Matlab在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用研究

尹麗,高輝,萬瑩

摘? 要：線性代數(shù)是工、管、理科各專業(yè)的數(shù)學(xué)必修課，是學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課的數(shù)學(xué)工具，同時(shí)也是研究生入學(xué)必考的科目。把Matlab應(yīng)用到線性代數(shù)的教學(xué)中，在課堂上可以吸引同學(xué)們的注意力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本門課程的熱情，提高教學(xué)效果。學(xué)生們在后續(xù)的專業(yè)課學(xué)習(xí)和工作中可以靈活使用線性代數(shù)這門數(shù)學(xué)工具。筆者結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)踐，舉例說明Matlab在線性代數(shù)教學(xué)中的作用。

關(guān)鍵詞：Matlab應(yīng)用；線性代數(shù)教學(xué)；應(yīng)用研究

中圖分類號(hào)：O151.2?????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1?? 引言（Introduction）

線性代數(shù)是工、管、理科各專業(yè)的數(shù)學(xué)必修課，是學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課的數(shù)學(xué)工具，同時(shí)也是研究生入學(xué)必考的科目。線性代數(shù)這門課程的特點(diǎn)是，以我們學(xué)校為例，工科教學(xué)學(xué)時(shí)只有32學(xué)時(shí)，使用的教材是同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系的第五版的線性代數(shù)，教材中的定義，定理證明抽象，忽略實(shí)用工具運(yùn)用，學(xué)生不易理解。傳統(tǒng)的教學(xué)過程中，涉及的數(shù)據(jù)多，教師在黑板上進(jìn)行大量數(shù)據(jù)的計(jì)算和推導(dǎo)，有部分同學(xué)覺得枯燥無味，容易走神溜號(hào)，這種現(xiàn)象大大降低了教學(xué)效果。

Matlab是英文Matrix Laboratory（矩陣實(shí)驗(yàn)室）的縮寫。Matlab軟件是由美國Mathworks公司開發(fā)的，將計(jì)算、可視化和編程功能集成在非常便于使用的環(huán)境中，是一個(gè)交互式的，以矩陣計(jì)算為基礎(chǔ)的科學(xué)和工程計(jì)算軟件。在歐美高等院校，Matlab已經(jīng)成為線性代數(shù)等高級(jí)課程的基本教學(xué)工具[1]。線性代數(shù)中幾乎所有的運(yùn)算都可以用Matlab簡單的編程實(shí)現(xiàn)[2]。

把Matlab應(yīng)用到線性代數(shù)的教學(xué)中，在課堂上可以吸引同學(xué)們的注意力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本門課程的熱情，提高教學(xué)效果。學(xué)生們在后續(xù)的專業(yè)課學(xué)習(xí)和工作中可以靈活使用線性代數(shù)這門數(shù)學(xué)工具。

2?? Matlab在線性代數(shù)教學(xué)中的作用（The role of

matlab in linear algebra teaching）

筆者結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)踐，舉例說明Matlab在線性代數(shù)教學(xué)中的作用。

作用（1）Matlab計(jì)算功能強(qiáng)大，耗時(shí)短，易于解決線性代數(shù)計(jì)算中的高階問題。

行列式的計(jì)算問題。教師可以先講解行列式傳統(tǒng)的基本算法，2階3階可以用對(duì)角線法則，3階及以上可以轉(zhuǎn)化為上三角行列式，在黑板上手算幾個(gè)低階且基礎(chǔ)的例題，便于學(xué)生們掌握。對(duì)于5階以上的高階行列式轉(zhuǎn)化為上三角行列式的過程中，由于處理的數(shù)據(jù)比較多，容易出錯(cuò)。對(duì)于高階行列式的計(jì)算，教師可以結(jié)合Matlab軟件，在計(jì)算機(jī)上演示，讓學(xué)生學(xué)會(huì)使用命令det（）即可。

例1 求行列式

在Matlab的Command window輸入命令

》

顯示A=

3???? 1??? -1???? 2

-5???? 1???? 3??? -4

2???? 0???? 1??? -1

1??? -5???? 3??? -3

再次輸入》

顯示ans=40??????? 注：算得行列式為40。

同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn)程序運(yùn)行時(shí)間非常短，且不容易出錯(cuò)。

作用（2）Matlab使用起來簡單，操作性強(qiáng)，可檢驗(yàn)線性代數(shù)習(xí)題計(jì)算結(jié)果。

Matlab軟件易于操作，學(xué)生們很容易掌握。線性代數(shù)中行列式、矩陣的乘法、矩陣的逆、矩陣的秩、線性方程組的解、方陣的特征值、特征向量以及方陣的對(duì)角化等多方面的問題涉及的計(jì)算量是非常大的。學(xué)生在課后練習(xí)筆算以后，可以在計(jì)算機(jī)上通過Matlab軟件來驗(yàn)證自己的筆算結(jié)果。讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件來判斷自己不能夠確定的數(shù)學(xué)問題或結(jié)論，或者是檢驗(yàn)自己所進(jìn)行的數(shù)學(xué)運(yùn)算[3]。使現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)運(yùn)算與傳統(tǒng)的筆算集合起來，可以提高學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐能力，為以后專業(yè)課的學(xué)習(xí)和工作中用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問題打下基礎(chǔ)，同時(shí)大幅提升學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)這門課程的熱情。

矩陣的乘法。教師先詳細(xì)介紹傳統(tǒng)的筆算方法。兩矩陣的乘積，首先需要滿足左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)，兩矩陣方可進(jìn)行乘法運(yùn)算。乘積的結(jié)果矩陣，行數(shù)為左矩陣的行數(shù)，列數(shù)為右矩陣的列數(shù)。，矩陣C的元素C為矩陣A的第i行與矩陣B的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積之和，計(jì)算量不小。學(xué)生掌握了矩陣乘法的定義后，教師再介紹使用Matlab軟件，只需先在命令窗口輸入兩矩陣，再用命令A(yù)*B即可。

例2 已知，，求BA、AB。

在Matlab的Command window輸入命令

》；

》；

》C=B*A

顯示? ？？？ Error using==>；mtimes

Inner matrix dimensions must agree??? 注：表明矩陣B*A不成立，不能做乘積。

》D=A*Bendprint

顯示?? D=

9??? -2??? -1

9???? 9??? 11????????? 注：

逆矩陣問題。教師先詳細(xì)介紹傳統(tǒng)的筆算求解方法。傳統(tǒng)求方陣的逆矩陣，首先得判斷該方陣存在逆矩陣與否，如果對(duì)應(yīng)的行列式不為零，方陣存在逆矩陣，否則不存在。筆算求方陣的逆矩陣有兩種，一種是求方陣對(duì)應(yīng)的伴隨矩陣，。另一種方法是利用初等行變換得到。這兩種筆算的方法都非常基礎(chǔ)，計(jì)算量不小。學(xué)生先掌握上述兩種求逆矩陣的筆算法后，教師再介紹使用Matlab軟件，只需先在命令窗口輸入矩陣，再用命令即可。

例3 設(shè)A，，求

。

在Matlab的Command window輸入命令

》；

》

顯示? Warning： Matrix is close to singular or badly scaled??? 注：出現(xiàn)了奇異矩陣，奇異矩陣A不可逆。

》B=；

》

顯示? ans=

6?? 3?? 4

4?? 2?? 3

9?? 4?? 6???????????????? 注：解得B的逆矩陣。

矩陣的秩的問題。教師先詳細(xì)講授傳統(tǒng)方法有兩種：一種是按定義求，求最高階非零子式的階數(shù)；另一種方法是對(duì)矩陣做初等行變換，使矩陣轉(zhuǎn)換成行階梯型矩陣，其中非零行的行數(shù)為矩陣的秩。很明顯兩種傳統(tǒng)方法筆算的計(jì)算量都不小。學(xué)生掌握求秩的傳統(tǒng)算法，教師再介紹使用Matlab軟件，只需先在命令窗口輸入矩陣，再用命令即可。

例4 設(shè)A，求矩陣A的秩。

在Matlab的Command window輸入命令

》；

》

顯示 ans=3???????????? 注：秩為3。

矩陣的特征值與特征向量問題。教師先詳細(xì)介紹傳統(tǒng)方法，首先求得特征多項(xiàng)式的根，由解得對(duì)應(yīng)的特征值；再求所對(duì)應(yīng)的特征向量，由解得，上述兩步涉及求行列式，解線性方程組，計(jì)算量比較大。學(xué)生學(xué)會(huì)特征值，特征向量的筆算求法，教師再介紹使用Matlab軟件，只需先在命令窗口輸入矩陣，再用命令即可，其中對(duì)角陣D的對(duì)角元為矩陣A的特征值，矩陣V的列向量是相應(yīng)的特征向量。

例5 求矩陣A的特征值和特征向量。

在Matlab的Command window輸入命令

》；

》

顯示?? V=

0.7071??? 0.5774??? 0.4082

-0.7071??? 0.5774??? 0.4082

0?? -0.5774??? 0.8165

D=

-1.0000???????? 0???????? 0

0?? -0.0000???????? 0

0???????? 0??? 9.0000

注：特征值-1對(duì)應(yīng)的特征向量為矩陣V的第一列向量，特征值0對(duì)應(yīng)的特征向量為矩陣V的第二列向量，特征值9對(duì)應(yīng)的特征向量為矩陣V的第三列向量。

》

顯示ans =

1.0000??? 2.0000??? 3.0000

2.0000??? 1.0000??? 3.0000

3.0000??? 3.0000??? 6.0000

注：驗(yàn)證了。

3?? 結(jié)論（Conclusion）

Matlab作為一種實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)軟件在線性代數(shù)教學(xué)中發(fā)揮了很好的作用，但是也不能忽視傳統(tǒng)的筆算做題和概念及理論證明。使用Matlab軟件重視實(shí)用性，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)和工作做好準(zhǔn)備，傳統(tǒng)的筆算做題和概念及理論證明培養(yǎng)了學(xué)生邏輯思維，兩者的結(jié)合可以產(chǎn)生創(chuàng)新，大大提高線性代數(shù)的教學(xué)效果，提升學(xué)生動(dòng)腦動(dòng)手能力。

參考文獻(xiàn)（References）

[1] 李秀珍，龐常詞.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2008.

[2] 郭文艷，趙鳳群.數(shù)學(xué)建模及Matlab軟件在矩陣運(yùn)算教學(xué)中的

應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2013，29（4）：87-90.

[3] 尹麗，高勝哲.運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量[J].軟件

工程師，2012，12：34-35.

作者簡介：

尹? 麗（1981-），女，本科，講師.研究領(lǐng)域：基礎(chǔ)教學(xué).

高? 輝（1978-），女，碩士，講師.研究領(lǐng)域：基礎(chǔ)教學(xué).

萬? 瑩（1978-），女，本科，講師.研究領(lǐng)域：基礎(chǔ)教學(xué).endprint

顯示?? D=

9??? -2??? -1

9???? 9??? 11????????? 注：

逆矩陣問題。教師先詳細(xì)介紹傳統(tǒng)的筆算求解方法。傳統(tǒng)求方陣的逆矩陣，首先得判斷該方陣存在逆矩陣與否，如果對(duì)應(yīng)的行列式不為零，方陣存在逆矩陣，否則不存在。筆算求方陣的逆矩陣有兩種，一種是求方陣對(duì)應(yīng)的伴隨矩陣，。另一種方法是利用初等行變換得到。這兩種筆算的方法都非?；A(chǔ)，計(jì)算量不小。學(xué)生先掌握上述兩種求逆矩陣的筆算法后，教師再介紹使用Matlab軟件，只需先在命令窗口輸入矩陣，再用命令即可。

例3 設(shè)A，，求

。

在Matlab的Command window輸入命令

》；

》

顯示? Warning： Matrix is close to singular or badly scaled??? 注：出現(xiàn)了奇異矩陣，奇異矩陣A不可逆。

》B=；

》

顯示? ans=

6?? 3?? 4

4?? 2?? 3

9?? 4?? 6???????????????? 注：解得B的逆矩陣。

矩陣的秩的問題。教師先詳細(xì)講授傳統(tǒng)方法有兩種：一種是按定義求，求最高階非零子式的階數(shù)；另一種方法是對(duì)矩陣做初等行變換，使矩陣轉(zhuǎn)換成行階梯型矩陣，其中非零行的行數(shù)為矩陣的秩。很明顯兩種傳統(tǒng)方法筆算的計(jì)算量都不小。學(xué)生掌握求秩的傳統(tǒng)算法，教師再介紹使用Matlab軟件，只需先在命令窗口輸入矩陣，再用命令即可。

例4 設(shè)A，求矩陣A的秩。

在Matlab的Command window輸入命令

》；

》

顯示 ans=3???????????? 注：秩為3。

矩陣的特征值與特征向量問題。教師先詳細(xì)介紹傳統(tǒng)方法，首先求得特征多項(xiàng)式的根，由解得對(duì)應(yīng)的特征值；再求所對(duì)應(yīng)的特征向量，由解得，上述兩步涉及求行列式，解線性方程組，計(jì)算量比較大。學(xué)生學(xué)會(huì)特征值，特征向量的筆算求法，教師再介紹使用Matlab軟件，只需先在命令窗口輸入矩陣，再用命令即可，其中對(duì)角陣D的對(duì)角元為矩陣A的特征值，矩陣V的列向量是相應(yīng)的特征向量。

例5 求矩陣A的特征值和特征向量。

在Matlab的Command window輸入命令

》；

》

顯示?? V=

0.7071??? 0.5774??? 0.4082

-0.7071??? 0.5774??? 0.4082

0?? -0.5774??? 0.8165

D=

-1.0000???????? 0???????? 0

0?? -0.0000???????? 0

0???????? 0??? 9.0000

注：特征值-1對(duì)應(yīng)的特征向量為矩陣V的第一列向量，特征值0對(duì)應(yīng)的特征向量為矩陣V的第二列向量，特征值9對(duì)應(yīng)的特征向量為矩陣V的第三列向量。

》

顯示ans =

1.0000??? 2.0000??? 3.0000

2.0000??? 1.0000??? 3.0000

3.0000??? 3.0000??? 6.0000

注：驗(yàn)證了。

3?? 結(jié)論（Conclusion）

Matlab作為一種實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)軟件在線性代數(shù)教學(xué)中發(fā)揮了很好的作用，但是也不能忽視傳統(tǒng)的筆算做題和概念及理論證明。使用Matlab軟件重視實(shí)用性，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)和工作做好準(zhǔn)備，傳統(tǒng)的筆算做題和概念及理論證明培養(yǎng)了學(xué)生邏輯思維，兩者的結(jié)合可以產(chǎn)生創(chuàng)新，大大提高線性代數(shù)的教學(xué)效果，提升學(xué)生動(dòng)腦動(dòng)手能力。

參考文獻(xiàn)（References）

[1] 李秀珍，龐常詞.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2008.

[2] 郭文艷，趙鳳群.數(shù)學(xué)建模及Matlab軟件在矩陣運(yùn)算教學(xué)中的

應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2013，29（4）：87-90.

[3] 尹麗，高勝哲.運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量[J].軟件

工程師，2012，12：34-35.

作者簡介：

尹? 麗（1981-），女，本科，講師.研究領(lǐng)域：基礎(chǔ)教學(xué).

高? 輝（1978-），女，碩士，講師.研究領(lǐng)域：基礎(chǔ)教學(xué).

萬? 瑩（1978-），女，本科，講師.研究領(lǐng)域：基礎(chǔ)教學(xué).endprint

顯示?? D=

9??? -2??? -1

9???? 9??? 11????????? 注：

逆矩陣問題。教師先詳細(xì)介紹傳統(tǒng)的筆算求解方法。傳統(tǒng)求方陣的逆矩陣，首先得判斷該方陣存在逆矩陣與否，如果對(duì)應(yīng)的行列式不為零，方陣存在逆矩陣，否則不存在。筆算求方陣的逆矩陣有兩種，一種是求方陣對(duì)應(yīng)的伴隨矩陣，。另一種方法是利用初等行變換得到。這兩種筆算的方法都非常基礎(chǔ)，計(jì)算量不小。學(xué)生先掌握上述兩種求逆矩陣的筆算法后，教師再介紹使用Matlab軟件，只需先在命令窗口輸入矩陣，再用命令即可。

例3 設(shè)A，，求

。

在Matlab的Command window輸入命令

》；

》

顯示? Warning： Matrix is close to singular or badly scaled??? 注：出現(xiàn)了奇異矩陣，奇異矩陣A不可逆。

》B=；

》

顯示? ans=

6?? 3?? 4

4?? 2?? 3

9?? 4?? 6???????????????? 注：解得B的逆矩陣。

矩陣的秩的問題。教師先詳細(xì)講授傳統(tǒng)方法有兩種：一種是按定義求，求最高階非零子式的階數(shù)；另一種方法是對(duì)矩陣做初等行變換，使矩陣轉(zhuǎn)換成行階梯型矩陣，其中非零行的行數(shù)為矩陣的秩。很明顯兩種傳統(tǒng)方法筆算的計(jì)算量都不小。學(xué)生掌握求秩的傳統(tǒng)算法，教師再介紹使用Matlab軟件，只需先在命令窗口輸入矩陣，再用命令即可。

例4 設(shè)A，求矩陣A的秩。

在Matlab的Command window輸入命令

》；

》

顯示 ans=3???????????? 注：秩為3。

矩陣的特征值與特征向量問題。教師先詳細(xì)介紹傳統(tǒng)方法，首先求得特征多項(xiàng)式的根，由解得對(duì)應(yīng)的特征值；再求所對(duì)應(yīng)的特征向量，由解得，上述兩步涉及求行列式，解線性方程組，計(jì)算量比較大。學(xué)生學(xué)會(huì)特征值，特征向量的筆算求法，教師再介紹使用Matlab軟件，只需先在命令窗口輸入矩陣，再用命令即可，其中對(duì)角陣D的對(duì)角元為矩陣A的特征值，矩陣V的列向量是相應(yīng)的特征向量。

例5 求矩陣A的特征值和特征向量。

在Matlab的Command window輸入命令

》；

》

顯示?? V=

0.7071??? 0.5774??? 0.4082

-0.7071??? 0.5774??? 0.4082

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D=

-1.0000???????? 0???????? 0

0?? -0.0000???????? 0

0???????? 0??? 9.0000

注：特征值-1對(duì)應(yīng)的特征向量為矩陣V的第一列向量，特征值0對(duì)應(yīng)的特征向量為矩陣V的第二列向量，特征值9對(duì)應(yīng)的特征向量為矩陣V的第三列向量。

》

顯示ans =

1.0000??? 2.0000??? 3.0000

2.0000??? 1.0000??? 3.0000

3.0000??? 3.0000??? 6.0000

注：驗(yàn)證了。

3?? 結(jié)論（Conclusion）

Matlab作為一種實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)軟件在線性代數(shù)教學(xué)中發(fā)揮了很好的作用，但是也不能忽視傳統(tǒng)的筆算做題和概念及理論證明。使用Matlab軟件重視實(shí)用性，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)和工作做好準(zhǔn)備，傳統(tǒng)的筆算做題和概念及理論證明培養(yǎng)了學(xué)生邏輯思維，兩者的結(jié)合可以產(chǎn)生創(chuàng)新，大大提高線性代數(shù)的教學(xué)效果，提升學(xué)生動(dòng)腦動(dòng)手能力。

參考文獻(xiàn)（References）

[1] 李秀珍，龐常詞.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2008.

[2] 郭文艷，趙鳳群.數(shù)學(xué)建模及Matlab軟件在矩陣運(yùn)算教學(xué)中的

應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2013，29（4）：87-90.

[3] 尹麗，高勝哲.運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量[J].軟件

工程師，2012，12：34-35.

作者簡介：

尹? 麗（1981-），女，本科，講師.研究領(lǐng)域：基礎(chǔ)教學(xué).

高? 輝（1978-），女，碩士，講師.研究領(lǐng)域：基礎(chǔ)教學(xué).

萬? 瑩（1978-），女，本科，講師.研究領(lǐng)域：基礎(chǔ)教學(xué).endprint