概率的五個常識

萬維鋼

很久以前，美國一家媒體提出了一個有趣的問題，主持人指著三扇關(guān)著的房門對觀眾說：“每一扇房門后面都有一件東西，其中一扇門后面是汽車，另外兩扇門后面各有一只山羊。你可以隨意打開一扇，后面的東西就歸你了（當(dāng)然你最想得到的是汽車）?！碑?dāng)你選定一扇門，如1號門（但未打開），這時主持人讓人打開了有山羊的另一扇門，假定是3號門，然后再給你一次機(jī)會，允許你改變原來的選擇。這時，你為了得到汽車是堅持1號門還是改選2號門？

當(dāng)問題及答案公諸于眾后引發(fā)了出乎意料的轟動，大家給出了不盡相同的答案（當(dāng)然正確的答案是唯一的）。此時，無論是1號門還是2號門，后面都有可能是汽車，看上去好像每一個都是一半的幾率，但從主持人的角度看，他不會讓你輕易就得到汽車，于是打開3號門來迷惑你，讓你放棄1號門。由此看出，1號門后是汽車的幾率會大一點。

如果能從主持人的話語中判斷出他沒有這種想法，則我們可以這樣思考。將1號門看成一部分，里面有汽車的概率為0.33，將2號門和3號門看成另一部分，里面有汽車的概率為0.67。當(dāng)發(fā)現(xiàn)3號門里沒有汽車時，則1號門和2號門有汽車的概率分別為0.33和0.67。因此，選擇2號門比較理智。

稍加留意你就會發(fā)現(xiàn)，如果利用概率統(tǒng)計提供的科學(xué)思維方法就可能大大提高獲勝的幾率。然而對日常生活來說，即使我們掌握了概率計算方法，也并不等于能真正理解概率。

隨機(jī)：偶然錯誤不值得深究

概率論最基礎(chǔ)的思想是，有些事情無緣無故就發(fā)生了。這個思想對我們的世界觀具有顛覆性的意義。古人沒有這個思想，認(rèn)為發(fā)生的一切事情都是有原因的，甚至都是有目的的，但實際上真實世界充滿了不可控的偶然。

如果一個人考上了好大學(xué)，人們會說這是他努力學(xué)習(xí)的結(jié)果；如果一個人事業(yè)成功，人們會說這是他努力工作的結(jié)果?？墒侨绻粋€人中了彩票大獎，這又是為什么呢？答案就是沒有任何原因，這完全是一個隨機(jī)事件。

如果一個人總買彩票，他中獎的概率可能會比別人大。但是當(dāng)他跟數(shù)千萬人一起面對這特定的一次開獎的時候，他不具有任何優(yōu)勢。中獎，既不是他自己有什么努力，也不是“上天”對他有所“垂青”。這是“隨機(jī)”發(fā)生的，你沒有任何辦法左右結(jié)果。

大多數(shù)事情并不是完全的隨機(jī)事件，卻都有一定的隨機(jī)因素。偶然和必然如果結(jié)合在一起，就沒那么容易理解了。

體育比賽是最典型的例子。球隊贏了球，人人有功；球隊輸了球，人人有責(zé)，里里外外都要進(jìn)行反思。但比賽其實是充滿偶然的事件，你所能做的只是盡可能地爭取勝利。哪怕你準(zhǔn)備得再好，總有一些因素是不確定的，也就是我們通常說的運氣。

理解隨機(jī)性，我們就知道有些事情發(fā)生就發(fā)生了，沒有什么可供解讀的意義。比如現(xiàn)代民航客機(jī)已經(jīng)做得非常安全了，但再完美的交通工具也不可能百分百安全。那你會因為這極小的事故概率而不坐飛機(jī)嗎？我們只要確定事故概率比其他旅行方式更低就可以了。

一般管理者有個常見的思維模式，一旦出了事就必須全體反思，制定相關(guān)政策以避免類似事故再次發(fā)生。但極小概率的事故其實是不值得過度反應(yīng)的，哪怕是因為員工犯了錯而引起的也沒必要如此。37signals公司的兩位創(chuàng)始人強(qiáng)調(diào)，不要一看到有人犯錯就大張旗鼓地制定政策來糾正錯誤。那樣只會把錯誤變成永久的傷疤，而且讓公司越來越官僚主義。正確的辦法是告訴犯錯的員工這是一個錯誤，然后就完了。

誤差：測量結(jié)果并不是真實答案

既然絕大多數(shù)事情都同時包含偶然因素和必然因素，我們自然就想排除偶然去發(fā)現(xiàn)背后的必然。偶然的失敗和成就不值得大驚小怪，我根據(jù)必然因素去做判斷，這總可以吧？

可以，但是你必須理解誤差。歷史上最早的科學(xué)家曾經(jīng)不承認(rèn)實驗可以有誤差，認(rèn)為所有測量都必須是精確的，把任何誤差都?xì)w結(jié)于錯誤。后來人們才慢慢意識到偶然因素永遠(yuǎn)存在，實驗條件再精確也無法完全避免隨機(jī)干擾的影響。所以做科學(xué)實驗往往要測量多次，用取平均值之類的統(tǒng)計手段來得出結(jié)果。

國際足聯(lián)的世界排名就是根據(jù)各國球隊多次比賽的成績，然后采用加權(quán)平均的辦法統(tǒng)計出來的。所以這個排名就比一兩次比賽的勝負(fù)，甚至世界杯賽事的名次更能說明球隊的實力。但即便如此，我們也不能說國際足聯(lián)排名就是各個球隊的“真實實力”。因為各隊畢竟只進(jìn)行了有限的多次比賽，再好的統(tǒng)計手段，也不可能把所有的偶然因素全部排除。

科學(xué)實驗亦是如此?？茖W(xué)家哪怕是測量一個定義明確的物理參數(shù)，也不可能給出最后的“真實答案”——他們總是會在測量結(jié)果上加一個誤差范圍。真實的答案當(dāng)然只有一個，它可以是這個誤差范圍內(nèi)的任何一個數(shù)字，甚至可以是誤差范圍外的一個數(shù)字。

所以“真實值”非常不易得，而且科學(xué)實驗是非常理想化的事件。世界上大多數(shù)事情根本沒機(jī)會進(jìn)行多次測量。如果只能測一次，那我們該怎么解讀這一次測量的結(jié)果呢？根據(jù)以往的經(jīng)驗，我們可以估計一個大致的誤差范圍。

有了誤差的概念，我就要學(xué)會忽略誤差范圍內(nèi)的任何波動。2014年1月，國家統(tǒng)計局公布了2013年全國居民收入基尼系數(shù)為0.473，新聞報道說，該數(shù)據(jù)雖較2012年0.474的水平略有回落，但仍顯示居民收入差距較大。這個“回落”有多大？0.001。從統(tǒng)計角度來說，這其實沒什么意義?？赡苣愕臏y量誤差就大大超過0.001。

考試成績也是如此，假設(shè)一個同學(xué)一門學(xué)科考了兩次才過，第一次57分，第二次63分。他說這是略有進(jìn)步，事實上這不叫進(jìn)步，叫在測量誤差范圍之內(nèi) 。

賭徒謬誤：多次出現(xiàn)的號碼不會再出現(xiàn)

假設(shè)你一個人在賭場賭錢，比如玩老虎機(jī)。你一上來運氣就不太好，一連輸了很多把。這時候你是否會有一種強(qiáng)烈的感覺，你很快就該贏了呢？

其實這是一種錯覺。賭博開獎是完全獨立的隨機(jī)事件，這意味著下一把的結(jié)果跟以前所有的結(jié)果沒有任何聯(lián)系，已經(jīng)發(fā)生了的事情不會影響未來。舉一個簡單的例子，假設(shè)瓶子里裝著六個球，我們把它們分別編為1～6號，每次抽取一個作為中獎號碼。每次抽獎的時候，這六個球被你抽到的機(jī)會是相等的，都是1/6?，F(xiàn)在假設(shè)前面幾期抽中6號的次數(shù)比2號多，那么這一次抽獎的時候，你是否就認(rèn)為2號被抽到的機(jī)會更大呢？不會。這些球根本不記得誰曾經(jīng)被抽到過，2號球也不會主動跑過來讓你抽。它們被抽到的概率仍然都是1/6。

概率論中有一個“大數(shù)定律”說，如果進(jìn)行足夠多次的抽獎，那么各種不同結(jié)果出現(xiàn)的頻率就會等于它們的概率——對上面這個例子來說就是，如果你抽取足夠多次，你得到2號的結(jié)果數(shù)應(yīng)該和得到6號的結(jié)果數(shù)大致相等。

但人們常常錯誤理解隨機(jī)性和大數(shù)定律，以為隨機(jī)就是均勻。如果過去一段時間內(nèi)發(fā)生的事情不那么均勻，人們就錯誤地以為未來的事情會盡量往“抹平”的方向走。但大數(shù)定律的工作機(jī)制不是跟過去平衡，而是說如果未來你再進(jìn)行多次抽獎，你會得到非常多的“2”和“6”，以至于它們此前的一點點差異變得微不足道。

曾經(jīng)有自以為懂概率的人指出，“如果2號已經(jīng)連續(xù)出現(xiàn)了3期，而6號也已經(jīng)連續(xù)出現(xiàn)了5期，則下一次中2號的概率明顯大于6號”。這其實是完全錯誤的，這就是著名的“賭徒謬誤”，全世界的賭場里每天都有人在不停地犯這個錯誤。

在沒有規(guī)律的地方發(fā)現(xiàn)規(guī)律

理解了隨機(jī)性和獨立隨機(jī)事件，我們自然就可以得到一個結(jié)論，那就是獨立隨機(jī)事件的發(fā)生是沒有規(guī)律和不可預(yù)測的。

“彩票分析學(xué)”是深受彩民喜愛的一門顯學(xué)。這門學(xué)問完全合法地出現(xiàn)在各種報刊媒體上，認(rèn)為彩票的中獎號碼跟股票一樣，存在“走勢”。它使用“雙色歷史號碼”、“余數(shù)走勢”、“五行碼”等五花八門的數(shù)字曲線，以及“奇偶分析”、“跨度分析”、“大中小分析”等方法，幫助彩民預(yù)測下一期中獎號碼。

這些分析跟賭徒謬誤不同。賭徒謬誤是認(rèn)為前面多次出現(xiàn)的號碼不會繼續(xù)出現(xiàn)，而彩票分析學(xué)是認(rèn)為中獎號碼存在“走勢”，也就是多次出現(xiàn)的組合可能會繼續(xù)出現(xiàn)，或者按照這個趨勢可以預(yù)測出下一個號碼。

但是我們知道中獎號碼是純粹的隨機(jī)現(xiàn)象，根本沒有規(guī)律。然而明明沒規(guī)律，這些彩票分析師到底是怎么看出規(guī)律的呢？

我上小學(xué)的時候，有一次數(shù)學(xué)課上講到“素數(shù)”這個概念。老師列舉素數(shù)時，班上一個同學(xué)突然非常興奮地舉手說：“我發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律?！彼f，“你看素數(shù)3、5、7、13、17、19……它們的結(jié)尾都是這幾個數(shù)字?！彼l(fā)現(xiàn)的這個“規(guī)律”其實是“除了2以外的素數(shù)都是奇數(shù)”。這的確是一個“性質(zhì)”，但并不是真正的“規(guī)律”，因為你無法用它去預(yù)測下一個素數(shù)，比如9和15都是奇數(shù)，又符合這個“規(guī)律”，卻都不是素數(shù)。

人腦很擅長理解規(guī)律，但是很不擅長理解隨機(jī)性。發(fā)現(xiàn)規(guī)律任何時候都可以幫助我們更好地生存下去，而理解隨機(jī)性卻是只在現(xiàn)代社會才有意義的一個技能。

如果數(shù)據(jù)足夠多，我們可以找到任何想要的規(guī)律，比如說圣經(jīng)密碼。有人拿圣經(jīng)做字符串游戲，在特定的位置中尋找能對應(yīng)世界大事的字母組合，并聲稱這是圣經(jīng)對后世的預(yù)言。問題是，這些“預(yù)言”可以完美地解釋已經(jīng)發(fā)生的事情，等到預(yù)測尚未發(fā)生的事情時就沒有那么好的成績了。

彩票無規(guī)律，圣經(jīng)密碼是無稽之談，那么地震發(fā)生的年份有規(guī)律嗎？

地震不是彩票，并不是完全的隨機(jī)事件。有些地區(qū)地震會比較頻繁，我們大概可以知道平均每隔多少年就會發(fā)生一次。但是這樣的“規(guī)律”是非常模糊的，就算是地震高發(fā)區(qū)也有可能連續(xù)好幾年都不地震，不常地震的地區(qū)也可能一年發(fā)生好幾次地震。

可是有一門學(xué)問卻認(rèn)為地震和各種自然災(zāi)害會嚴(yán)格按照某種數(shù)學(xué)規(guī)律發(fā)生，甚至還用研究數(shù)學(xué)——確切地說是用做數(shù)字游戲的辦法去預(yù)測地震。這個方法叫做“可公度性理論”。其實這個理論跟地震沒有任何關(guān)系，只是簡單地把一些年份數(shù)字進(jìn)行加減組合。

事實上，就算我們相信冥冥之中有一種神秘機(jī)制在左右地震，這個機(jī)制可以純粹由數(shù)學(xué)決定而跟地質(zhì)學(xué)無關(guān)，“可公度性理論”也是站不住腳的。這個理論根本就沒有一個自洽的操作規(guī)則，對一次具體的預(yù)測到底應(yīng)該采用什么數(shù)字組合，非常隨意。

小數(shù)定律：小樣本中的結(jié)果

我們知道，在數(shù)據(jù)足夠多的情況下人們可以找到任何想要的規(guī)律，只要你不在乎這些規(guī)律的嚴(yán)格性和自洽性。那么在數(shù)據(jù)足夠少的情況下又會如何呢？

人們抱著游戲或者認(rèn)真的態(tài)度總結(jié)了關(guān)于世界杯足球賽的各種“定律”。比如“巴西隊的禮物”——只要巴西奪冠，下一屆的冠軍就將是主辦大賽的東道主，除非巴西隊自己將禮物收回，這一定律在2006年被破解。另一個著名定律“1982軸心定律”——世界杯奪冠球隊以1982年世界杯為中心呈對稱分布，這個定律也在2006年被破解?！巴踔污ざ伞薄灰踔污⒓蛹竞筚?，八一隊就必然獲得總冠軍，這也已被破解。還有一些沒有被破解的定律，比如“凡是獲得了聯(lián)合會杯或者美洲杯，就別想在下一屆世界杯奪冠”，以及“0∶2落后無人翻盤定律”。

如果你仔細(xì)研究這些定律，你就會發(fā)現(xiàn)不容易破解的定律其實都有一定的道理，王治郅和八一隊都很強(qiáng)，0∶2落后的確很難翻盤，而獲得世界杯冠軍是件非常不容易的事情，更別說同時獲得聯(lián)合會杯、美洲杯和世界杯。但不容易發(fā)生不等于不會發(fā)生，它們終究將被破解。那些看似沒有道理的神奇定律，則大多已經(jīng)被破解了，之所以“神奇”，是因為純屬巧合。世界杯總共才進(jìn)行了二十多屆。只要數(shù)據(jù)足夠少，我們總能發(fā)現(xiàn)一些沒有被破解的“規(guī)律”。

如果數(shù)據(jù)少，隨機(jī)現(xiàn)象可以看上去“很不隨機(jī)”，甚至非常整齊，感覺就好像真的有規(guī)律一樣。

1940年倫敦大轟炸，當(dāng)時倫敦在德軍V2導(dǎo)彈的攻擊下?lián)p失慘重，報紙公布出標(biāo)記了所有受到轟炸地點的倫敦地圖之后，人們發(fā)現(xiàn)轟炸點的分布很不均勻。有些地區(qū)反復(fù)受到轟炸，而有些地區(qū)卻毫發(fā)無損。

難道德軍在轟炸倫敦時故意放過了某些地區(qū)嗎？

對英國軍方來說，這是一件非常恐怖的事情，因為這意味著V2導(dǎo)彈的精度比預(yù)想的要高得多，以至于德軍可以精確選擇轟炸目標(biāo)。然而事后證明V2是一個精確度相當(dāng)差的實驗性武器，德軍只能大概把它打向倫敦，而根本無法精確控制落點。也就是說倫敦各地區(qū)受到的轟炸完全是隨機(jī)的。一直到1946年，有人從數(shù)學(xué)角度分析了轟炸數(shù)據(jù)，把整個可能受到轟炸的地區(qū)分為576個小塊，發(fā)現(xiàn)其中229塊沒有受到任何轟炸，而有8個小塊受到了4 次以上的轟炸。這些數(shù)據(jù)雖然不均勻，但完全符合隨機(jī)分布。實際上科學(xué)家可以用計算機(jī)模擬的辦法得到更多“看上去很不隨機(jī)”的隨機(jī)結(jié)果。

然而問題的關(guān)鍵是，隨機(jī)分布不等于均勻分布。人們往往認(rèn)為如果是隨機(jī)的，那就應(yīng)該是均勻的，殊不知這一點僅在樣本總數(shù)非常大的時候才有效。如果統(tǒng)計數(shù)字很少，其中就很容易出現(xiàn)特別不均勻的情況。這個現(xiàn)象被諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎得主丹尼爾·卡尼曼戲稱為“小數(shù)定律”。

大數(shù)定律是我們從統(tǒng)計數(shù)字中推測真相的理論基礎(chǔ)，是說如果統(tǒng)計樣本足夠大，那么事物出現(xiàn)的頻率就能無限接近它的理論概率，也就是它的“本性”。所以如果抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn)一個地區(qū)某種疾病的發(fā)病率較高，我們就可以大致認(rèn)為這個地區(qū)的這種疾病發(fā)病率真的很高。

而小數(shù)定律說如果樣本不夠大，那么它就會表現(xiàn)為各種極端情況，而這些情況可能與本性一點關(guān)系都沒有。