多元馬氏鏈的狀態(tài)分類及其基本性質(zhì)

邢靈博，陳 杰，* ，陳志祥

(1.瓊州學(xué)院理工學(xué)院，三亞572022;2.中山大學(xué)管理學(xué)院，廣州510275)

傳統(tǒng)高階馬氏鏈的不足之處是計(jì)算轉(zhuǎn)移概率的過(guò)程中比較復(fù)雜，涉及到的參數(shù)過(guò)多. 事實(shí)上，若為馬氏鏈{Xn，nT，n ＞1}的n 階轉(zhuǎn)移概率，狀態(tài)集Ⅰ含有m個(gè)元素，則=涉及到的參數(shù)多達(dá)(m－1)mn個(gè). Raftery 等［1－3］為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，提出了一個(gè)新的高階馬氏模型其中Q=(qji)m×m為非負(fù)定矩陣且滿足列向量元素之和等于1. Ching 等［4］在此理論基礎(chǔ)上，提出了具有更一般化的多元馬爾可夫鏈. 多元馬爾可夫鏈?zhǔn)亲罱d起的研究領(lǐng)域，是預(yù)測(cè)方法的重要理論工具之一，其理論成果已廣泛應(yīng)用到庫(kù)存優(yōu)化控制［5］、天氣預(yù)報(bào)［6］、風(fēng)險(xiǎn)管理［7］和基因工程［8］等諸多領(lǐng)域.然而，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)多元馬氏鏈的研究成果主要體現(xiàn)在應(yīng)用方面，涉及到理論方面的研究很少. 為此，本文在多元馬氏理論框架下，對(duì)其狀態(tài)進(jìn)行分類，并給出相應(yīng)的基本性質(zhì).

1 多元馬氏鏈的基本概念

1.1 多元馬氏模型

引理1 (i)設(shè)P(mn)表示第n 序列的需求狀態(tài)到第m 序列狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率矩陣，且P(mn)為不可約的;為多元馬氏鏈中各種序列于第k 階段的狀態(tài)的概率分布，其中(n=1，…，N)表示第n 序列于第k 階段的狀態(tài)的概率分布，則存在其中使得Xk+1=AXk，這里A=λmn為 概 率 分布與的關(guān)系權(quán)數(shù)，n，m=1，2，…，N.引理1的證明過(guò)程和參數(shù)矩陣A 的求解詳見(jiàn)文獻(xiàn)［9］.

定義1 在滿足引理1 的條件下，稱Xk+1=AXk為多元馬爾可夫模型.

由Xk+1=AXk，可得第n 序列于第k +1 階段狀態(tài)的概率分布為由此可見(jiàn)，概率分布與的關(guān)系權(quán)數(shù)為λnm，進(jìn)而度量了它們之間的關(guān)系.因此，該模型不但給出各序列的狀態(tài)在下階段的概率分布，同時(shí)還進(jìn)一步表明了其狀態(tài)概率分布間的關(guān)系. 這是多元馬氏模型最顯著的理論性質(zhì)之一，利用該性質(zhì)可以確定不同序列之間的關(guān)系，如確定產(chǎn)品需求、DNA 序列等狀態(tài)之間的關(guān)系.

其中

L，K 分別表示狀態(tài)集所包含元素的個(gè)數(shù)和庫(kù)系統(tǒng)的階數(shù)，e 為單位矩陣;而當(dāng)n≠m 時(shí)，

1.2 狀態(tài)的分類

顯然，當(dāng)n=m 時(shí)，指的是單鏈狀態(tài)間的可達(dá)性和連通性;當(dāng)n≠m 時(shí)，指的是各鏈狀態(tài)間的可達(dá)性和連通性.這種狀態(tài)間的關(guān)系，是客觀存在的普遍現(xiàn)象.比如，不同產(chǎn)品間的需求狀態(tài)，由于顧客需求的多樣性和轉(zhuǎn)移性，從而導(dǎo)致其狀態(tài)有可能在本狀態(tài)集內(nèi)轉(zhuǎn)移，也有可能轉(zhuǎn)移到其他產(chǎn)品的需求狀態(tài).

由定義4 可知，當(dāng)in=im且n =m 時(shí)，Tinin為系統(tǒng)從第n 序列的狀態(tài)in出發(fā)，首次返回狀態(tài)in的時(shí)間，這時(shí)finin表示系統(tǒng)遲早會(huì)返回in的概率.今定義即系統(tǒng)平均首次返回的時(shí)間.在競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，可以通過(guò)μinin的值確定顧客的首次回頭時(shí)間，進(jìn)而分析顧客需求轉(zhuǎn)移的規(guī)律性.

由上述的基本定義，多元馬氏鏈的狀態(tài)可根據(jù)以下的定義進(jìn)行分類:

定義5 若finin=1，則稱狀態(tài)in為常返的;若finin＜1，則稱狀態(tài)in為非常返的;狀態(tài)in為常返的，若μinin＜+∞，則稱其為正常返的;若μinin= +∞，則稱其為零正常返的.

定義6 狀態(tài)in稱以t 作為周期的，如果θ 不是t 的整倍數(shù)時(shí)，有;同時(shí)存在k0，使得對(duì)于任意k ＞k0，有＞0.若t=1 且狀態(tài)in為正常返的，則稱之為遍歷狀態(tài).

2 主要結(jié)果

2.1 多元馬氏模型的切普曼－柯?tīng)柲缏宸蚍匠?/h3>

為了進(jìn)一步深入了解多元馬氏模型狀態(tài)間關(guān)系的基本性質(zhì)，以便分析各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移規(guī)律，首先給出多元馬氏模型的切普曼－柯?tīng)柲缏宸蚍匠?

證明 由題設(shè)可知，系統(tǒng)是由N 條單元馬氏鏈構(gòu)成的，各鏈的狀態(tài)集含有的元素個(gè)數(shù)為L(zhǎng). 因此，該系統(tǒng)由第n 序列的狀態(tài)in出發(fā)歷經(jīng)v個(gè)階段后到達(dá)的序列有N 種可能，而可能到達(dá)的狀態(tài)有N ×L種.再由的定義可知為該系統(tǒng)從第n 序列狀態(tài)in出發(fā)歷經(jīng)k個(gè)階段后到達(dá)第m 序列狀態(tài)im的轉(zhuǎn)移概率.因此，利用全概率公式和馬氏性，可得:

今稱式(2)為多元馬氏模型的切普曼－柯?tīng)柲缏宸蚍匠?該方程在計(jì)算高階轉(zhuǎn)移概率的過(guò)程中起著非常重要的作用，通過(guò)該公式可以化高階的轉(zhuǎn)移概率為低階的來(lái)計(jì)算.

2.2 狀態(tài)間關(guān)系的基本性質(zhì)

有了多元馬氏模型的切普曼－柯?tīng)柲缏宸蚍匠?，接下?lái)主要研究各鏈狀態(tài)間關(guān)系的基本性質(zhì).

定理2 設(shè)in為多元馬氏模型第n 序列的狀態(tài)(n=1，2，…，N)，如果in1→in2，in2→in3，則in1→in3.

證明 因?yàn)閕n1→in2和in2→in3，所以存在k1和k2，分別使得和因此，根據(jù)多元馬氏模型的切普曼－柯?tīng)柲缏宸蚍匠蹋傻?證畢.

定理3 多元馬氏模型各序列間互通的狀態(tài)，具有下列性質(zhì):①滿足對(duì)稱性，即若in?im，則im?in.②滿足傳遞性，即若in1?in2及in2?in3，則in1?in3.

證明 ①因?yàn)閕n?im，所以存在k1和k2，分別使得和，故有im?in.②由題設(shè)可知存在k1，k2，k3和k4，分別使得和，再由多元馬氏模型的切普曼－柯?tīng)柲缏宸蚍匠?，?

因此，有in1?in3.證畢.

定理4 設(shè)in，im分別為多元馬氏模型第n 序列和第m 序列的狀態(tài)(n，m=1，2，…，N)，如果in?im，則狀態(tài)in，im滿足以下的性質(zhì):(i)同為常返的或同為非常返的;(ii)in和im具有相同的周期.

證明 (i)因?yàn)閕n?im，所以存在k1≥1 和k2≥1，分別使得和由多元馬氏模型的切普曼－柯?tīng)柲缏宸蚍匠?，可?

同理，可得:

由級(jí)數(shù)斂散性的比較準(zhǔn)則［11］并結(jié)合式(3)和式(4)，可知和同時(shí)收斂或發(fā)散.因此，只需證的斂散性是in或im為常返性(常返的或非常返的)的充分條件，即可得命題的結(jié)論. 若為發(fā)散級(jí)數(shù)，則有由兩邊求和，可得:

于是，對(duì)上式進(jìn)行分離整理，可得:

再由極限的迫斂準(zhǔn)則，可知finin=1，故in為常返的.若為收斂級(jí)數(shù)，則因此，當(dāng)k→+∞時(shí)，故in為非常返的. 根據(jù)和同斂散性，即可得出im相應(yīng)的常返性.

(ii)設(shè)tn，tm分別為狀態(tài)in和狀態(tài)im的周期，故存在和，對(duì)于任意k≥及k≥，有及又因?yàn)閕n?im，所以存在kn及km，分別使得和再由多元馬氏模型的切普曼－柯?tīng)柲缏宸蚍匠?，可?

因此，kn+km+ktm為tn的整倍數(shù).同理，可證得kn+km+(k+1)tm為tn的整倍數(shù). 于是，存在k1和k2，分別使得kn+km+ktm=k1tn及kn+km+(k+1)tm=k2tn，故tm=(k2－k1)tn.利用式(5)，同理可證:存在ˉk1和ˉk2，分別使得kn+km+ktn=及kn+km+(k+1)tn=，得tn=()tm.因此，k2－k1=－=1，故tn=tm.證畢.

［1］Raftery A E. A model for high-order Markov chains［J］.Journal of the Royal Statistical Society:Series B，1985，47(3):528－539.

［2］Raftery A，Tavare S. Estimation and modelling repeated patterns in high order Markov chains with the mixture transition distribution model［J］. Applied Statistics，1994，43(1):179－199.

［3］Berchtold A，Raftery A E. The mixture transition distribution model for high-order Markov chains and non-Gaussian time series［J］. Statistical Science，2002，17(3):328－356.

［4］Ching W K，F(xiàn)ung E S，Ng M K. A multivariate Markov chain model for categorical data sequences and its applications in demand predictions［J］. IMA Journal of Management Mathematics，2002，13(3):187－199.

［5］Ching W K，F(xiàn)ung E S，Ng M K. A higher-order Markov model for the Newsboy's problem［J］. Journal of the Operational Research Society，2003，54(3):291－298.

［6］Yang H，Li Y，Lu L，et al. First order multivariate Markov chain model for generating annual weather data for Hong Kong［J］. Energy and Buildings，2011，43(9):2371－2377.

［7］Siu T K，Ching W K，F(xiàn)ung S E，et al. On a multivariate Markov chain model for credit risk measurement［J］.Quantitative Finance，2005，5(6):543－556.

［8］Ching W K，F(xiàn)ung E S，Ng M K. Higher-order Markov chain models for categorical data sequences［J］. Naval Research Logistics (NRL)，2004，51(4):557－574.

［9］Ching W K，Ng M K. Markov chains:Models，algorithms and applications［M］. New York:Springer，2006.

［10］Ching W K，Ng M K，F(xiàn)ung E S. Higher-order multivariate Markov chains and their applications［J］. Linear Algebra and Its Applications，2008，428(2):492－507.

［11］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析［M］. 2 版. 北京:高等教育出版社，1991.