透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)

著名數(shù)學(xué)家G·波利亞認(rèn)為：掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題. 如何提高我們的解題能力？這是我們所期待的. 正確解題的關(guān)鍵是要善于挖掘和靈活處置問(wèn)題中的隱含條件，我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)這種“透過(guò)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)本質(zhì)”，挖掘隱含條件的能力，這樣才能提高解題的正確率.

在高一的一次聯(lián)考試卷中筆者出了這樣的一道題：

如圖1所示，在等邊△ABC中，AB=a，O為三角形的中心，過(guò)O的直線交AB于M，交AC于N，（1）設(shè)■=m■，■=n■，求■+■的值；

（2）求■+■的最大值和最小值.

■

圖1

因?yàn)殚_(kāi)學(xué)初到月考時(shí)間不長(zhǎng)，所學(xué)內(nèi)容只有“平面向量”和“解三角形”，而且又作為考試的最后一題，本來(lái)原題是只求第（2）問(wèn)中■+■的最大值和最小值. 考慮到很多同學(xué)沒(méi)有思路，可能得分很低，甚至不能得分，所以添了第（1）問(wèn)“求■+■的值”. 因?yàn)榍安痪玫睦}中剛出現(xiàn)過(guò)這樣的一道題：“經(jīng)過(guò)△OAB的重心G的直線l與OA，OB兩邊分別交于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)■=m■，■=n■，則■+■=_________.”

這樣的話筆者想，第（1）問(wèn)應(yīng)該沒(méi)問(wèn)題，基本上都能得到正確答案.

出乎意料的是，第（1）問(wèn)的得分依然不高，更甚至有同學(xué)連答案都寫(xiě)不出，第（2）問(wèn)更離譜，很少有學(xué)生能解出正確答案來(lái). 主要差錯(cuò)是解第（1）問(wèn)時(shí)，想不到“正三角形的中心也是它的重心，而且如圖1所示的O為三角形的中心，則■=■（■+■）”，抓不住問(wèn)題的本質(zhì)；第（2）問(wèn)很多同學(xué)試圖利用（1）中的結(jié)論，從向量出發(fā)，先求出■+■，再來(lái)求最值. 實(shí)際上對(duì)于第（2）問(wèn)，很多同學(xué)不會(huì)化簡(jiǎn)變形■+■的表達(dá)式，即使稍作化簡(jiǎn)的也不能求出最值. 當(dāng)然，對(duì)于這樣的兩問(wèn)放在同一個(gè)題目中是否合適確實(shí)也值得商榷. 跳開(kāi)這一點(diǎn)，從同學(xué)們的答題情況來(lái)分析，大多數(shù)同學(xué)都受思維定式的影響：解綜合題時(shí)上一問(wèn)的結(jié)論對(duì)下一問(wèn)一定是有用的. 實(shí)際上，本題中的（1）（2）問(wèn)之間的聯(lián)系不大，用（1）問(wèn)中■+■=3去解第（2）問(wèn)會(huì)使運(yùn)算煩瑣，并且技巧性很強(qiáng). 很多同學(xué)都是這樣來(lái)解的：■2=（■-■）2=（m■-■）2=m2■2-2m■·■+■2=m2a2-2ma×■a×■+■=m2-m+■a2.

同理可得：

■2=（■-■）2=（n■-■）2=n2■2-2n■·■+■2=n2-n+■a2，所以■+■=■■+■（？鄢）.

接下來(lái)就不知道怎么做或取幾個(gè)特殊值找出大概的特殊值，因此出現(xiàn)了一部分過(guò)程錯(cuò)或根本沒(méi)有過(guò)程但答案正確的情況. 受第（1）問(wèn)的影響，利用向量能解出答案嗎？其實(shí)用上第（1）問(wèn)中的■+■=3，代入上述表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，也可以繼續(xù)解下去.

解：因?yàn)椤?■=3，所以m+n=3mn，對(duì)上述（？鄢）式通分，分子為m2-m+■+n2-n+■=m2+n2-m-n+■=（m+n）2-2mn-（m+n）+■=9（mn）2-2mn-3mn+■=9（mn）2-5mn+■=mn-■（9mn-2）.

分母為：m2-m+■·n2-n+■=m2n2-m2n+■-mn2+mn-■+■-■+■=（mn）2-mn（m+n）+■+mn-■+■=（mn）2-3（mn）2+■+■=（mn）2-■mn+■=mn-■■，所以可得■+■=■·■+■=■×■=■×■=■×■=■×■=■·1+■=■+■. 因?yàn)椤?■=3，所以m+n=3mn，所以（3n-1）m=n？圯m=■，所以mn=■=■=■. 因?yàn)椤觥躰≤1，所以1≤■≤2，結(jié)合二次函數(shù)圖象可得：當(dāng)■=1或2，即n=1或■時(shí)，（mn）max=■，從而■+■min=■+■×2=■；當(dāng)■=■，即n=■時(shí)，（mn）min=■，從而■+■max=■+■=■.

第（2）問(wèn)從向量角度考慮明顯復(fù)雜，但只要有扎實(shí)的基本功，耐心地算下去也能得出正確解答. 其實(shí)再回頭來(lái)考慮第（2）問(wèn)，要求“■+■的最大、最小值”，首先把■+■的表達(dá)式寫(xiě)出來(lái)，再利用求最值的方法來(lái)求解，思路很清晰. 仔細(xì)剖析，注意到OM，ON分別在△AOM和△AON中，而且這兩個(gè)三角形的頂角∠MAO=∠NAO=30°，設(shè)∠MOA=α，則∠NOA=180°-α，因此還可以利用正弦定理來(lái)解.

在本題中，很多同學(xué)沒(méi)有抓住∠MOA和∠NOA互補(bǔ)這一隱含條件，只局限于向量方法，給解題帶來(lái)困難. 我們應(yīng)該如何提高解這種類(lèi)型的數(shù)學(xué)題的正確率呢？正確解題的關(guān)鍵是要善于挖掘和靈活處置問(wèn)題中的隱含條件. 只有對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)概念、符號(hào)、關(guān)系式的意義及有關(guān)知識(shí)的縱橫聯(lián)系做到心中有數(shù)、熟練掌握、靈活運(yùn)用，才能不被表象迷惑，才能抓住題目的本質(zhì)，全面理解所給數(shù)學(xué)材料，正確解題.

■從概念特征挖掘隱含條件

很多數(shù)學(xué)概念本身就有其特殊性，譬如：數(shù)列是定義在正整數(shù)集或它的有限子集上的一種特殊函數(shù)；三角函數(shù)中的正、余弦的有界性：-1≤sinα≤1，-1≤cosα≤1；向量中特殊的零向量；集合問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)涉及空集……限于篇幅，這里取三個(gè)例題示意.

1. 數(shù)列定義域的特殊性

例1 已知an=n2+λn，且數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________.

很多同學(xué)會(huì)這樣解：an=n2+λn=n+■■-■，要使{an}是單調(diào)遞增的，所以對(duì)稱(chēng)軸-■≤1，從而λ≥-2. 其實(shí)本題中隱含著n∈N*，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它的定義域是正整數(shù)集或它的有限子集，圖象由一些孤立點(diǎn)組成，因此只需-■<■，從而正確答案是λ>-3. 當(dāng)然本題還可以從條件“{an}是單調(diào)遞增數(shù)列”出發(fā)來(lái)解.

另解：因{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an+1>an對(duì)？坌n∈N*恒成立？圯（n+1）2+λ（n+1）>n2+λn？圯λ>（-2n-1）max？圯λ>-3.

2. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義endprint

例2 方程■=x+y-2表示的曲線是___________.

本題若通過(guò)化簡(jiǎn)方程，與常見(jiàn)的曲線方程進(jìn)行比較，得出曲線形狀，運(yùn)算量大，結(jié)果也并不直觀. 應(yīng)跳出定式思維，注意方程的特點(diǎn)，觀察特征，聯(lián)系到圓錐曲線的統(tǒng)一定義. 方程可變形為：

■=■，即平面上點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)（-1，-1）的距離與到直線x+y-2=0的距離之比為■，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知，該方程表示的曲線為雙曲線.

3. 三角函數(shù)的有界性：-1≤sinα≤1，-1≤cosα≤1

例3 已知sinx+siny=■，求t=sinx-cos2y的最值.

錯(cuò)解：由已知條件可得：sinx=■-siny，所以t=sinx-cos2y=■-siny-cos2y=■-siny-（1-sin2y）=sin2y-siny-■=siny-■■-■. 又-1≤siny≤1，所以當(dāng)siny=■時(shí)，t的最小值為-■；當(dāng)siny=-1時(shí)，t的最大值為■.

很多同學(xué)在解本題時(shí)只關(guān)注了 -1≤siny≤1，忽略sinx+siny=■這一隱含條件，事實(shí)上，-1≤siny≤1，-1≤■-siny≤1？圯-■≤siny≤1，因此，當(dāng)siny=■時(shí)，t的最小值為-■；當(dāng)siny=-■時(shí)，t的最大值為■.

■從題目條件挖掘隱含條件

1. 思維嚴(yán)密，判斷完整

例4 在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sinBsinC，則△ABC的形狀為_(kāi)___.

結(jié)合正弦定理可得：a2=bc，所以4a2=（b+c）2=4bc？圯（b-c）2=0？圯b=c，看似答案是“等腰三角形”，實(shí)際上再代入到2a=b+c中，進(jìn)一步可得a=b=c，所以正確答案是“等邊三角形”. 因此要挖掘條件，用好、用透題中已知條件，判斷完整.

2. 用好“遞進(jìn)式”問(wèn)題間的關(guān)系

例5 在△ABC中，已知■·■=3■·■.

（1）求證：tanB=3tanA；

（2）若cosC=■，求A的值.

這道題目的第（1）問(wèn)同學(xué)們能很順利地解出來(lái)，設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則有cbcosA=3cacosB，結(jié)合正弦定理得：sinBcosA=3sinAcosB，所以tanB=3tanA. 第（2）問(wèn)很多同學(xué)根據(jù)以往解題經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為解三角形問(wèn)題應(yīng)該要用到正弦、余弦定理，雖然能解，但需要經(jīng)過(guò)多次邊角互化，浪費(fèi)很多時(shí)間，也不一定能得出正確答案. 這是2012年江蘇高考數(shù)學(xué)的第15題，考試中就有很多同學(xué)沒(méi)能解出正確結(jié)果，解答題的第一題做得這么棘手，也影響了整場(chǎng)考試的發(fā)揮. 其實(shí)這道題目的設(shè)置是“遞進(jìn)式”設(shè)問(wèn)，如能注意發(fā)現(xiàn)第（1）問(wèn)中tanB=3tanA的關(guān)系，結(jié)合第（2）問(wèn)中cosC=■，可以求出tanC=2，然后利用三角形中三個(gè)內(nèi)角和為180°，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得：tan（A+B）=-2，即■=-2. 又tanB=3tanA，代入前式得：■=-2，所以tanA=1或tanA=-■. 由tanB=3tanA>0可得A∈0，■，所以tanA=1.

注：很多解答題一般以多個(gè)設(shè)問(wèn)形式給出，起點(diǎn)低，有梯度，對(duì)于這類(lèi)“遞進(jìn)式”設(shè)問(wèn)、難度逐漸增大的題目，在解題時(shí)我們要擺脫定式思維，充分挖掘隱含信息，注意上一問(wèn)對(duì)下一問(wèn)的暗示，我們可以通過(guò)前一個(gè)設(shè)問(wèn)的鋪墊和提示確定下一個(gè)問(wèn)題的解題方向.

■從解題答案挖掘隱含條件

例6 在等比數(shù)列{an}中，S2=7，S6=91，則S4=________.

在等比數(shù)列中，若Sn≠0，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…依次成等比數(shù)列，因此可以設(shè)S4=x，則7，x-7，91-x成等比，所以（x-7）2=7（91-x）？圯x2-7x-28×21=0？圯x=28或-21，所以S4=28或-21. 此時(shí)不禁要問(wèn)：兩解都符合要求嗎？事實(shí)上，本題中S4=（a1+a2）+（a3+a4）=S2+S2×q2=S2·（1+q2）>0，所以S4=28.

因此，當(dāng)答案中出現(xiàn)兩解時(shí)我們要謹(jǐn)慎，注意是否有增根，要舍去其中的解的話一定要找到舍去理由，因?yàn)橛械念}目確實(shí)有兩解. 如：“在△ABC中，若b=2asinB，則∠A=________.” 利用正弦定理：■=■？圯sinA=■，所以∠A=30°或150°. 本題確實(shí)有兩解.

當(dāng)然也會(huì)存在解出兩解，其中一解不太容易舍去的情況. 比如：

例7 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知a+c=10，C=2A，cosA=■.

（1）求■的值；（2）求b的值.

解：（1）由正弦定理可得：■=■=■？圯■=2cosA=■.

（2）由（1）得■=■，a+c=10？圯a=4，c=6. 因?yàn)閍2=b2+c2-2bccosA，所以16=b2+36-2b×6×■？圯b2-9b+20=0？圯b=4或5.

看上去解答很完美，也比較簡(jiǎn)略. 事實(shí)上，把b=4代入已知條件發(fā)現(xiàn)此時(shí)a=b，C=A+B. 又C=2A，所以C=■，A=B=■，這與已知cosA=■產(chǎn)生矛盾. 所以b=5.

所謂“隱含條件”是指隱含在文字?jǐn)⑹鲋?，需要認(rèn)真分析才能挖掘出來(lái)的條件. 現(xiàn)在高考命題總是從一個(gè)具體的角度切入并與教材知識(shí)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合，將所考查的知識(shí)點(diǎn)巧妙地隱藏在所設(shè)置的情景中，考查我們是否具備一種去粗取精、去偽存真、由表及里的提煉加工能力. 因此，解題時(shí)要能做到“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”，把隱含條件分析挖掘出來(lái)，這常常是解題的關(guān)鍵.

著名數(shù)學(xué)家G·波利亞認(rèn)為：掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題，不僅要掌握標(biāo)準(zhǔn)題的解法，還要善于獨(dú)立思考，并通過(guò)自我探索尋找解題途徑.

“透過(guò)現(xiàn)象抓住本質(zhì)”，注意挖掘題目中的隱含條件，巧妙進(jìn)行變形，既能加快解題速度，又可避免不必要的錯(cuò)誤. 總之，我們解題能力的提高，不是一朝一夕能做到的，若能牢牢樹(shù)立“只看書(shū)不做題不行，埋頭做題不總結(jié)積累不行”的思想，對(duì)待數(shù)學(xué)題要既能鉆進(jìn)去，又要能跳出來(lái)，堅(jiān)持有目的、有計(jì)劃地進(jìn)行訓(xùn)練，這樣做可以使我們的解題能力得到發(fā)展和提高！■endprint

例2 方程■=x+y-2表示的曲線是___________.

本題若通過(guò)化簡(jiǎn)方程，與常見(jiàn)的曲線方程進(jìn)行比較，得出曲線形狀，運(yùn)算量大，結(jié)果也并不直觀. 應(yīng)跳出定式思維，注意方程的特點(diǎn)，觀察特征，聯(lián)系到圓錐曲線的統(tǒng)一定義. 方程可變形為：

■=■，即平面上點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)（-1，-1）的距離與到直線x+y-2=0的距離之比為■，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知，該方程表示的曲線為雙曲線.

3. 三角函數(shù)的有界性：-1≤sinα≤1，-1≤cosα≤1

例3 已知sinx+siny=■，求t=sinx-cos2y的最值.

錯(cuò)解：由已知條件可得：sinx=■-siny，所以t=sinx-cos2y=■-siny-cos2y=■-siny-（1-sin2y）=sin2y-siny-■=siny-■■-■. 又-1≤siny≤1，所以當(dāng)siny=■時(shí)，t的最小值為-■；當(dāng)siny=-1時(shí)，t的最大值為■.

很多同學(xué)在解本題時(shí)只關(guān)注了 -1≤siny≤1，忽略sinx+siny=■這一隱含條件，事實(shí)上，-1≤siny≤1，-1≤■-siny≤1？圯-■≤siny≤1，因此，當(dāng)siny=■時(shí)，t的最小值為-■；當(dāng)siny=-■時(shí)，t的最大值為■.

■從題目條件挖掘隱含條件

1. 思維嚴(yán)密，判斷完整

例4 在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sinBsinC，則△ABC的形狀為_(kāi)___.

結(jié)合正弦定理可得：a2=bc，所以4a2=（b+c）2=4bc？圯（b-c）2=0？圯b=c，看似答案是“等腰三角形”，實(shí)際上再代入到2a=b+c中，進(jìn)一步可得a=b=c，所以正確答案是“等邊三角形”. 因此要挖掘條件，用好、用透題中已知條件，判斷完整.

2. 用好“遞進(jìn)式”問(wèn)題間的關(guān)系

例5 在△ABC中，已知■·■=3■·■.

（1）求證：tanB=3tanA；

（2）若cosC=■，求A的值.

這道題目的第（1）問(wèn)同學(xué)們能很順利地解出來(lái)，設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則有cbcosA=3cacosB，結(jié)合正弦定理得：sinBcosA=3sinAcosB，所以tanB=3tanA. 第（2）問(wèn)很多同學(xué)根據(jù)以往解題經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為解三角形問(wèn)題應(yīng)該要用到正弦、余弦定理，雖然能解，但需要經(jīng)過(guò)多次邊角互化，浪費(fèi)很多時(shí)間，也不一定能得出正確答案. 這是2012年江蘇高考數(shù)學(xué)的第15題，考試中就有很多同學(xué)沒(méi)能解出正確結(jié)果，解答題的第一題做得這么棘手，也影響了整場(chǎng)考試的發(fā)揮. 其實(shí)這道題目的設(shè)置是“遞進(jìn)式”設(shè)問(wèn)，如能注意發(fā)現(xiàn)第（1）問(wèn)中tanB=3tanA的關(guān)系，結(jié)合第（2）問(wèn)中cosC=■，可以求出tanC=2，然后利用三角形中三個(gè)內(nèi)角和為180°，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得：tan（A+B）=-2，即■=-2. 又tanB=3tanA，代入前式得：■=-2，所以tanA=1或tanA=-■. 由tanB=3tanA>0可得A∈0，■，所以tanA=1.

注：很多解答題一般以多個(gè)設(shè)問(wèn)形式給出，起點(diǎn)低，有梯度，對(duì)于這類(lèi)“遞進(jìn)式”設(shè)問(wèn)、難度逐漸增大的題目，在解題時(shí)我們要擺脫定式思維，充分挖掘隱含信息，注意上一問(wèn)對(duì)下一問(wèn)的暗示，我們可以通過(guò)前一個(gè)設(shè)問(wèn)的鋪墊和提示確定下一個(gè)問(wèn)題的解題方向.

■從解題答案挖掘隱含條件

例6 在等比數(shù)列{an}中，S2=7，S6=91，則S4=________.

在等比數(shù)列中，若Sn≠0，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…依次成等比數(shù)列，因此可以設(shè)S4=x，則7，x-7，91-x成等比，所以（x-7）2=7（91-x）？圯x2-7x-28×21=0？圯x=28或-21，所以S4=28或-21. 此時(shí)不禁要問(wèn)：兩解都符合要求嗎？事實(shí)上，本題中S4=（a1+a2）+（a3+a4）=S2+S2×q2=S2·（1+q2）>0，所以S4=28.

因此，當(dāng)答案中出現(xiàn)兩解時(shí)我們要謹(jǐn)慎，注意是否有增根，要舍去其中的解的話一定要找到舍去理由，因?yàn)橛械念}目確實(shí)有兩解. 如：“在△ABC中，若b=2asinB，則∠A=________.” 利用正弦定理：■=■？圯sinA=■，所以∠A=30°或150°. 本題確實(shí)有兩解.

當(dāng)然也會(huì)存在解出兩解，其中一解不太容易舍去的情況. 比如：

例7 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知a+c=10，C=2A，cosA=■.

（1）求■的值；（2）求b的值.

解：（1）由正弦定理可得：■=■=■？圯■=2cosA=■.

（2）由（1）得■=■，a+c=10？圯a=4，c=6. 因?yàn)閍2=b2+c2-2bccosA，所以16=b2+36-2b×6×■？圯b2-9b+20=0？圯b=4或5.

看上去解答很完美，也比較簡(jiǎn)略. 事實(shí)上，把b=4代入已知條件發(fā)現(xiàn)此時(shí)a=b，C=A+B. 又C=2A，所以C=■，A=B=■，這與已知cosA=■產(chǎn)生矛盾. 所以b=5.

所謂“隱含條件”是指隱含在文字?jǐn)⑹鲋?，需要認(rèn)真分析才能挖掘出來(lái)的條件. 現(xiàn)在高考命題總是從一個(gè)具體的角度切入并與教材知識(shí)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合，將所考查的知識(shí)點(diǎn)巧妙地隱藏在所設(shè)置的情景中，考查我們是否具備一種去粗取精、去偽存真、由表及里的提煉加工能力. 因此，解題時(shí)要能做到“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”，把隱含條件分析挖掘出來(lái)，這常常是解題的關(guān)鍵.

著名數(shù)學(xué)家G·波利亞認(rèn)為：掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題，不僅要掌握標(biāo)準(zhǔn)題的解法，還要善于獨(dú)立思考，并通過(guò)自我探索尋找解題途徑.

“透過(guò)現(xiàn)象抓住本質(zhì)”，注意挖掘題目中的隱含條件，巧妙進(jìn)行變形，既能加快解題速度，又可避免不必要的錯(cuò)誤. 總之，我們解題能力的提高，不是一朝一夕能做到的，若能牢牢樹(shù)立“只看書(shū)不做題不行，埋頭做題不總結(jié)積累不行”的思想，對(duì)待數(shù)學(xué)題要既能鉆進(jìn)去，又要能跳出來(lái)，堅(jiān)持有目的、有計(jì)劃地進(jìn)行訓(xùn)練，這樣做可以使我們的解題能力得到發(fā)展和提高！■endprint

例2 方程■=x+y-2表示的曲線是___________.

本題若通過(guò)化簡(jiǎn)方程，與常見(jiàn)的曲線方程進(jìn)行比較，得出曲線形狀，運(yùn)算量大，結(jié)果也并不直觀. 應(yīng)跳出定式思維，注意方程的特點(diǎn)，觀察特征，聯(lián)系到圓錐曲線的統(tǒng)一定義. 方程可變形為：

■=■，即平面上點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)（-1，-1）的距離與到直線x+y-2=0的距離之比為■，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知，該方程表示的曲線為雙曲線.

3. 三角函數(shù)的有界性：-1≤sinα≤1，-1≤cosα≤1

例3 已知sinx+siny=■，求t=sinx-cos2y的最值.

錯(cuò)解：由已知條件可得：sinx=■-siny，所以t=sinx-cos2y=■-siny-cos2y=■-siny-（1-sin2y）=sin2y-siny-■=siny-■■-■. 又-1≤siny≤1，所以當(dāng)siny=■時(shí)，t的最小值為-■；當(dāng)siny=-1時(shí)，t的最大值為■.

很多同學(xué)在解本題時(shí)只關(guān)注了 -1≤siny≤1，忽略sinx+siny=■這一隱含條件，事實(shí)上，-1≤siny≤1，-1≤■-siny≤1？圯-■≤siny≤1，因此，當(dāng)siny=■時(shí)，t的最小值為-■；當(dāng)siny=-■時(shí)，t的最大值為■.

■從題目條件挖掘隱含條件

1. 思維嚴(yán)密，判斷完整

例4 在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sinBsinC，則△ABC的形狀為_(kāi)___.

結(jié)合正弦定理可得：a2=bc，所以4a2=（b+c）2=4bc？圯（b-c）2=0？圯b=c，看似答案是“等腰三角形”，實(shí)際上再代入到2a=b+c中，進(jìn)一步可得a=b=c，所以正確答案是“等邊三角形”. 因此要挖掘條件，用好、用透題中已知條件，判斷完整.

2. 用好“遞進(jìn)式”問(wèn)題間的關(guān)系

例5 在△ABC中，已知■·■=3■·■.

（1）求證：tanB=3tanA；

（2）若cosC=■，求A的值.

這道題目的第（1）問(wèn)同學(xué)們能很順利地解出來(lái)，設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則有cbcosA=3cacosB，結(jié)合正弦定理得：sinBcosA=3sinAcosB，所以tanB=3tanA. 第（2）問(wèn)很多同學(xué)根據(jù)以往解題經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為解三角形問(wèn)題應(yīng)該要用到正弦、余弦定理，雖然能解，但需要經(jīng)過(guò)多次邊角互化，浪費(fèi)很多時(shí)間，也不一定能得出正確答案. 這是2012年江蘇高考數(shù)學(xué)的第15題，考試中就有很多同學(xué)沒(méi)能解出正確結(jié)果，解答題的第一題做得這么棘手，也影響了整場(chǎng)考試的發(fā)揮. 其實(shí)這道題目的設(shè)置是“遞進(jìn)式”設(shè)問(wèn)，如能注意發(fā)現(xiàn)第（1）問(wèn)中tanB=3tanA的關(guān)系，結(jié)合第（2）問(wèn)中cosC=■，可以求出tanC=2，然后利用三角形中三個(gè)內(nèi)角和為180°，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得：tan（A+B）=-2，即■=-2. 又tanB=3tanA，代入前式得：■=-2，所以tanA=1或tanA=-■. 由tanB=3tanA>0可得A∈0，■，所以tanA=1.

注：很多解答題一般以多個(gè)設(shè)問(wèn)形式給出，起點(diǎn)低，有梯度，對(duì)于這類(lèi)“遞進(jìn)式”設(shè)問(wèn)、難度逐漸增大的題目，在解題時(shí)我們要擺脫定式思維，充分挖掘隱含信息，注意上一問(wèn)對(duì)下一問(wèn)的暗示，我們可以通過(guò)前一個(gè)設(shè)問(wèn)的鋪墊和提示確定下一個(gè)問(wèn)題的解題方向.

■從解題答案挖掘隱含條件

例6 在等比數(shù)列{an}中，S2=7，S6=91，則S4=________.

在等比數(shù)列中，若Sn≠0，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…依次成等比數(shù)列，因此可以設(shè)S4=x，則7，x-7，91-x成等比，所以（x-7）2=7（91-x）？圯x2-7x-28×21=0？圯x=28或-21，所以S4=28或-21. 此時(shí)不禁要問(wèn)：兩解都符合要求嗎？事實(shí)上，本題中S4=（a1+a2）+（a3+a4）=S2+S2×q2=S2·（1+q2）>0，所以S4=28.

因此，當(dāng)答案中出現(xiàn)兩解時(shí)我們要謹(jǐn)慎，注意是否有增根，要舍去其中的解的話一定要找到舍去理由，因?yàn)橛械念}目確實(shí)有兩解. 如：“在△ABC中，若b=2asinB，則∠A=________.” 利用正弦定理：■=■？圯sinA=■，所以∠A=30°或150°. 本題確實(shí)有兩解.

當(dāng)然也會(huì)存在解出兩解，其中一解不太容易舍去的情況. 比如：

例7 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知a+c=10，C=2A，cosA=■.

（1）求■的值；（2）求b的值.

解：（1）由正弦定理可得：■=■=■？圯■=2cosA=■.

（2）由（1）得■=■，a+c=10？圯a=4，c=6. 因?yàn)閍2=b2+c2-2bccosA，所以16=b2+36-2b×6×■？圯b2-9b+20=0？圯b=4或5.

看上去解答很完美，也比較簡(jiǎn)略. 事實(shí)上，把b=4代入已知條件發(fā)現(xiàn)此時(shí)a=b，C=A+B. 又C=2A，所以C=■，A=B=■，這與已知cosA=■產(chǎn)生矛盾. 所以b=5.

所謂“隱含條件”是指隱含在文字?jǐn)⑹鲋?，需要認(rèn)真分析才能挖掘出來(lái)的條件. 現(xiàn)在高考命題總是從一個(gè)具體的角度切入并與教材知識(shí)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合，將所考查的知識(shí)點(diǎn)巧妙地隱藏在所設(shè)置的情景中，考查我們是否具備一種去粗取精、去偽存真、由表及里的提煉加工能力. 因此，解題時(shí)要能做到“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”，把隱含條件分析挖掘出來(lái)，這常常是解題的關(guān)鍵.

著名數(shù)學(xué)家G·波利亞認(rèn)為：掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題，不僅要掌握標(biāo)準(zhǔn)題的解法，還要善于獨(dú)立思考，并通過(guò)自我探索尋找解題途徑.

“透過(guò)現(xiàn)象抓住本質(zhì)”，注意挖掘題目中的隱含條件，巧妙進(jìn)行變形，既能加快解題速度，又可避免不必要的錯(cuò)誤. 總之，我們解題能力的提高，不是一朝一夕能做到的，若能牢牢樹(shù)立“只看書(shū)不做題不行，埋頭做題不總結(jié)積累不行”的思想，對(duì)待數(shù)學(xué)題要既能鉆進(jìn)去，又要能跳出來(lái)，堅(jiān)持有目的、有計(jì)劃地進(jìn)行訓(xùn)練，這樣做可以使我們的解題能力得到發(fā)展和提高！■endprint