的肝病類型進(jìn)行判斷.我們通過求出主成分，并結(jié)合專業(yè)知識(shí)給各主成分所蘊(yùn)藏的信息以恰當(dāng)?shù)慕忉?，并且利用它們來判斷樣品的特性，?jù)患者的18個(gè)主成分值來為判斷疾病類型提供參考.

可以看出，主成分分析在指標(biāo)體系中其應(yīng)用前景十分廣闊.近年來，主成分分析方法在社會(huì)經(jīng)濟(jì)問題研究中的應(yīng)用越來越多，其應(yīng)用范圍也更加廣泛.因此，我們應(yīng)當(dāng)正確理解和運(yùn)用這種方法，使其發(fā)揮出各自最大的優(yōu)勢，以便于更好地服務(wù)于社會(huì).

［1］胡良平.現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)與SAS應(yīng)用［M］.北京:軍事醫(yī)學(xué)科學(xué)出版社，2000.

［2］高惠璇.應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析［M］.北京:北京大學(xué)出版社，2005.

［3］高惠璇.實(shí)用多元統(tǒng)計(jì)分析［M］.北京:北京大學(xué)出版社，2006.

［4］約翰遜，威克恩.實(shí)用多元統(tǒng)計(jì)分析［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2008.

［5］李東風(fēng).統(tǒng)計(jì)軟件教程［M］.北京:人民郵電出版社，2006.