把這些三角題“串”起來

在高三復(fù)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，筆者從課本練習(xí)題和一些模擬試題中，發(fā)現(xiàn)了幾個(gè)相關(guān)聯(lián)的問題，于是把它們“串”起來說一說.

例1 （蘇教版必修4第49頁(yè)）一鐵棒水平通過如圖1所示的直角走廊，試回答下列問題：

（1）證明棒長(zhǎng)L（θ）=+；

（2）當(dāng)θ∈0，時(shí)，作出上述函數(shù)的圖象（可用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)）；

（3）由（2）中的圖象求L（θ）的最小值（可用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)）；

（4）解釋（3）中所求得的L是能夠通過這個(gè)直角走廊的鐵棒的長(zhǎng)度的最大值.

圖1

例1是一道課本練習(xí)題，所設(shè)計(jì)的四個(gè)問題逐層推進(jìn)，從第（1）問的棒長(zhǎng)的表示，到第（3）問求棒長(zhǎng)的最小值，再將問題深化到第（4）問的解釋能通過這個(gè)走廊的鐵棒長(zhǎng)度的最大值. 雖然本題的最值需借助于其他工具，但問題的設(shè)計(jì)和引導(dǎo)能使得我們相對(duì)容易地接受這個(gè)應(yīng)用模型.為了便于計(jì)算，我們可將題中的數(shù)據(jù)加以修改.

例2 一鐵棒水平通過如圖2所示的直角走廊，問：

（1）用θ角表示鐵棒長(zhǎng)度L（θ）；

（2）求能通過這個(gè)直角走廊的鐵棒長(zhǎng)度的最大值.

圖2

分析：走廊的拐角將鐵棒分為兩段，求三角形的邊長(zhǎng)是解題目標(biāo)，構(gòu)造三角形是解決問題的關(guān)鍵.

解：（1）過點(diǎn)M分別作墻壁的垂線，垂足分別為點(diǎn)C，D. 在Rt△ACM中，CM=1.2，∠CAM=θ，所以AM=. 同理，BM=. L（θ）=AM+BM=+=0<θ<.

（2）令t=sinθ+cosθ=·sinθ+∈（1，]，則sinθ·cosθ=. L==1.2·=2.4·=2.4·. 因?yàn)閠-在區(qū)間（1，]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=時(shí)，L（θ）取最小值.

答：能通過這個(gè)直角走廊的鐵棒長(zhǎng)度的最大值為 m.

由例1和例2可以看出，課本題具有很強(qiáng)的指導(dǎo)性，它們會(huì)作為模擬試題和高考試題命制的源泉. 解題時(shí)，我們又注意到為了能使得通過走廊的鐵棒盡量長(zhǎng)，鐵棒總是倚著拐角處. 如果把拐角看做一點(diǎn)，將鐵棒看成一直線，則該直線始終經(jīng)過拐角的那一點(diǎn). 于是題目又可修改為：

例3 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)M（1.2，1.2）的直線分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A，B，求線段AB長(zhǎng)度的最小值.

圖3

分析：本題給出點(diǎn)M的坐標(biāo)，引入直線的斜率k（k<0）是常規(guī)思路，但求出的A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)相對(duì)煩瑣，再由兩點(diǎn)間的距離公式或勾股定理表示出的線段AB長(zhǎng)更加麻煩，很難再去求出線段的最值（請(qǐng)讀者自行嘗試）. 考慮到本題與例2的相關(guān)性，可用三角知識(shí)來解決.

解：設(shè)∠BAO=θ，過點(diǎn)M分別作x，y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C，D. 則CM=DM=1.2，AB=AM+BM=+θ∈0，？搖，以下過程同例2.

從例3可以看出，兩道載體完全不同的題目，經(jīng)過轉(zhuǎn)化后，思路和方法變得完全相同. 問題還可以進(jìn)一步演變?yōu)椋?/p>

例4 一寬為1 m的平板車水平通過如圖4所示的直角走廊，問：

（1）用θ角表示平板車的長(zhǎng)L（θ）；

（2）求能通過這個(gè)直角走廊的平板車長(zhǎng)度的最大值.

圖4

解：（1）設(shè)∠AFD=θ，在直角三角形ADF中，DF===. 同理，在直角三角形BCE中，CE=BC·tanθ=，所以AB=CD=EF-DF-CE=EM+FM-CE-DF=+--=0<θ<.

（2）令t=sinθ+cosθ=·sinθ+∈（1，]，則sinθ·cosθ=，所以L==2·. 令m=2t-1∈（1，2-1]，則t=，所以L=2·==. 因?yàn)閙-在（1，2-1]上單調(diào)遞增，則當(dāng)m=2-1即θ=時(shí)，L（θ）取得最小值4-2.

答：能通過這個(gè)直角走廊的平板車長(zhǎng)度的最大值為（4-2）m.

從例4不難發(fā)現(xiàn)，在與幾何圖形有關(guān)的最值問題中，引入角作為變量可以使得邊角關(guān)系更簡(jiǎn)潔.

例5 一走廊拐角處的橫截面如圖5所示，已知內(nèi)壁FG和外壁BC都是半徑為1 m的四分之一圓弧，AB，DC分別與圓弧BC相切于B，C兩點(diǎn)，EF∥AB，GH∥CD，且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1 m.

（1）若水平放置的木棒MN的兩個(gè)端點(diǎn)M，N分別在外壁CD和AB上，且木棒與內(nèi)壁圓弧相切于點(diǎn)P. 設(shè)∠CMN=θ，試用θ表示木棒MN的長(zhǎng)度L（θ）；

（2）若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，求木棒長(zhǎng)度的最大值.

圖5

解：（1）連接PQ，過點(diǎn)P作PR⊥GQ于點(diǎn)R，過點(diǎn)P作PS⊥AB于點(diǎn)S. 因?yàn)镻R∥CD，所以∠PQR=θ. 在△PQR中，PR=sinθ. 又由SR=2，所以PS=SR-PR=2-sinθ. 在Rt△PSN中，∠SPN=θ，所以PN==. 同理，PM=，則MN=PM+PN=+=0<θ<.

以下過程同例4.

例5仍然以角為核心，利用圓的切線以及走廊的直線部分構(gòu)建直角三角形，把看似復(fù)雜的問題化歸到具體圖形中，所求線段自然迎刃而解. 而且巧合的是，例5與例4的L（θ）關(guān)于θ的表達(dá)式完全相同，那么這兩道題有沒有必然聯(lián)系呢？

分析：過點(diǎn)Q作與MN平行的直線，分別與AB，CD兩邊相交，過點(diǎn)M，N作這條平行線的垂線，垂足分別為H，I，過點(diǎn)Q分別作AB，CD的平行線形成墻壁，則例5就轉(zhuǎn)化為寬為1 m的矩形平板車MNIH欲通過寬為2 m的走廊，求能通過這個(gè)走廊的平板車長(zhǎng)度的最大值，顯然這就是例題4了.

圖6

由這些相關(guān)例題我們不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)題目命制的源泉是課本，試題研究就要充分挖掘課本上的典型例題和習(xí)題，通過適當(dāng)轉(zhuǎn)化、拓展、延伸、變形與綜合，加深對(duì)核心概念及核心數(shù)學(xué)思想的理解與掌握，達(dá)到增強(qiáng)知識(shí)理解、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的目的. 基礎(chǔ)較薄弱的同學(xué)，應(yīng)該仔細(xì)閱讀教材，認(rèn)真琢磨書上的例題，牢固掌握課本上的定義、定理、公式、法則等基礎(chǔ)知識(shí)，體會(huì)其中包含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法. 基礎(chǔ)較好的同學(xué)更應(yīng)該研究教材，達(dá)到準(zhǔn)確掌握、熟練運(yùn)用的程度. 鉆研教材就是為了吃透教材，吃透教材主要體現(xiàn)在三個(gè)字：準(zhǔn)、熟、靈. 準(zhǔn)就是對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都要準(zhǔn)確掌握，不能似懂非懂，模棱兩可. 閱讀課本不能一目十行，或只關(guān)心課本上的題目，而應(yīng)該是對(duì)課本逐字逐句鉆研，從而達(dá)到透徹理解的效果. 熟就是對(duì)學(xué)過的內(nèi)容能熟練運(yùn)用，能很快找準(zhǔn)解題思路. 對(duì)于數(shù)學(xué)只看不練是不行的，只練不想也是不行的. 有些題目雖然看懂了，但還不一定會(huì)做，會(huì)做了也不一定規(guī)范、準(zhǔn)確. 所以只有通過模仿、練習(xí)及反思才能達(dá)到熟能生巧的境界. 靈就是要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用知識(shí)，熟悉基本套路的各種變形和應(yīng)用，理解它的實(shí)質(zhì)以及與其他知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，弄清知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過程，找到解決一類問題的方法，達(dá)到舉一反三的效果. 筆者就是想通過文中的例子說明題目間的內(nèi)在聯(lián)系，從而使同學(xué)們學(xué)會(huì)去解這類三角應(yīng)用題. 當(dāng)然，回歸課本并不是單純地做課本練習(xí)題，而是帶著問題看課本，了解教材的編寫意圖，知道命題者究竟想考什么，遇到類似的問題怎么辦，這樣的復(fù)習(xí)就能事半功倍了.endprint

在高三復(fù)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，筆者從課本練習(xí)題和一些模擬試題中，發(fā)現(xiàn)了幾個(gè)相關(guān)聯(lián)的問題，于是把它們“串”起來說一說.

例1 （蘇教版必修4第49頁(yè)）一鐵棒水平通過如圖1所示的直角走廊，試回答下列問題：

（1）證明棒長(zhǎng)L（θ）=+；

（2）當(dāng)θ∈0，時(shí)，作出上述函數(shù)的圖象（可用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)）；

（3）由（2）中的圖象求L（θ）的最小值（可用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)）；

（4）解釋（3）中所求得的L是能夠通過這個(gè)直角走廊的鐵棒的長(zhǎng)度的最大值.

圖1

例1是一道課本練習(xí)題，所設(shè)計(jì)的四個(gè)問題逐層推進(jìn)，從第（1）問的棒長(zhǎng)的表示，到第（3）問求棒長(zhǎng)的最小值，再將問題深化到第（4）問的解釋能通過這個(gè)走廊的鐵棒長(zhǎng)度的最大值. 雖然本題的最值需借助于其他工具，但問題的設(shè)計(jì)和引導(dǎo)能使得我們相對(duì)容易地接受這個(gè)應(yīng)用模型.為了便于計(jì)算，我們可將題中的數(shù)據(jù)加以修改.

例2 一鐵棒水平通過如圖2所示的直角走廊，問：

（1）用θ角表示鐵棒長(zhǎng)度L（θ）；

（2）求能通過這個(gè)直角走廊的鐵棒長(zhǎng)度的最大值.

圖2

分析：走廊的拐角將鐵棒分為兩段，求三角形的邊長(zhǎng)是解題目標(biāo)，構(gòu)造三角形是解決問題的關(guān)鍵.

解：（1）過點(diǎn)M分別作墻壁的垂線，垂足分別為點(diǎn)C，D. 在Rt△ACM中，CM=1.2，∠CAM=θ，所以AM=. 同理，BM=. L（θ）=AM+BM=+=0<θ<.

（2）令t=sinθ+cosθ=·sinθ+∈（1，]，則sinθ·cosθ=. L==1.2·=2.4·=2.4·. 因?yàn)閠-在區(qū)間（1，]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=時(shí)，L（θ）取最小值.

答：能通過這個(gè)直角走廊的鐵棒長(zhǎng)度的最大值為 m.

由例1和例2可以看出，課本題具有很強(qiáng)的指導(dǎo)性，它們會(huì)作為模擬試題和高考試題命制的源泉. 解題時(shí)，我們又注意到為了能使得通過走廊的鐵棒盡量長(zhǎng)，鐵棒總是倚著拐角處. 如果把拐角看做一點(diǎn)，將鐵棒看成一直線，則該直線始終經(jīng)過拐角的那一點(diǎn). 于是題目又可修改為：

例3 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)M（1.2，1.2）的直線分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A，B，求線段AB長(zhǎng)度的最小值.

圖3

分析：本題給出點(diǎn)M的坐標(biāo)，引入直線的斜率k（k<0）是常規(guī)思路，但求出的A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)相對(duì)煩瑣，再由兩點(diǎn)間的距離公式或勾股定理表示出的線段AB長(zhǎng)更加麻煩，很難再去求出線段的最值（請(qǐng)讀者自行嘗試）. 考慮到本題與例2的相關(guān)性，可用三角知識(shí)來解決.

解：設(shè)∠BAO=θ，過點(diǎn)M分別作x，y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C，D. 則CM=DM=1.2，AB=AM+BM=+θ∈0，？搖，以下過程同例2.

從例3可以看出，兩道載體完全不同的題目，經(jīng)過轉(zhuǎn)化后，思路和方法變得完全相同. 問題還可以進(jìn)一步演變?yōu)椋?/p>

例4 一寬為1 m的平板車水平通過如圖4所示的直角走廊，問：

（1）用θ角表示平板車的長(zhǎng)L（θ）；

（2）求能通過這個(gè)直角走廊的平板車長(zhǎng)度的最大值.

圖4

解：（1）設(shè)∠AFD=θ，在直角三角形ADF中，DF===. 同理，在直角三角形BCE中，CE=BC·tanθ=，所以AB=CD=EF-DF-CE=EM+FM-CE-DF=+--=0<θ<.

（2）令t=sinθ+cosθ=·sinθ+∈（1，]，則sinθ·cosθ=，所以L==2·. 令m=2t-1∈（1，2-1]，則t=，所以L=2·==. 因?yàn)閙-在（1，2-1]上單調(diào)遞增，則當(dāng)m=2-1即θ=時(shí)，L（θ）取得最小值4-2.

答：能通過這個(gè)直角走廊的平板車長(zhǎng)度的最大值為（4-2）m.

從例4不難發(fā)現(xiàn)，在與幾何圖形有關(guān)的最值問題中，引入角作為變量可以使得邊角關(guān)系更簡(jiǎn)潔.

例5 一走廊拐角處的橫截面如圖5所示，已知內(nèi)壁FG和外壁BC都是半徑為1 m的四分之一圓弧，AB，DC分別與圓弧BC相切于B，C兩點(diǎn)，EF∥AB，GH∥CD，且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1 m.

（1）若水平放置的木棒MN的兩個(gè)端點(diǎn)M，N分別在外壁CD和AB上，且木棒與內(nèi)壁圓弧相切于點(diǎn)P. 設(shè)∠CMN=θ，試用θ表示木棒MN的長(zhǎng)度L（θ）；

（2）若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，求木棒長(zhǎng)度的最大值.

圖5

解：（1）連接PQ，過點(diǎn)P作PR⊥GQ于點(diǎn)R，過點(diǎn)P作PS⊥AB于點(diǎn)S. 因?yàn)镻R∥CD，所以∠PQR=θ. 在△PQR中，PR=sinθ. 又由SR=2，所以PS=SR-PR=2-sinθ. 在Rt△PSN中，∠SPN=θ，所以PN==. 同理，PM=，則MN=PM+PN=+=0<θ<.

以下過程同例4.

例5仍然以角為核心，利用圓的切線以及走廊的直線部分構(gòu)建直角三角形，把看似復(fù)雜的問題化歸到具體圖形中，所求線段自然迎刃而解. 而且巧合的是，例5與例4的L（θ）關(guān)于θ的表達(dá)式完全相同，那么這兩道題有沒有必然聯(lián)系呢？

分析：過點(diǎn)Q作與MN平行的直線，分別與AB，CD兩邊相交，過點(diǎn)M，N作這條平行線的垂線，垂足分別為H，I，過點(diǎn)Q分別作AB，CD的平行線形成墻壁，則例5就轉(zhuǎn)化為寬為1 m的矩形平板車MNIH欲通過寬為2 m的走廊，求能通過這個(gè)走廊的平板車長(zhǎng)度的最大值，顯然這就是例題4了.

圖6

由這些相關(guān)例題我們不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)題目命制的源泉是課本，試題研究就要充分挖掘課本上的典型例題和習(xí)題，通過適當(dāng)轉(zhuǎn)化、拓展、延伸、變形與綜合，加深對(duì)核心概念及核心數(shù)學(xué)思想的理解與掌握，達(dá)到增強(qiáng)知識(shí)理解、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的目的. 基礎(chǔ)較薄弱的同學(xué)，應(yīng)該仔細(xì)閱讀教材，認(rèn)真琢磨書上的例題，牢固掌握課本上的定義、定理、公式、法則等基礎(chǔ)知識(shí)，體會(huì)其中包含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法. 基礎(chǔ)較好的同學(xué)更應(yīng)該研究教材，達(dá)到準(zhǔn)確掌握、熟練運(yùn)用的程度. 鉆研教材就是為了吃透教材，吃透教材主要體現(xiàn)在三個(gè)字：準(zhǔn)、熟、靈. 準(zhǔn)就是對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都要準(zhǔn)確掌握，不能似懂非懂，模棱兩可. 閱讀課本不能一目十行，或只關(guān)心課本上的題目，而應(yīng)該是對(duì)課本逐字逐句鉆研，從而達(dá)到透徹理解的效果. 熟就是對(duì)學(xué)過的內(nèi)容能熟練運(yùn)用，能很快找準(zhǔn)解題思路. 對(duì)于數(shù)學(xué)只看不練是不行的，只練不想也是不行的. 有些題目雖然看懂了，但還不一定會(huì)做，會(huì)做了也不一定規(guī)范、準(zhǔn)確. 所以只有通過模仿、練習(xí)及反思才能達(dá)到熟能生巧的境界. 靈就是要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用知識(shí)，熟悉基本套路的各種變形和應(yīng)用，理解它的實(shí)質(zhì)以及與其他知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，弄清知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過程，找到解決一類問題的方法，達(dá)到舉一反三的效果. 筆者就是想通過文中的例子說明題目間的內(nèi)在聯(lián)系，從而使同學(xué)們學(xué)會(huì)去解這類三角應(yīng)用題. 當(dāng)然，回歸課本并不是單純地做課本練習(xí)題，而是帶著問題看課本，了解教材的編寫意圖，知道命題者究竟想考什么，遇到類似的問題怎么辦，這樣的復(fù)習(xí)就能事半功倍了.endprint

在高三復(fù)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，筆者從課本練習(xí)題和一些模擬試題中，發(fā)現(xiàn)了幾個(gè)相關(guān)聯(lián)的問題，于是把它們“串”起來說一說.

例1 （蘇教版必修4第49頁(yè)）一鐵棒水平通過如圖1所示的直角走廊，試回答下列問題：

（1）證明棒長(zhǎng)L（θ）=+；

（2）當(dāng)θ∈0，時(shí)，作出上述函數(shù)的圖象（可用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)）；

（3）由（2）中的圖象求L（θ）的最小值（可用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)）；

（4）解釋（3）中所求得的L是能夠通過這個(gè)直角走廊的鐵棒的長(zhǎng)度的最大值.

圖1

例1是一道課本練習(xí)題，所設(shè)計(jì)的四個(gè)問題逐層推進(jìn)，從第（1）問的棒長(zhǎng)的表示，到第（3）問求棒長(zhǎng)的最小值，再將問題深化到第（4）問的解釋能通過這個(gè)走廊的鐵棒長(zhǎng)度的最大值. 雖然本題的最值需借助于其他工具，但問題的設(shè)計(jì)和引導(dǎo)能使得我們相對(duì)容易地接受這個(gè)應(yīng)用模型.為了便于計(jì)算，我們可將題中的數(shù)據(jù)加以修改.

例2 一鐵棒水平通過如圖2所示的直角走廊，問：

（1）用θ角表示鐵棒長(zhǎng)度L（θ）；

（2）求能通過這個(gè)直角走廊的鐵棒長(zhǎng)度的最大值.

圖2

分析：走廊的拐角將鐵棒分為兩段，求三角形的邊長(zhǎng)是解題目標(biāo)，構(gòu)造三角形是解決問題的關(guān)鍵.

解：（1）過點(diǎn)M分別作墻壁的垂線，垂足分別為點(diǎn)C，D. 在Rt△ACM中，CM=1.2，∠CAM=θ，所以AM=. 同理，BM=. L（θ）=AM+BM=+=0<θ<.

（2）令t=sinθ+cosθ=·sinθ+∈（1，]，則sinθ·cosθ=. L==1.2·=2.4·=2.4·. 因?yàn)閠-在區(qū)間（1，]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=時(shí)，L（θ）取最小值.

答：能通過這個(gè)直角走廊的鐵棒長(zhǎng)度的最大值為 m.

由例1和例2可以看出，課本題具有很強(qiáng)的指導(dǎo)性，它們會(huì)作為模擬試題和高考試題命制的源泉. 解題時(shí)，我們又注意到為了能使得通過走廊的鐵棒盡量長(zhǎng)，鐵棒總是倚著拐角處. 如果把拐角看做一點(diǎn)，將鐵棒看成一直線，則該直線始終經(jīng)過拐角的那一點(diǎn). 于是題目又可修改為：

例3 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)M（1.2，1.2）的直線分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A，B，求線段AB長(zhǎng)度的最小值.

圖3

分析：本題給出點(diǎn)M的坐標(biāo)，引入直線的斜率k（k<0）是常規(guī)思路，但求出的A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)相對(duì)煩瑣，再由兩點(diǎn)間的距離公式或勾股定理表示出的線段AB長(zhǎng)更加麻煩，很難再去求出線段的最值（請(qǐng)讀者自行嘗試）. 考慮到本題與例2的相關(guān)性，可用三角知識(shí)來解決.

解：設(shè)∠BAO=θ，過點(diǎn)M分別作x，y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C，D. 則CM=DM=1.2，AB=AM+BM=+θ∈0，？搖，以下過程同例2.

從例3可以看出，兩道載體完全不同的題目，經(jīng)過轉(zhuǎn)化后，思路和方法變得完全相同. 問題還可以進(jìn)一步演變?yōu)椋?/p>

例4 一寬為1 m的平板車水平通過如圖4所示的直角走廊，問：

（1）用θ角表示平板車的長(zhǎng)L（θ）；

（2）求能通過這個(gè)直角走廊的平板車長(zhǎng)度的最大值.

圖4

解：（1）設(shè)∠AFD=θ，在直角三角形ADF中，DF===. 同理，在直角三角形BCE中，CE=BC·tanθ=，所以AB=CD=EF-DF-CE=EM+FM-CE-DF=+--=0<θ<.

（2）令t=sinθ+cosθ=·sinθ+∈（1，]，則sinθ·cosθ=，所以L==2·. 令m=2t-1∈（1，2-1]，則t=，所以L=2·==. 因?yàn)閙-在（1，2-1]上單調(diào)遞增，則當(dāng)m=2-1即θ=時(shí)，L（θ）取得最小值4-2.

答：能通過這個(gè)直角走廊的平板車長(zhǎng)度的最大值為（4-2）m.

從例4不難發(fā)現(xiàn)，在與幾何圖形有關(guān)的最值問題中，引入角作為變量可以使得邊角關(guān)系更簡(jiǎn)潔.

例5 一走廊拐角處的橫截面如圖5所示，已知內(nèi)壁FG和外壁BC都是半徑為1 m的四分之一圓弧，AB，DC分別與圓弧BC相切于B，C兩點(diǎn)，EF∥AB，GH∥CD，且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1 m.

（1）若水平放置的木棒MN的兩個(gè)端點(diǎn)M，N分別在外壁CD和AB上，且木棒與內(nèi)壁圓弧相切于點(diǎn)P. 設(shè)∠CMN=θ，試用θ表示木棒MN的長(zhǎng)度L（θ）；

（2）若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，求木棒長(zhǎng)度的最大值.

圖5

解：（1）連接PQ，過點(diǎn)P作PR⊥GQ于點(diǎn)R，過點(diǎn)P作PS⊥AB于點(diǎn)S. 因?yàn)镻R∥CD，所以∠PQR=θ. 在△PQR中，PR=sinθ. 又由SR=2，所以PS=SR-PR=2-sinθ. 在Rt△PSN中，∠SPN=θ，所以PN==. 同理，PM=，則MN=PM+PN=+=0<θ<.

以下過程同例4.

例5仍然以角為核心，利用圓的切線以及走廊的直線部分構(gòu)建直角三角形，把看似復(fù)雜的問題化歸到具體圖形中，所求線段自然迎刃而解. 而且巧合的是，例5與例4的L（θ）關(guān)于θ的表達(dá)式完全相同，那么這兩道題有沒有必然聯(lián)系呢？

分析：過點(diǎn)Q作與MN平行的直線，分別與AB，CD兩邊相交，過點(diǎn)M，N作這條平行線的垂線，垂足分別為H，I，過點(diǎn)Q分別作AB，CD的平行線形成墻壁，則例5就轉(zhuǎn)化為寬為1 m的矩形平板車MNIH欲通過寬為2 m的走廊，求能通過這個(gè)走廊的平板車長(zhǎng)度的最大值，顯然這就是例題4了.

圖6

由這些相關(guān)例題我們不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)題目命制的源泉是課本，試題研究就要充分挖掘課本上的典型例題和習(xí)題，通過適當(dāng)轉(zhuǎn)化、拓展、延伸、變形與綜合，加深對(duì)核心概念及核心數(shù)學(xué)思想的理解與掌握，達(dá)到增強(qiáng)知識(shí)理解、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的目的. 基礎(chǔ)較薄弱的同學(xué)，應(yīng)該仔細(xì)閱讀教材，認(rèn)真琢磨書上的例題，牢固掌握課本上的定義、定理、公式、法則等基礎(chǔ)知識(shí)，體會(huì)其中包含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法. 基礎(chǔ)較好的同學(xué)更應(yīng)該研究教材，達(dá)到準(zhǔn)確掌握、熟練運(yùn)用的程度. 鉆研教材就是為了吃透教材，吃透教材主要體現(xiàn)在三個(gè)字：準(zhǔn)、熟、靈. 準(zhǔn)就是對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都要準(zhǔn)確掌握，不能似懂非懂，模棱兩可. 閱讀課本不能一目十行，或只關(guān)心課本上的題目，而應(yīng)該是對(duì)課本逐字逐句鉆研，從而達(dá)到透徹理解的效果. 熟就是對(duì)學(xué)過的內(nèi)容能熟練運(yùn)用，能很快找準(zhǔn)解題思路. 對(duì)于數(shù)學(xué)只看不練是不行的，只練不想也是不行的. 有些題目雖然看懂了，但還不一定會(huì)做，會(huì)做了也不一定規(guī)范、準(zhǔn)確. 所以只有通過模仿、練習(xí)及反思才能達(dá)到熟能生巧的境界. 靈就是要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用知識(shí)，熟悉基本套路的各種變形和應(yīng)用，理解它的實(shí)質(zhì)以及與其他知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，弄清知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過程，找到解決一類問題的方法，達(dá)到舉一反三的效果. 筆者就是想通過文中的例子說明題目間的內(nèi)在聯(lián)系，從而使同學(xué)們學(xué)會(huì)去解這類三角應(yīng)用題. 當(dāng)然，回歸課本并不是單純地做課本練習(xí)題，而是帶著問題看課本，了解教材的編寫意圖，知道命題者究竟想考什么，遇到類似的問題怎么辦，這樣的復(fù)習(xí)就能事半功倍了.endprint