帶Poisson跳的模糊隨機(jī)種群擴(kuò)散方程解的存在性和唯一性

金小微，張啟敏

(寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，銀川750021)

考慮如下具有年齡結(jié)構(gòu)帶Poisson 跳的隨機(jī)種群擴(kuò)散方程［1］

種群系統(tǒng)引起了許多學(xué)者的關(guān)注［2-6］. 例如，李健全和陳任昭［2］介紹了具空間擴(kuò)散和年齡結(jié)構(gòu)的種群系統(tǒng)的最優(yōu)分布控制，Zhang［3］證明了具有年齡結(jié)構(gòu)的隨機(jī)種群擴(kuò)散模型數(shù)值解的指數(shù)穩(wěn)定性. Wang 等［4］運用半隱式歐拉法討論了具有年齡結(jié)構(gòu)帶Poisson 跳的隨機(jī)種群方程的收斂性.

上述文獻(xiàn)中不確定因素為隨機(jī)環(huán)境的影響. 然而，現(xiàn)實生活中，我們研究的系統(tǒng)不僅受到隨機(jī)環(huán)境的影響，還會受到模糊不確定性的影響. 例如，出生率、死亡率等. 因此，把模糊理論引入到種群模型(1)中更符合實際意義. 考慮如下帶Poisson 跳的模糊隨機(jī)種群擴(kuò)散方程

利用文獻(xiàn)［7］-［9］中模糊It? 積分的定義，討論帶Poisson 跳的模糊隨機(jī)種群擴(kuò)散方程強(qiáng)解的存在性和唯一性.本文所討論模型和得到的結(jié)論是文獻(xiàn)［1］的擴(kuò)展.

1 預(yù)備知識

根據(jù)Zadeh 的擴(kuò)張原理定義模糊數(shù)的函數(shù)，線性運算的α 水平集滿足區(qū)間運算式

這里At={ω:(t，x，ω)A}.

證明過程與文獻(xiàn)［7］類似.

2 解的存在唯一性

考慮帶Poisson 跳的模糊隨機(jī)種群擴(kuò)散方程

且y0:Ω→(V)是一個模糊隨機(jī)變量.

定義2 模糊隨機(jī)過程yt:Ⅰ×Ω →(V)被稱為方程(3)的強(qiáng)解，如果滿足

(1)yt2(Ⅰ×Ω，;(V));

(2)yt是一個d∞-連續(xù)的模糊隨機(jī)過程;

(3)滿足

這里yt=y(t，x)，y(t，x)=0，Σ=［0，T］×?Γ.

定義3 方程(3)的強(qiáng)解y1t:Ⅰ×Ω →(V)是唯一的，如果

其中y1t=y1(t，x)，y2t=y2(t，x)且y2t:Ⅰ×Ω→(V)是方程(3)的任意強(qiáng)解.

為了證明本文的主要結(jié)論，給出以下假設(shè)條件:

(c0)μ(t，x)、β(t，x)和k(t)均是非負(fù)可測的，

(c1)存在一個常數(shù)L ＞0，對?u，v(V)使得

(c2)存在一個常數(shù)C ＞0，對?u(V)，?(t，x)Ⅰ使得

(c3)存在一個常數(shù)M ＞0，對?u，v(V)，使得

下面運用逐次逼近法證明方程(3)解的存在性.首先，定義一個Picard 序列:Ⅰ×Ω →(V)，當(dāng)n=0 時

當(dāng)n=1，2，…時

引理1 假設(shè)y0是一個0 -可測的隨機(jī)變量，滿足(y0，<0> )＜∞，若f:Ⅰ× Ω ×(V)→(V)，g:Ⅰ×Ω ×(V)→L(K，V)，h:Ⅰ×Ω ×(V)→(V)，且條件(c0)～(c3)成立. 則滿足下列不等式

根據(jù)條件(c0)～(c3)和文獻(xiàn)［7］以及三角不等式，可得

由最后一個不等式有

再由Gronwall 引理得證

定理1 令y02(Ⅰ×Ω，0，P;(V)). 假設(shè)f:Ⅰ×Ω×(V)→(V)，g:Ⅰ×Ω×(V)→L(K，V)，h:Ⅰ×Ω×(V)→(V)滿足條件(c0)～(c3)，則方程(3)存在唯一的強(qiáng)解yt.

證明 記

由性質(zhì)1、文獻(xiàn)［7］以及條件(c1)、(c2)可得

因此，j1(t)≤K1t，?(t，x)Ⅰ，其中

類似地，運用條件(c0)、(c1)和(c3)，可得

因此可以推斷

由Chebyshev 不等式和式(11)可得

其中n≥n0，那么在概率1 的意義下，{yn(·，ω)}在(t，x)Ⅰ上一致收斂到d∞-連續(xù)函數(shù)yt≡y(·，Ω):Ⅰ→(V)，?ωΩc，則yt是一個連續(xù)的-適應(yīng)模糊隨機(jī)過程. 由于Ω;(V))，我們有，對任意固定的t［0，T］和xΓ，模糊隨機(jī)變量(t，x)(Ω，，P;(V)).即對?t［0，T］，xΓ，(y(t，x)，<0> )x)，<0> )＜∞，即yt2(Ⅰ×Ω;(V)).

下面將證明yt是式(3)的一個解. 對每個t［0，T］，xΓ，有

事實上，我們可以得到

因此yt滿足方程(3).

下面證明yt是唯一強(qiáng)解. 假設(shè)yt，zt:Ⅰ× Ω→(V)均是方程(3)的解.對于每個t［0，T］，定義(y(u)，z(u)).由此可得

定理得證.□

以上證明用到Picard 迭代來逼近方程(3)的解，下面的定理給出了Picard 迭代的估計.

定理2 假設(shè)y0:Ω →(V)，f:Ⅰ×Ω×(V)→(V)，g:Ⅰ×Ω×(V)→L(K，V)，h:Ⅰ×Ω×(V)→(V)滿足條件(c0)～(c3)，yt是方程(3)的唯一解是式(10)定義的Picard 迭代，則

其中K1和K2為定理1 中定義的常數(shù).

證明 記

由性質(zhì)1、文獻(xiàn)［7］及條件(c0)、(c1)、(c3)，有

運用式(11)有

由Gronwall 不等式得式(13)成立.由定理2 得

于是可得具有年齡結(jié)構(gòu)帶Poisson 跳的模糊隨機(jī)種群擴(kuò)散方程的近似解

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