多角度探究一道三角求值題

作業(yè)中，一道三角函數(shù)求值題，多數(shù)同學(xué)未能尋求到正確的解題思路，筆者對這道題進(jìn)行了一番研究，將解題記錄呈現(xiàn)如下.

如圖1，在直角坐標(biāo)系xOy中，銳角三角形ABC內(nèi)接于圓x2+y2=1，BC平行于x軸，AB的斜率為2，記∠xOA=α0<α<，∠xOB=βπ<β<，求sin（α+β）的值.

圖1

由條件知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），于是=2，由這個(gè)條件無法求出α， β的三角函數(shù)值，而且代入sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ也不能消去α，β，解題失敗.

按套路解題遇到困難！一些重點(diǎn)知識(shí)內(nèi)容與題型，有一定的規(guī)律可循，有一定的方法可套，但很多問題會(huì)出現(xiàn)我們從未遇到過的情形，需要重新考慮解答，尋找解題的其他切入點(diǎn).

重新審題，圓x2+y2=1的內(nèi)接三角形ABC，只有∠ABC已知，BC平行于x軸，A，B的位置不定，α，β的三角函數(shù)值為變量，無法求出α，β的三角函數(shù)值.

從結(jié)論猜測，α，β變化，但α+β應(yīng)不變，與定角∠ABC有何關(guān)系？

圓的條件有何用途？同學(xué)們解題時(shí)，要對頭腦中處于休眠狀態(tài)的知識(shí)進(jìn)行挑選并收集相關(guān)內(nèi)容，進(jìn)行聯(lián)想、化歸、建構(gòu).

如圖2，設(shè)AB交x軸于D，點(diǎn)A，B在圓O上，則OA=OB，∠OAB=∠OBA.

圖2

BC平行于x軸，∠ADO=∠ABC，∠DOB=∠OBC. 這些具有等量關(guān)系的角與α，β有什么聯(lián)系？怎樣將α+β向定角∠ABC轉(zhuǎn)化？

觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)α=∠OAB+∠ADO，β=π+∠DOB. 于是有α+β=∠OAB+∠ADO+π+∠DOB=∠OBA+∠ABC+π+∠OBC =2∠ABC+π. 據(jù)此可以得sin（α+β）=sin（π+2∠ABC）= -sin2∠ABC= -=-.

解題后不反思，就錯(cuò)過了解題的一個(gè)重要而有益的方面. 通過回顧所完成的解答，通過重新考慮與重新檢查這個(gè)結(jié)果和得出這一結(jié)果的路子，同學(xué)們可以鞏固自身的知識(shí)和發(fā)展解題能力.

反思1：對題目的條件反思

圓的條件還有何用途？從解析幾何的角度看，AB是斜率確定的圓的弦， 取弦中點(diǎn)是處理圓的弦問題的一種常見方法.

圖3

如圖3，取AB的中點(diǎn)E，則OE的斜率為-，tan∠xOE=-. 定角∠xOE與α，β有什么關(guān)系？

又因?yàn)镺E平分∠AOB，∠xOE=∠xOA+∠BOA=α+=. 所以sin（α+β）=2sincos==-.

反思2：對失敗思路反思

重新思考失敗思路，sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ中的α，β變化，無法求出它們的三角函數(shù)值，失敗的原因之一是忽視了一個(gè)重要條件，A，B是一條直線與圓的兩交點(diǎn).

設(shè)直線AB的方程為y=2x+m，且A（x1，y1），B（x2，y2）. 聯(lián)立得方程組y=2x+m，x2+y2=1，消去y，得5x2+4mx+m2-1=0，所以x1+x2=-，x1·x2=. 由此得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=x2y1+？搖x1y2=x2（2x1+m）+x1（2x2+m）=4x1x2+m（x1+x2）=4×-=-.

解題時(shí)，尤其要注重對題目的分析：每個(gè)已知條件能給我們提供什么信息？所求結(jié)果需要什么條件？條件與條件、條件與結(jié)論有著怎樣的聯(lián)系？很多情況下無法建立已知與所求之間的聯(lián)系時(shí)，需要反復(fù)讀題，變化問題，直至利用這些條件變化、重組、構(gòu)建到能解決問題為止.

反思3：對失敗思路再反思

由于α，β只與A，B的位置有關(guān)，覺得條件中的點(diǎn)C多余，忽視點(diǎn)C也是解題失敗的原因之一.

由已知條件可知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）. 因?yàn)锽C平行于x軸，所以C（-cosβ，sinβ）. 因?yàn)锳B的斜率為2，所以tan∠ABC=2. 因?yàn)椤螦BC為銳角，所以sin∠ABC=.

在△ABC中，根據(jù)正弦定理得=2.

=2，2+2cos（α+β）=，cos（α+β）=. 因?yàn)?<α<，π<β<，π<α+β<2π，所以sin（α+β）=-.

反思4：對特殊情形反思

特殊化是從考慮一組給定的對象集合過渡到考慮該集合中一個(gè)較小的集合，或僅僅一個(gè)對象. 特殊化在解決問題時(shí)常對一般情形具有啟發(fā)性.

直線AB過原點(diǎn)時(shí)，α+β=∠xOA+π+∠xOA=2∠ABC+π. 猜測，是否一般情形下也有α+β=2∠ABC+π？找到這個(gè)切入點(diǎn)，會(huì)大大降低題目難度，縮短解題時(shí)間.

反思5：對一般情形反思

普遍化就是從考慮一個(gè)對象過渡到考慮包含該對象的一個(gè)集合；或者從考慮一個(gè)較小的集合過渡到一個(gè)包含這個(gè)較小集合的更大集合. 把有些特殊的數(shù)學(xué)問題一般化是挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)涵的一種重要方法.

推廣 在直角坐標(biāo)系xOy中，銳角三角形ABC內(nèi)接于圓x2+y2=1，且BC平行于x軸，AB的斜率為k，記∠xOA=α0<α<，∠xOB=βπ<β<，求sin（α+β）的值.endprint

作業(yè)中，一道三角函數(shù)求值題，多數(shù)同學(xué)未能尋求到正確的解題思路，筆者對這道題進(jìn)行了一番研究，將解題記錄呈現(xiàn)如下.

如圖1，在直角坐標(biāo)系xOy中，銳角三角形ABC內(nèi)接于圓x2+y2=1，BC平行于x軸，AB的斜率為2，記∠xOA=α0<α<，∠xOB=βπ<β<，求sin（α+β）的值.

圖1

由條件知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），于是=2，由這個(gè)條件無法求出α， β的三角函數(shù)值，而且代入sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ也不能消去α，β，解題失敗.

按套路解題遇到困難！一些重點(diǎn)知識(shí)內(nèi)容與題型，有一定的規(guī)律可循，有一定的方法可套，但很多問題會(huì)出現(xiàn)我們從未遇到過的情形，需要重新考慮解答，尋找解題的其他切入點(diǎn).

重新審題，圓x2+y2=1的內(nèi)接三角形ABC，只有∠ABC已知，BC平行于x軸，A，B的位置不定，α，β的三角函數(shù)值為變量，無法求出α，β的三角函數(shù)值.

從結(jié)論猜測，α，β變化，但α+β應(yīng)不變，與定角∠ABC有何關(guān)系？

圓的條件有何用途？同學(xué)們解題時(shí)，要對頭腦中處于休眠狀態(tài)的知識(shí)進(jìn)行挑選并收集相關(guān)內(nèi)容，進(jìn)行聯(lián)想、化歸、建構(gòu).

如圖2，設(shè)AB交x軸于D，點(diǎn)A，B在圓O上，則OA=OB，∠OAB=∠OBA.

圖2

BC平行于x軸，∠ADO=∠ABC，∠DOB=∠OBC. 這些具有等量關(guān)系的角與α，β有什么聯(lián)系？怎樣將α+β向定角∠ABC轉(zhuǎn)化？

觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)α=∠OAB+∠ADO，β=π+∠DOB. 于是有α+β=∠OAB+∠ADO+π+∠DOB=∠OBA+∠ABC+π+∠OBC =2∠ABC+π. 據(jù)此可以得sin（α+β）=sin（π+2∠ABC）= -sin2∠ABC= -=-.

解題后不反思，就錯(cuò)過了解題的一個(gè)重要而有益的方面. 通過回顧所完成的解答，通過重新考慮與重新檢查這個(gè)結(jié)果和得出這一結(jié)果的路子，同學(xué)們可以鞏固自身的知識(shí)和發(fā)展解題能力.

反思1：對題目的條件反思

圓的條件還有何用途？從解析幾何的角度看，AB是斜率確定的圓的弦， 取弦中點(diǎn)是處理圓的弦問題的一種常見方法.

圖3

如圖3，取AB的中點(diǎn)E，則OE的斜率為-，tan∠xOE=-. 定角∠xOE與α，β有什么關(guān)系？

又因?yàn)镺E平分∠AOB，∠xOE=∠xOA+∠BOA=α+=. 所以sin（α+β）=2sincos==-.

反思2：對失敗思路反思

重新思考失敗思路，sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ中的α，β變化，無法求出它們的三角函數(shù)值，失敗的原因之一是忽視了一個(gè)重要條件，A，B是一條直線與圓的兩交點(diǎn).

設(shè)直線AB的方程為y=2x+m，且A（x1，y1），B（x2，y2）. 聯(lián)立得方程組y=2x+m，x2+y2=1，消去y，得5x2+4mx+m2-1=0，所以x1+x2=-，x1·x2=. 由此得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=x2y1+？搖x1y2=x2（2x1+m）+x1（2x2+m）=4x1x2+m（x1+x2）=4×-=-.

解題時(shí)，尤其要注重對題目的分析：每個(gè)已知條件能給我們提供什么信息？所求結(jié)果需要什么條件？條件與條件、條件與結(jié)論有著怎樣的聯(lián)系？很多情況下無法建立已知與所求之間的聯(lián)系時(shí)，需要反復(fù)讀題，變化問題，直至利用這些條件變化、重組、構(gòu)建到能解決問題為止.

反思3：對失敗思路再反思

由于α，β只與A，B的位置有關(guān)，覺得條件中的點(diǎn)C多余，忽視點(diǎn)C也是解題失敗的原因之一.

由已知條件可知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）. 因?yàn)锽C平行于x軸，所以C（-cosβ，sinβ）. 因?yàn)锳B的斜率為2，所以tan∠ABC=2. 因?yàn)椤螦BC為銳角，所以sin∠ABC=.

在△ABC中，根據(jù)正弦定理得=2.

=2，2+2cos（α+β）=，cos（α+β）=. 因?yàn)?<α<，π<β<，π<α+β<2π，所以sin（α+β）=-.

反思4：對特殊情形反思

特殊化是從考慮一組給定的對象集合過渡到考慮該集合中一個(gè)較小的集合，或僅僅一個(gè)對象. 特殊化在解決問題時(shí)常對一般情形具有啟發(fā)性.

直線AB過原點(diǎn)時(shí)，α+β=∠xOA+π+∠xOA=2∠ABC+π. 猜測，是否一般情形下也有α+β=2∠ABC+π？找到這個(gè)切入點(diǎn)，會(huì)大大降低題目難度，縮短解題時(shí)間.

反思5：對一般情形反思

普遍化就是從考慮一個(gè)對象過渡到考慮包含該對象的一個(gè)集合；或者從考慮一個(gè)較小的集合過渡到一個(gè)包含這個(gè)較小集合的更大集合. 把有些特殊的數(shù)學(xué)問題一般化是挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)涵的一種重要方法.

推廣 在直角坐標(biāo)系xOy中，銳角三角形ABC內(nèi)接于圓x2+y2=1，且BC平行于x軸，AB的斜率為k，記∠xOA=α0<α<，∠xOB=βπ<β<，求sin（α+β）的值.endprint

作業(yè)中，一道三角函數(shù)求值題，多數(shù)同學(xué)未能尋求到正確的解題思路，筆者對這道題進(jìn)行了一番研究，將解題記錄呈現(xiàn)如下.

如圖1，在直角坐標(biāo)系xOy中，銳角三角形ABC內(nèi)接于圓x2+y2=1，BC平行于x軸，AB的斜率為2，記∠xOA=α0<α<，∠xOB=βπ<β<，求sin（α+β）的值.

圖1

由條件知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），于是=2，由這個(gè)條件無法求出α， β的三角函數(shù)值，而且代入sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ也不能消去α，β，解題失敗.

按套路解題遇到困難！一些重點(diǎn)知識(shí)內(nèi)容與題型，有一定的規(guī)律可循，有一定的方法可套，但很多問題會(huì)出現(xiàn)我們從未遇到過的情形，需要重新考慮解答，尋找解題的其他切入點(diǎn).

重新審題，圓x2+y2=1的內(nèi)接三角形ABC，只有∠ABC已知，BC平行于x軸，A，B的位置不定，α，β的三角函數(shù)值為變量，無法求出α，β的三角函數(shù)值.

從結(jié)論猜測，α，β變化，但α+β應(yīng)不變，與定角∠ABC有何關(guān)系？

圓的條件有何用途？同學(xué)們解題時(shí)，要對頭腦中處于休眠狀態(tài)的知識(shí)進(jìn)行挑選并收集相關(guān)內(nèi)容，進(jìn)行聯(lián)想、化歸、建構(gòu).

如圖2，設(shè)AB交x軸于D，點(diǎn)A，B在圓O上，則OA=OB，∠OAB=∠OBA.

圖2

BC平行于x軸，∠ADO=∠ABC，∠DOB=∠OBC. 這些具有等量關(guān)系的角與α，β有什么聯(lián)系？怎樣將α+β向定角∠ABC轉(zhuǎn)化？

觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)α=∠OAB+∠ADO，β=π+∠DOB. 于是有α+β=∠OAB+∠ADO+π+∠DOB=∠OBA+∠ABC+π+∠OBC =2∠ABC+π. 據(jù)此可以得sin（α+β）=sin（π+2∠ABC）= -sin2∠ABC= -=-.

解題后不反思，就錯(cuò)過了解題的一個(gè)重要而有益的方面. 通過回顧所完成的解答，通過重新考慮與重新檢查這個(gè)結(jié)果和得出這一結(jié)果的路子，同學(xué)們可以鞏固自身的知識(shí)和發(fā)展解題能力.

反思1：對題目的條件反思

圓的條件還有何用途？從解析幾何的角度看，AB是斜率確定的圓的弦， 取弦中點(diǎn)是處理圓的弦問題的一種常見方法.

圖3

如圖3，取AB的中點(diǎn)E，則OE的斜率為-，tan∠xOE=-. 定角∠xOE與α，β有什么關(guān)系？

又因?yàn)镺E平分∠AOB，∠xOE=∠xOA+∠BOA=α+=. 所以sin（α+β）=2sincos==-.

反思2：對失敗思路反思

重新思考失敗思路，sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ中的α，β變化，無法求出它們的三角函數(shù)值，失敗的原因之一是忽視了一個(gè)重要條件，A，B是一條直線與圓的兩交點(diǎn).

設(shè)直線AB的方程為y=2x+m，且A（x1，y1），B（x2，y2）. 聯(lián)立得方程組y=2x+m，x2+y2=1，消去y，得5x2+4mx+m2-1=0，所以x1+x2=-，x1·x2=. 由此得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=x2y1+？搖x1y2=x2（2x1+m）+x1（2x2+m）=4x1x2+m（x1+x2）=4×-=-.

解題時(shí)，尤其要注重對題目的分析：每個(gè)已知條件能給我們提供什么信息？所求結(jié)果需要什么條件？條件與條件、條件與結(jié)論有著怎樣的聯(lián)系？很多情況下無法建立已知與所求之間的聯(lián)系時(shí)，需要反復(fù)讀題，變化問題，直至利用這些條件變化、重組、構(gòu)建到能解決問題為止.

反思3：對失敗思路再反思

由于α，β只與A，B的位置有關(guān)，覺得條件中的點(diǎn)C多余，忽視點(diǎn)C也是解題失敗的原因之一.

由已知條件可知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）. 因?yàn)锽C平行于x軸，所以C（-cosβ，sinβ）. 因?yàn)锳B的斜率為2，所以tan∠ABC=2. 因?yàn)椤螦BC為銳角，所以sin∠ABC=.

在△ABC中，根據(jù)正弦定理得=2.

=2，2+2cos（α+β）=，cos（α+β）=. 因?yàn)?<α<，π<β<，π<α+β<2π，所以sin（α+β）=-.

反思4：對特殊情形反思

特殊化是從考慮一組給定的對象集合過渡到考慮該集合中一個(gè)較小的集合，或僅僅一個(gè)對象. 特殊化在解決問題時(shí)常對一般情形具有啟發(fā)性.

直線AB過原點(diǎn)時(shí)，α+β=∠xOA+π+∠xOA=2∠ABC+π. 猜測，是否一般情形下也有α+β=2∠ABC+π？找到這個(gè)切入點(diǎn)，會(huì)大大降低題目難度，縮短解題時(shí)間.

反思5：對一般情形反思

普遍化就是從考慮一個(gè)對象過渡到考慮包含該對象的一個(gè)集合；或者從考慮一個(gè)較小的集合過渡到一個(gè)包含這個(gè)較小集合的更大集合. 把有些特殊的數(shù)學(xué)問題一般化是挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)涵的一種重要方法.

推廣 在直角坐標(biāo)系xOy中，銳角三角形ABC內(nèi)接于圓x2+y2=1，且BC平行于x軸，AB的斜率為k，記∠xOA=α0<α<，∠xOB=βπ<β<，求sin（α+β）的值.endprint