兩種不同剖分方式的聲線束追蹤法聲衰減計算

王海波，余 志，蔡 銘

(中山大學工學院 廣東省智能交通重點實驗室,廣州 510006)

聲線束追蹤法(Beam Tracing Method(BTM))是一種解決聲波遇到障礙物反射和衍射問題的重要方法[1]。障礙物較多時，由于聲線束追蹤法需要模擬聲波向四周發(fā)散的過程，計算量較大[1，2]。為此，需要進行空間剖分對相應空間進行剖分以降低計算量。對于聲波在復雜的環(huán)境中快速地完成遞歸幾何運算，國外部分學者提出了先將計算區(qū)域進行子空間劃分，再采用聲線束追蹤法和鏡像法相結(jié)合的辦法[3]。還有學者采用二分空間法（Binary Space Partition）[4]對所在空間預處理成凸多邊形，在有序的凸多邊形環(huán)境中進行聲線束追蹤[5，6]。國內(nèi)也有對三維空間聲傳播正三棱錐前向伸展算法[7]和差值算法的研究[8，9]。另外，羅威力等提出了一套動態(tài)交通噪聲模擬方法，應用Delaunnay三角剖分對二維空間進行了剖分快速生成聲線束路徑[10]。這些研究在算法上提出空間剖分方法，處理一些實際問題，但均沒能解決大區(qū)域全三維空間復雜聲傳播的問題。

空間剖分是處理復雜空間結(jié)構(gòu)并提供拓撲連續(xù)性建模的重要手段[11]，廣泛應用于圖像處理[12]和三維實體建模[13]等領(lǐng)域，尚未在文獻中發(fā)現(xiàn)被應用于三維聲線束追蹤的路徑生成。本文采用兩種剖分方式把空間剖分成三棱柱和四面體空間網(wǎng)絡，把需要全局搜索的聲線束追蹤轉(zhuǎn)換為局部搜索，從而起到加速追蹤聲線束追蹤的作用。在生成基本空間結(jié)構(gòu)后，遞歸地構(gòu)建聲線束樹形結(jié)構(gòu)。對每一對聲源點和接收點，通過聲線束追蹤法在生成聲音傳播路徑并應用聲音傳播衰減模型進行計算。本文處理兩種剖分的實際問題，分析兩種方法的時間復雜度，通過實驗對算法的準確度和可行性進行驗證，對兩種方法的計算精度進行比較，并對方法的適用性、局限性和誤差進行討論。

1 三維空間剖分

通過空間剖分、聲線束追蹤和路徑生成三個階段來確定聲音的具體傳播過程。

空間剖分將含有障礙物的空間剖分成基本結(jié)構(gòu)體網(wǎng)格，使聲線束追蹤過程從全局縮小為局部，加速聲線樹樹形結(jié)構(gòu)的構(gòu)建，起到加速追蹤聲線束追蹤的作用。

1.1 三棱柱空間剖分

三棱柱空間剖分是一種基于三角剖分方法[14]的空間剖分方法。對障礙物區(qū)域進行平面三角剖分后，依據(jù)障礙物的高度拉伸各三角形，形成不同高度的三棱柱空間體。

三棱柱空間剖分需要解決立面是否為障礙物表面和同一障礙物不同高度等問題。

立面是否為障礙物表面。對數(shù)據(jù)庫中障礙物端角點排序并標記障礙物所有立面，查找立面兩邊頂端角點判斷其是否為障礙物內(nèi)部，在則確定虛擬立面。

同一障礙物不同高度。切分并對切分后障礙物進行微偏移處理，切割立面即為虛擬障礙物立面，計算中使其不具備聲音傳播媒介功能。

1.2 四面體空間剖分

采用的逐點插入法構(gòu)建非約束Delaunay四面體網(wǎng)時。在非約束Delaunay四面體網(wǎng)構(gòu)中插入障礙物約束（邊和面），在影響區(qū)域二次剖分，形成約束Delaunay四面體網(wǎng)格。

Delaunnay四面體空間剖分應用于障礙物群場景時，因?qū)嶋H條件的特殊性，需要對五點共球、約束條件恢復等進行處理：

五點共球問題。三維障礙物群和聲源點形成的凸殼中，約束條件是矩形或是長方體時，會出現(xiàn)五點共球的情況，使得最優(yōu)剖分結(jié)果有多種。在Delaunnay四面體剖分過程中，會產(chǎn)生剖分不唯一的問題出現(xiàn)。在實際操作中，采用順序編號法進行解決。

約束邊恢復問題。在剖分過程中，障礙物也內(nèi)部被剖分，需要進行約束條件恢復。研究采用數(shù)據(jù)庫自動更新的方式，在剖分過程中動態(tài)匹配數(shù)據(jù)庫中的相應約束情況，在程序中添加控制代碼檢測插入點，判斷形成的剖分邊界是否為約束條件，并進行恢復處理。

1.3 時空效率比較

基于兩種不同剖分方法的聲線束追蹤法具有不同的時間空間效率，其時間代價分為接收點網(wǎng)格生成、聲源點網(wǎng)格生成、剖分單元生成、路徑生成和聲衰減計算五個部分，對于數(shù)據(jù)存儲，則對接收點網(wǎng)格、聲源點網(wǎng)格、剖分結(jié)構(gòu)體和衰減計算結(jié)果有空間要求。兩種剖分方式下的追蹤方法時間復雜度和數(shù)據(jù)空間使用情況如表1所示。

表1 時間復雜度和數(shù)據(jù)庫空間使用

兩種剖分方式的聲線束追蹤法，在同一條件下接收點和聲源點網(wǎng)格劃分相同，其時間復雜度和空間數(shù)據(jù)庫使用情況相同，S-R聲衰減計算部分其時間和空間存儲數(shù)據(jù)也相同。對每一個接收點判斷接收點是否在建筑物內(nèi)時間復雜度為O(R×B)，需要3×R×64 bits空間。聲源點網(wǎng)格生成時間復雜度正比于Link的數(shù)目，在數(shù)據(jù)庫體現(xiàn)為三個double型坐標，和兩個Node的編號（整型），即3×S×64+2×S×16空間。路徑生成過程要循環(huán)聲線束樹形結(jié)構(gòu)中所有的節(jié)點，當找到所有的有效路徑后，S-R衰減對計算時間為O(S×R)，并需要S×R×16空間。

兩種剖分方式基本剖分單元不同，結(jié)構(gòu)體生成過程時間復雜度為空間剖分時間與模擬障礙物和聲源點插入時間的總和，兩種方法分別是O(2BPlogP)+O(BL)和O(3BPlogP)+O(BL)；三棱柱剖分中，空間存儲P個點由2n-2-k個三角形組成，共有3n-3-k條邊，數(shù)據(jù)庫中需要占用2×O(P)×7×16+3×O(P)×6×16空間，相應的四面體空間則需要3×O(P)×7×64+9×O(P)×6×64。

基于三棱柱的剖分方式在時間和存儲空間上優(yōu)于基于四面體的空間剖分方式。其優(yōu)勢體現(xiàn)在剖分結(jié)構(gòu)體生成部分。

2 聲線束追蹤和路徑生成

2.1 聲線束追蹤

形成基本剖分結(jié)構(gòu)體網(wǎng)后，聲線束追蹤法通過生成的剖分結(jié)構(gòu)體網(wǎng)格進行傳播和追蹤，在聲線束傳播過程中，記錄聲線束傳播約束條件的編號根據(jù)傳播過程進行更新。

以二維聲線束追蹤為例，當聲線束從一個三角形的邊傳入新的一個三角形，當前的聲線束根據(jù)可到達區(qū)域邊界剪裁；當遇到約束邊時，聲線束會被反射；當遇到角點時，產(chǎn)生衍射聲束；聲線束隨著剖分結(jié)構(gòu)附帶“上層”基因并標識是否由衍射或反射產(chǎn)生。聲線束開始于聲源點所在的結(jié)構(gòu)體，根據(jù)剖分結(jié)構(gòu)體網(wǎng)的拓撲關(guān)系遞歸追蹤。本文采用樹形結(jié)構(gòu)體表示和存儲這個追蹤過程。樹形結(jié)構(gòu)節(jié)點存儲的數(shù)據(jù)包括：當前四面體編號、當前邊編號、當前面編號、反射次數(shù)、聲源點或虛聲源點坐標和衍射點位置。圖1表示了聲線束追蹤過程。

2.2 路徑生成

圖1 基于空間剖分的聲線束追蹤法追蹤

對于每一對接收點和聲源點，它們之間可能有很多條路徑，包括直射、反射、衍射和各種復合情況。所有路徑可通過聲線樹形結(jié)構(gòu)體快速找到。首先找出接受點所在的結(jié)構(gòu)體。然后枚舉樹形結(jié)構(gòu)體中所有的節(jié)點，找到符合追蹤條件的目標節(jié)點直至追蹤結(jié)束。在路徑生成的過程中，需要對聲線束追蹤中經(jīng)過的約束邊或面以及影響四面體進行記錄。當目標節(jié)點找到后，就能相應生成一條從聲源點到接收點的三維有效路徑。

在圖1所示的例子中，可以找到從聲源點S到接收點R的一條路徑可以描述為

4(S)→a,D→12→d→12→e→15→f,C→9(R)

3 聲音傳播模型

聲線束追蹤法被用來快速生成由聲音傳播所有有效路徑。對于任一接收點P，所有的有效路徑中的聲線可以分成4類：直射聲線、反射聲線、衍射聲線和包含反射和衍射的復合聲線。根據(jù)相關(guān)經(jīng)驗[15]，反射次數(shù)取2次。

在任一時間步長t，接收點P處的聲強是所有這些路徑的貢獻總和，如公式

4 點聲源聲音傳播實例

4.1 基本參數(shù)

實驗選取廣州大學城電信大樓和城管委員會大樓（27 m）區(qū)域，電信大樓呈L形，有三個不同高度（24 m、10 m、30 m）。的建筑物布局、實驗監(jiān)測點和聲源點位置如圖2所示。

實例計算過程設定表面反射系數(shù)設為0.8，反射最大次數(shù)為3次。聲源為單點定頻率聲源，由發(fā)聲裝置發(fā)出，無聲源指向性，在空曠空間7.5 m處測得聲壓級為79.5 dB，高度為0 m，頻率為630 Hz。測得實驗背景聲為40 dB。

4.2 實例計算結(jié)果及效率分析

圖2 障礙物示意圖及點位信息（單位m）

算例得到了在典型區(qū)域內(nèi)的單點聲源聲音傳播分布，研究選取高度分別為1.2 m和3 m兩個平面進行分析。圖3為兩種不同剖分形式下，該區(qū)域3 m高度水平面聲場分布情況，兩種方式下平均聲強分別為67.3 dB、和65.6 dB。

計算過程中，基于不同剖分方式的兩種方法的參數(shù)比較如表2所示。

從圖3可以看出，點聲源發(fā)出球面波系由一半徑固定的脈動球產(chǎn)生，其衰減特性與接收點距離有關(guān)；聲波傳到第二媒介（障礙物）由分界處產(chǎn)生反射，附近區(qū)域聲場由聲源傳來的直達聲和來自虛聲源的聲迭加求出，聲壓級大于同距離下的只有直射區(qū)域；經(jīng)過障礙物邊界時，聲波發(fā)生衍射，聲壓級由邊界向內(nèi)部遞減，在障礙物背后的邊緣附近生成聲影區(qū)。計算數(shù)據(jù)表明，基于三棱柱剖分和四面體剖分的聲線束追蹤法均能對建筑物區(qū)域聲衰減進行計算，并能很好的符合聲音的衰減規(guī)律。

圖3 三棱柱（上）和四面體（下）剖分下試驗區(qū)域聲場分布

由表2可知，基于三棱柱剖分的聲線束追蹤法在時間和空間效率上明顯優(yōu)于基于四面體的聲線束追蹤法。時間上，兩種方法計算用時均遠大于剖分用時，這是由于實例中障礙物和接收點數(shù)目比較少，剖分的方式比較簡單，而四面體剖分方法剖分單元更細，剖分過程以及在剖分結(jié)構(gòu)體中尋找路徑是其耗時較多。存儲空間上，四面體剖分具有更大數(shù)量的剖分單元體結(jié)構(gòu)及可能路徑，這使得其需要空間較三棱柱剖分多。

4.3 計算和實測數(shù)據(jù)比較

試驗區(qū)域監(jiān)測點在高度為1 m和3 m的計算和實測數(shù)據(jù)如表3、表4所示。

兩種不同剖分方式下，聲線束追蹤法計算結(jié)果在1.2 m處的誤差均值為1.22 dB和1.02 dB，而在3 m處，其誤差均值為1.6 dB和1.31 dB。兩種方法實測的6個數(shù)據(jù)點的誤差絕對值不大于3 dB，且平均誤差都控制在1～1.5 dB，兩種方法均符合精度要求，在計算3維聲傳播問題時有良好的表現(xiàn)。

4.4 精度分析

兩種計算方法和實測值在監(jiān)測點在不同高度的數(shù)據(jù)對比趨勢如圖4和圖5所示，圖中基于三棱柱和四面體的聲線束追蹤兩種方法分別用“方法一”和“方法二”表示。

圖4和5顯示兩種方法誤差均控制在3 dB以內(nèi)，能很好的描述障礙物下的三維聲場分布。距離聲源點越近，其路徑所經(jīng)過的不必要的剖分單元越多，計算偏差越大，造成兩種方法均呈現(xiàn)絕對誤差隨著接收點遠離聲源點而減少的趨勢。

表2 不同方式剖分方法實例計算數(shù)據(jù)比較

表3 實測和計算數(shù)據(jù)(H=1.2 m,單位：dB(A))

表4 實測和計算數(shù)據(jù)(H=3 m,單位：dB(A))

圖4 實驗區(qū)域1.2 m數(shù)據(jù)及誤差對比

圖5 試驗區(qū)域3 m數(shù)據(jù)及誤差對比

對于監(jiān)測點1、2、3、4，在直射區(qū)和反射區(qū)，兩種計算方法的誤差在0.5 dB和2.5 dB之間，計算精度相當且計算結(jié)果都大于實測值，剖分結(jié)構(gòu)的細化并沒帶來計算精度上的提高；所采用的恒定波束形成依賴于剖分結(jié)構(gòu)，四面體結(jié)構(gòu)的復雜性使得在處理簡單問題的情況下比三棱柱結(jié)構(gòu)有更多的誤差積累，使得其誤差反而較三棱柱剖分更大；對于監(jiān)測點5、6，處于聲衍射區(qū)，衍射路徑包括頂端衍射和邊角衍射，基于三棱柱剖分的聲線束追蹤法計算結(jié)果小于實測值，而基于四面體剖分的聲線束追蹤法計算結(jié)果則更接近實測值，其計算結(jié)果的精確性來源于剖分結(jié)構(gòu)更細微合理，能更好的模擬聲音在障礙物聲影區(qū)細致的傳播過程。

三棱柱剖分方式和四面體剖分方式1.2 m處計算值與測量值的標準差分別為1.22和1.09，3 m處的標準差為1.72和1.45。且四面體剖分方式下誤差變動均為正值，其穩(wěn)定性高于三棱柱剖分。

4.5 局限性分析

三棱柱剖分是基于三角剖分然后拉伸立面的剖分方法，在障礙物出現(xiàn)不規(guī)則形狀（如頂端尖角等）時，剖分會遇到障礙，四面體剖分則解決了這一問題，滿足聲傳播更為復雜的環(huán)境。兩種方法均不能對弧形障礙物的聲遮擋做出準確的計算。

5 結(jié)語

本文提出一種基于空間剖分的聲線束追蹤算法，該算法避免全局空間搜索，通過樹形結(jié)構(gòu)局部搜索并生成聲線束路徑，大大簡化了算法的復雜性；另外，對比三棱柱和四面體兩種剖分方式，其在時間、存儲空間、精度和局限性上表現(xiàn)為：兩種方法都能滿足大區(qū)域聲傳播計算的精度，基于三棱柱剖分的聲線追蹤法具有明顯的時間和存儲空間優(yōu)勢，能精確的計算障礙物遮擋后聲場分布，基于四面體剖分的聲線束追蹤法則在衍射區(qū)域計算、穩(wěn)定性和適用性上優(yōu)于前者。算法可應用與大區(qū)域聲傳播計算

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