一類橢球等高矩陣分布的二次型

郭春香，王 青

(1.常州機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，江蘇 常州 213164;2.常州機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電氣工程系，江蘇 常州 213164)

橢球等高分布作為正態(tài)分布的推廣，它擁有許多類似于多元正態(tài)分布的優(yōu)美性質(zhì)。文獻(xiàn)[1］中給出的向量球?qū)ΨQ分布的定義和相關(guān)定理，成為研究樣本分布的有力工具;文獻(xiàn)[2］中給出了向量球?qū)ΨQ分布的F分布，文獻(xiàn)[3］中給出了與向量球?qū)ΨQ分布有關(guān)的一類廣義卡方分布，這些理論為進(jìn)一步研究向量球?qū)ΨQ分布提供了理論基礎(chǔ)。本文在文獻(xiàn)[2］和文獻(xiàn)[3］的基礎(chǔ)上研究了向量球?qū)ΨQ分布和一類橢球等高矩陣分布的二次型，應(yīng)用典型方法求出了二次型及其逆的密度函數(shù)，從而豐富了樣本理論的研究，為解決復(fù)雜樣本統(tǒng)計量的分布問題提供了一定的理論基礎(chǔ)。

定理1 設(shè)矩陣X有密度，則X～VSn×p(φ)當(dāng)且僅當(dāng)X的密度形為f(tr(X'X)).

若X ～ VSn×p(φ)且X有密度f，則我們就記X ～ VSn×p(f).

引理1 設(shè)X是n×p矩陣，且T∈UT(p)，則:

其中，Dp={T|T∈UT(p)}且有正對角元素，Γp(·)是多元Gamma函數(shù)，并且

引理2[4］若Y＞0，它的喬列斯基分解Y=X'X，其中X為n階上三角陣，且對角元素為正，則:

定理2 設(shè)X ～ VSn×p(f)，n≥p，即X有密度f[tr(X'X)］，則W=X'X的密度是:

證明:設(shè)h(·)是任意非負(fù)Borel函數(shù)，則:

由引理1，有:

所以，W=X'X的密度是:

引理 3 設(shè) X=Y－1，Ym×m對稱，則:

定理3 設(shè)X ～ VSn×p(f)，n≥p，則V=W－1=(X'X)－1的密度是:

證明:由定理2可知，若X ～VSn×p(f)，則W=X'X的密度是:

令 V=W－1=(X'X)－1，則 W=V－1，J(W → V)=|V|－(p+1)，從而，我們有 V=W－1=(X'X)－1的密度是:

證明:由引理1知，對任意非負(fù)Borel函數(shù)h(·)，有:

從而，有:

定義2 設(shè)Y=M+XB，其中X～VSn×p(φ)，B:p×q，M:n×q，則我們說Y遵從橢球等高矩陣分布，記為 Y ～ EVSn×q(M，B，φ)或 Y ～ EVSn×q(M，B，f)。

因此，Y的分布只通過∑ 依賴于B，我們把VSn×q(M，B，φ)記為VSn×q(M，∑，φ)。

引理5[5］若Y=AXB ，其中 Y:n × p，X:n × p，A:n × n，B:p× p，且A，B 可逆，則:

所以，Y的密度是:

引理6[6］若 X，Y均為 n × n陣，|B|≠0，Y=B'XB 且 X'=X ，則:

推論1 設(shè)Y ～ EVSn×q(0，∑，f)，其中n≥q，∑ ＞0，則W=Y'Y的密度是:

證明:由定理2知，若X ～VSn×q(f)，則L=X'X的密度是:

因為Y ～EVSn×q(0，∑，f)，故由定義2知Y=XB，其中X ～VSn×q(f)，從而有

所以，W=Y'Y的密度是:

推論2 設(shè)Y ～ EVSn×q(0，∑，f)，其中n≥q，∑ ＞ 0，則V=W－1=(Y'Y)－1的密度是:

證明:由推論1知，若Y ～ EVSn×q(0，∑，f)，則W=Y'Y的密度是:

從而我們有V=W－1=(Y'Y)－1的密度是:

并且有

[1]方開泰，張堯庭.廣義多元分析[M］.北京:科學(xué)出版社，1993.

[2]郭春香.向量球?qū)ΨQ分布的F分布[J］.金陵科技學(xué)院學(xué)報，2010，26(2):10－13.

[3]郭春香，王青.與向量球?qū)ΨQ分布有關(guān)的一類廣義χ2分布[J］.金陵科技學(xué)院學(xué)報，2012，28(1):5－8.

[4]朱道元，吳誠鷗，秦偉良.多元統(tǒng)計分析及軟件SAS[M］.南京:東南大學(xué)出版社，1999.

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