復(fù)合材料抽油桿動力學(xué)分析的小波有限元法

彭惠芬，王 鵬，王 程

(1.東北石油大學(xué)機械科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江 大慶 163318;2.大慶油田有限責(zé)任公司鉆探工程公司，黑龍江 大慶 163453)

抽油桿是井下抽油系統(tǒng)中的主要工作部件，在服役期間主要承受交變載荷、動載荷及腐蝕磨損等作用，普通的鋼制抽油桿由于接箍多、摩擦阻力大、使用壽命低而不能滿足深井作業(yè)的需要。復(fù)合材料抽油桿由于具有質(zhì)量輕、比強度比模量高、耐腐蝕強、接箍少及力學(xué)性能可設(shè)計強等優(yōu)點而廣泛應(yīng)用在勝利、大慶等油田的深井作業(yè)中［1］。細長抽油桿質(zhì)量偏心、服役期間抽油桿與油管碰撞產(chǎn)生的附加動力等將嚴(yán)重影響復(fù)合材料抽油桿的使用壽命，因此對復(fù)合材料抽油桿進行動力學(xué)分析，具有十分重要的工程實際意義。為此許多科技工作者開展了相關(guān)課題的研究，采用的方法主要包括解析法、有限元法和其它數(shù)值計算方法［2-4］。然而由于復(fù)合材料具有各向異性、結(jié)構(gòu)復(fù)雜等特點，使傳統(tǒng)有限單元數(shù)值模擬帶來許多困難。小波有限元法是近年發(fā)展起來的一種新的數(shù)值計算方法［5-8］，以小波尺度函數(shù)或小波函數(shù)作為插值函數(shù)，具有待定系數(shù)少、逼近精度高、局部化性能強和多分辨分析等特性，可彌補傳統(tǒng)有限元在復(fù)合材料數(shù)值計算中的不足［9-10］。本文采用小波有限元和振動理論相結(jié)合的方法，利用小波尺度函數(shù)逼近精度高、多分辨率的特點，將小波有限元應(yīng)用于復(fù)合材料數(shù)值分析中，建立了復(fù)合材料抽油桿小波有限元模型，模擬結(jié)果表明:小波有限元可用較少單元獲得較高計算精度，為復(fù)合材料數(shù)值計算提供一種新的數(shù)值計算方法。

1 小波梁單元剛度方程的推導(dǎo)

由材料力學(xué)可知，圖1所示小波梁單元勢能泛函為:

式中:le—單元長度，le=b－a，a和b分別為單元起始和終點坐標(biāo);pj—集中載荷;q(x)—載荷集度;EI—小波梁單元的等效抗彎剛度;xj—集中載荷作用點的坐標(biāo)值;w(x)—小波梁單元中面的撓度函數(shù);Mk—集中彎矩—集中彎矩作用處的轉(zhuǎn)角值。

采用小波尺度函數(shù)插值，小波梁單元位移函數(shù)為

標(biāo)準(zhǔn)求解域ξ∈［0，1］上小波梁單元節(jié)點排列見圖2，圖中節(jié)點總數(shù)為n+1，總自由度數(shù)為n+3(n=2j+m－4，式中m、j分別為小波尺度函數(shù)的階數(shù)和尺度)。

將式(2)代入式(1)，由變分原理，令δ∏p=0，有

2 復(fù)合材料抽油桿數(shù)值仿真

復(fù)合材料抽油桿由剛性纖維和樹脂基體組成，其橫截面為矩形(36.80 mm×5.38 mm)，長度為L=600 m，剛性纖維材料性能參數(shù)為:彈性模量E1=379 GPa、泊松比0.3、密度為1 590 kg/m3;樹脂基體材料性能參數(shù)為:彈性模量E2=60 GPa、泊松比0.3、密度為1 180 kg/m3。

由于復(fù)合材料抽油桿的橫向振動較為復(fù)雜，為簡化計算作如下假設(shè):纖維增強復(fù)合材料為均質(zhì)、各向同性的彈性直桿;纖維成矩形陣列排列;假定接觸界面完好，沒有初始裂紋及缺陷;忽略抽油桿振動過程中轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形的影響。在上述假設(shè)基礎(chǔ)上，選取復(fù)合材料整體抽油桿為對象，根據(jù)復(fù)合材料抽油桿在油井中實際工況將抽油桿簡化為兩端鉸接的細長梁并忽略橫向阻尼系數(shù)的影響，分別采用10個m=4、尺度分別為j=2和j=3的小波梁單元求解。

表1給出了采用不同數(shù)值方法計算復(fù)合材料抽油桿最大橫向位移與理論值的比較。

表1 不同單元求解最大橫向位移結(jié)果與理論解的相對誤差比較

從表1中可以看出:40個4階3尺度復(fù)合材料小波梁單元求解結(jié)果優(yōu)于240個BEAM3單元，與1 600個BEAM3單元計算結(jié)果吻合較好;復(fù)合材料小波梁單元計算精度隨著小波函數(shù)分析尺度的增加而提高，4階3尺度復(fù)合材料小波梁單元數(shù)值模擬結(jié)果與理論解相對誤差最小為1.004，這充分體現(xiàn)小波有限元法可用較少單元和自由度數(shù)獲得較高計算精度。

表2為復(fù)合材料抽油桿模態(tài)分析結(jié)果。

表2 復(fù)合材料抽油桿模態(tài)分析結(jié)果

從表2中可以看出:復(fù)合材料抽油桿前八階固有頻率數(shù)值較小，而振幅數(shù)值較大，其中一階模態(tài)固有頻率數(shù)值最小為0.010 1 Hz，振幅最大數(shù)值為0.108 4 m。這表明抽油機低轉(zhuǎn)速運轉(zhuǎn)情況下易于激發(fā)共振，使復(fù)合材料抽油桿產(chǎn)生很大橫向變形，導(dǎo)致抽油桿與套管產(chǎn)生偏磨。因此，復(fù)合材料抽油桿橫向固有振動特性研究為復(fù)合材料抽油桿合理結(jié)構(gòu)設(shè)計及電機轉(zhuǎn)速控制提供理論依據(jù)。

3 結(jié)論

將小波有限元應(yīng)用于復(fù)合材料數(shù)值計算中，推導(dǎo)了復(fù)合材料小波梁單元剛度矩陣，通過數(shù)值模擬獲得了復(fù)合材料抽油桿橫向振動前八階固有頻率和振幅，從結(jié)果分析中可獲得如下結(jié)論:

1)本文建立的小波數(shù)值分析方法合理、可行，并具有較高的數(shù)值計算精度;

2)不同數(shù)值計算方法與理論解比較表明:本文構(gòu)造的復(fù)合材料小波梁單元求解橫向位移結(jié)果與理論解相對誤差最小，這表明小波有限元可用較少單元和自由度數(shù)獲得較高計算精度;

3)通過模態(tài)分析，獲得了復(fù)合材料抽油桿橫向振動前八階固有頻率和振幅，分析表明各階固有頻率數(shù)值較低，易于激發(fā)共振，導(dǎo)致桿管偏磨。

［1］劉建軍，王延相，陳厚，等.碳纖維/環(huán)氧樹脂復(fù)合材料連續(xù)抽油桿的研制［J］.工程塑料應(yīng)用，2002，30(5):32－34.

［2］龍馭球.新型有限元論［M］.北京:青華大學(xué)出版社，2004.

［3］張志民.復(fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué)［M］.北京:北京航空航天大學(xué)出版社，1993.

［4］沈真，楊勝春.飛機結(jié)構(gòu)用復(fù)合材料的力學(xué)性能要求［J］.材料工程，2007(增刊1):248－252.

［5］WILLIAMS JR，AMARATUNGA K.Introduction to wavelets in engineering［J］.International Journal for Numerical Methods in Engineering，1994(37):2365 －2388.

［6］陳雅琴，張宏光，黨發(fā)寧.Daubechies條件小波混合有限元法在梁計算中的應(yīng)用［J］.工程力學(xué)，2011，28(8):208－214.

［7］Zhao XL，Zhang L.State-of-the-art review on FRP strengthened steel structures［J］.Engineering Structures，2007，29(8):1808－1823.

［8］秦榮.結(jié)構(gòu)力學(xué)的樣條函數(shù)方法［M］.南寧:廣西人民出版社，1985.

［9］何正嘉，陳雪峰，李兵，等.小波有限元理論及其工程應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2006.

［10］陳雪峰，向家偉，董洪波，等.基于區(qū)間B樣條小波有限元的轉(zhuǎn)子裂紋定量識別［J］.機械工程學(xué)報，2007，43(3):123－127.