激光自再現(xiàn)模數(shù)值計(jì)算方法研究

孟穎，張貴陽，魏曉馬，周見紅

（1.長春理工大學(xué) 光電工程學(xué)院，長春 130022；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150006）

20世紀(jì)60年代激光器的問世引起了現(xiàn)代科技的巨大變化。激光由于其方向性好、相干度高和亮度高等特點(diǎn)，在現(xiàn)代工業(yè)制造加工、信息通信、醫(yī)療探測(cè)及國防等領(lǐng)域得到迅速的發(fā)展和應(yīng)用［1］。光學(xué)諧振腔控制激光的輸出模式（橫模和縱模），是激光器的關(guān)鍵部件，縱?？刂萍す獾妮敵鲱l率，橫?？刂萍す獾妮敵龉獍咝螤?。光學(xué)諧振腔利用兩塊相對(duì)的具有高反射率的鏡面控制光在其中來回反射振蕩，可以增加光通過增益介質(zhì)的次數(shù)，為光放大提供正反饋，同時(shí)控制激光的輸出特性，準(zhǔn)確、便捷的研究諧振腔的模式分布特性，提高光束質(zhì)量，促進(jìn)諧振腔的研制對(duì)激光諧振腔的設(shè)計(jì)和激光研究都具有重要的科學(xué)意義和應(yīng)用價(jià)值。

研究激光器諧振腔的方法很多，如基于幾何光學(xué)轉(zhuǎn)移矩陣法［2］和基于波動(dòng)光學(xué)的菲涅耳衍射法［3-5］，前者可以很容易給出諧振腔的穩(wěn)定性條件，但是不能給出激光光斑的形狀及其損耗特性；后者不但可以給出衍射損耗，還能給出能量在光束中的空間分布及位相特性，能夠準(zhǔn)確、全面地反映激光光束的輸出特性。然而由于諧振腔的菲涅耳積分只有在共焦腔、方形鏡面、旁軸近似的條件下才能給出近似的解析解，在實(shí)際使用中，數(shù)值計(jì)算方法顯得尤為重要。

本文采用菲涅耳積分原理，利用迭代和本征值法計(jì)算激光諧振腔自再現(xiàn)模式的能量空間分布和損耗特性，數(shù)值模擬結(jié)果表明，兩種方法給出的結(jié)果一致。比較而言，采用迭代法可以很清晰地給出激光在諧振腔中振蕩并穩(wěn)定的過程，利用穩(wěn)定后的能量分布可以給出衍射損耗；本征值法可以直接給出模式的分布和損耗的特性，但是對(duì)于模式的穩(wěn)定過程和物理圖像的理解略顯晦澀。另外，由于激光的輸出模式與諧振腔的對(duì)稱性具有很大的關(guān)系，在迭代法中，必需使用具有一定對(duì)稱性的源才能激發(fā)出想要的模式，否則會(huì)出現(xiàn)不同模式的疊加，而本征值法不需考慮對(duì)稱性因素就可以得到所有模式，因此，本征值法更具有普適性。

1 基本原理

其中，u'(P)和u(Q)表示鏡面(x',y')和鏡面(x,y)的振幅分布，ρ為P和Q之間的距離，dsP為鏡面(x',y')上包圍P點(diǎn)的小面元，θ為P和Q連線與面元sP法線方向的夾角，k=2π λ為波數(shù)。

對(duì)稱結(jié)構(gòu)的諧振腔如圖1所示，即組成諧振腔的兩個(gè)鏡面結(jié)構(gòu)參數(shù)相同，鏡面之間的距離為L，按照菲涅耳-基爾霍夫衍射原理［3］，鏡面(x',y')上的光場(chǎng)對(duì)鏡面(x,y)的影響可以表示為

圖1 鏡面衍射示意圖

由于諧振腔是對(duì)稱的，所以當(dāng)光在鏡面之間來回振蕩時(shí)，只需要交換P、Q的位置，式（1）是適合的。

2 數(shù)值計(jì)算方法

2.1 積分的離散過程

為了數(shù)值化處理方程（1）的積分，需要對(duì)鏡面(x',y')進(jìn)行離散化處理，我們采用如圖2所示的方式把鏡面分格成M×N個(gè)面元的方式離散，這樣光場(chǎng)在鏡面上的振幅u'(P)就變成了一個(gè)M×N列的列向量。

圖2 鏡面離散示意圖

按照?qǐng)D2的離散方式，公式（1）可以寫成

其中，un和u'm分別為按照?qǐng)D2的方式離散的點(diǎn)(x,y)和點(diǎn)(x',y')處的光波復(fù)振幅，且

ΔSm為按照?qǐng)D2的方式離散的包圍點(diǎn)(x',y')面元。

需要指出的是，在離散過程中，除了由于離散精度引起的誤差外，我們沒有做任何近似。

公式（2）給出了光從鏡面(x',y')到鏡面(x,y)之間經(jīng)歷一次度越光場(chǎng)振幅所對(duì)應(yīng)的關(guān)系。激光在諧振腔鏡面之間來回振蕩，最終會(huì)趨于穩(wěn)定分布，所以利用式（2）可以計(jì)算最終的光場(chǎng)分布。為了演示此方法的可行性，我們采用迭代法和本征值法分別處理兩個(gè)平面鏡組成的諧振腔，其中鏡面為邊長3.2cm方形鏡子，鏡面距離為100cm，波長為632.6nm，計(jì)算光場(chǎng)分布和損耗，然后比較兩種方法所得的結(jié)果。迭代法和本征值法計(jì)算過程中，我們把鏡面離散成32×32個(gè)面積相等的面元。

2.2 迭代法

光場(chǎng)在兩鏡面之間來回振蕩，由于考慮的系統(tǒng)為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，所以光場(chǎng)在鏡面之間第q次度越按照式（2）可以表示為

需要指出的是，在迭代過程中，初始狀態(tài)的輸入um,0（也叫種子光）的對(duì)稱性對(duì)最終輸出的模式有很大的影響，這是因?yàn)槔碚撋霞す庵C振腔可以支持無窮多個(gè)模式，一個(gè)偶對(duì)稱的輸入不可能激發(fā)一個(gè)奇模式；另外，如果激發(fā)了多個(gè)模式，由于低階模式在振蕩過程中的損耗比高階模式小，高階模式在振蕩過程中被損耗而只剩下低階模式，或者出現(xiàn)多個(gè)模式的疊加而不利于單個(gè)模式的顯示，因此計(jì)算特定對(duì)稱性模式需要有對(duì)應(yīng)的初始態(tài)輸入。

圖3 一階模式迭代穩(wěn)定過程

圖3給出了最低階模的迭代并穩(wěn)定的過程，其中輸入的種子光為點(diǎn)光源，放置在右上方，由于最低階模式的損耗最小，所以對(duì)于初始的輸入狀態(tài)不是很嚴(yán)格，最終都能得到這個(gè)模式。從圖3（a）可以看出，由于是輸入點(diǎn)源，所以在第一次度越過程中，鏡面得到的是球面波；經(jīng)過多次來回振蕩，光斑分布趨向穩(wěn)定，如圖3（a）-（f）所示。可以通過損耗來判斷激光振蕩是否穩(wěn)定，即衍射損耗穩(wěn)定時(shí)，激光的模式趨于穩(wěn)定，激光的衍射損耗可以表示為

對(duì)于圖3所示的一階穩(wěn)定模式的衍射損耗δ=2.52%。

圖4 二階模式迭代穩(wěn)定過程

高階模式對(duì)種子光非常敏感，為了得到二階模式，采用兩個(gè)位相差π的種子光，分別位于鏡面的左上角和右下角，模式的穩(wěn)定演化過程如圖4所示?？梢钥闯?，第一次度越是兩個(gè)點(diǎn)光源的球面波疊加，在另一個(gè)鏡面上發(fā)生干涉的干涉條紋，如圖4（a）所示；圖4（a）-（d）是經(jīng)過多次來回振蕩，光斑分布趨向穩(wěn)定分布，同樣可以得出穩(wěn)態(tài)衍射損耗為δ=5.81%。需要注意的是，方形平面鏡的二階模式是按照對(duì)角線方向?qū)ΨQ的，而不是按照中線方向，這是由于對(duì)角線方向的損耗更小，模式更穩(wěn)定。

采用對(duì)稱性分析，設(shè)定需要的模式，通過式（6）可以得到所需模式分布和相應(yīng)衍射損耗。

2.3 本征值法

由于本文考慮的是對(duì)稱諧振腔，穩(wěn)態(tài)時(shí)，模式的分布穩(wěn)定，輸入與輸出只有由于衍射損耗和位相而引起的復(fù)常數(shù)因子σ，故公式（2）可以表示為

公式（8）是一個(gè)求本征的矩陣形式［6］，其中 σ為本征值，u為模式分布，利用數(shù)值計(jì)算可以求得模式分布如圖5所示。在計(jì)算過程中，沒有對(duì)本征值的大小排序，圖5（a）給出了最低階模式的分布，與圖3給出完全相同。圖5（b）和（d）為相互簡并的二階模式［7］，它們之間的關(guān)系是旋轉(zhuǎn)90度；圖5（c）為三階模式的光強(qiáng)分布。

同樣從本征值可以得到損耗為

利用式（9）計(jì)算的10個(gè)模式的損耗如圖6所示，從圖中可以看出第2個(gè)模式和第4個(gè)模式的損耗相同，它們相互簡并，從模式分布上可以看出它們是旋轉(zhuǎn)90度，這是由于此結(jié)構(gòu)具有相應(yīng)的對(duì)稱性。從損耗特性中可以很容易發(fā)現(xiàn)簡并的模式，因?yàn)閾p耗是由本征值來表征的，本征值相同的模式簡并，從圖6中顯示的前10個(gè)模式，其中第2、第4個(gè)模式簡并，第5、第9個(gè)模式簡并，第6第7個(gè)模式簡并，由于結(jié)構(gòu)具有較好的對(duì)稱性，所以簡并的模式很多。

圖5 本征值法求得的前四個(gè)模式

圖6 本征值法計(jì)算的前10個(gè)模式的衍射損耗

本文計(jì)算的諧振腔模式是兩個(gè)鏡面上的場(chǎng)分布。對(duì)于遠(yuǎn)場(chǎng)分布，同樣適合菲涅耳-基爾霍夫衍射，只需要設(shè)定相應(yīng)的[]an×m，把輸出鏡面的場(chǎng)分布作為輸入，利用式（2）即可求出。

3 討論

上面給出的兩種方法得到的結(jié)果一致。對(duì)于邊長為3.2cm方形鏡子，鏡面距離為100cm的諧振腔而言，具有較好的對(duì)稱性，從對(duì)稱性分析（群論）的角度上，基本能夠預(yù)見模式的對(duì)稱性和光斑的形狀，對(duì)于迭代法，需要設(shè)置相應(yīng)的源（種子光）來激發(fā)。一般而言，低階模式的損耗較小，光在諧振腔中多次振蕩之后，只有損耗最小的那個(gè)模式會(huì)留下來，損耗高的模式會(huì)被抑制掉，也就是說，如果用于激發(fā)的源可以激發(fā)多個(gè)模式，最終只有損耗最小的那個(gè)模式會(huì)留下，但是對(duì)于高階模式而言，設(shè)置相應(yīng)的激發(fā)源會(huì)非常困難，一般只用于激發(fā)有限的低階模式。但迭代法可以很容易看到模式從激發(fā)到穩(wěn)定的全部演化過程，物理圖像非常清晰。

本征值法采用求解本征值方程的方法得到的結(jié)果非常直接，同時(shí)可以得到所有的模式及其本征值（損耗），不需要設(shè)置激發(fā)源，也不需要人為的分析模式對(duì)稱性（對(duì)稱性由矩陣表征），對(duì)于激光器諧振腔的研究是一個(gè)非常有效的方式。求解本征值法對(duì)諧振腔的模式穩(wěn)定性理解具有一定的抽象性，掩蓋了很多物理圖像，但是此方法可以很直接地給出所有所需的光學(xué)特性。

本文分析了對(duì)稱正方平面鏡諧振腔，這兩種方法對(duì)于任意形狀的諧振腔而言都是適應(yīng)的，只需要在使用過程中，按照設(shè)計(jì)的諧振腔幾何參數(shù)對(duì)矩陣進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整即可。

4 結(jié)論

基于菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式，本文采用數(shù)值計(jì)算的方式利用迭代法和本征值法研究了諧振腔的自再現(xiàn)模和衍射損耗特性，研究結(jié)果表明，迭代法計(jì)算模式對(duì)于激發(fā)源（種子光）非常敏感，對(duì)于高階模式，只有采用與模式對(duì)稱性相同的激發(fā)源才能激發(fā)，而且可以很直觀地看到模式的演化穩(wěn)定過程，并利用穩(wěn)態(tài)模式計(jì)算相應(yīng)模式的衍射損耗；而本征值法可以同時(shí)計(jì)算所有模式和損耗，無需考慮激發(fā)源的特性。本文提出的方法為激光器諧振腔的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了一條便捷的途徑。

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