一題多解是學(xué)會解題的方便之門

一題多解是直覺思維不斷閃現(xiàn)的過程；一題多解也是不斷地對解題過程進行反思、比較創(chuàng)新的過程；同時也是感受數(shù)學(xué)美，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的過程. 因此，我們認(rèn)為一題多解是學(xué)習(xí)解題、欣賞解題的方便之門.

例1-1 在△ABC中，設(shè)=a，=b，=c，若a·b=b·c=c·a，判斷△ABC的形狀.

例1-2 在四邊形ABCD中， =a，=b，=c，=d，已知a·b=b·c=c·d=d·a，求證：四邊形ABCD是矩形.

研究例1-1的解法.

解法1：因為a+b=-c，所以a2+2a·b+b2=c2. 又因為a·b=b·c，所以a2+2b·c+b2+c2-2c2=0，所以a2+（b+c）2-2c2=0，所以a2+（-a）2-2c2=0，所以a2=c2，即a=c. 同理可得a=b，所以有a=b=c，所以△ABC是等邊三角形.

點評：解法1的解答過程是利用已知條件減少變量，并朝三角形邊長關(guān)系轉(zhuǎn)化的過程.

解法2：因為a+b=-c，所以c2=a2+b2+2a·b，所以a·b=. 同理：b·c=，c·a=. 又因為a·b=b·c=c·a ，所以==，解之得a2=c2，b2=a2，所以a=b=c，所以△ABC是等邊三角形.

點評：解法2的思路具有各個擊破的顯著特點，另外解題過程可跟余弦定理溝通. （如圖1）

圖1

在△ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2-2a·bcosB=a2+b2+2a·b，所以a·b=.

解法3：（如圖2）

圖2

由已知得a·b=a·bcos（π-B），b·c=b·ccos（π-C），c·a=c·a·cos（π-A）. 又因為a·b=b·c=c·a，所以 a·bcosB=b·ccosC=c·a·cosA，所以acosB=c·cosC，bcosC=acosA ①.

又因為===2R，所以a=2RsinC，b=2RsinA，c=2RsinB，代入①式得：2RsinCcosB=2RsinBcosC，2RsinAcosC=2RsinCcosA，所以sin（C-B）=0，sin（A-C）=0，所以在△ABC中，C=B=A，△ABC是等邊三角形.

點評：（1）解法3從角入手判斷三角形形狀，整個解題過程是從已知出發(fā)不斷朝角之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化的過程；（2）解法1和解法2都是從邊入手判斷三角形形狀，而解法3是從角入手進行判斷.

解法4：（如圖3）因為a·b=b·c=c·a，所以（a·b）2=（b·c）2=（c·a）2.

圖3

所以a2·b2cos2（π-B）=b2·c2·cos2（π-C）=c2·a2cos2（π-A），a2·b2cos2B=b2·c2cos2C=c2·a2cos2A，a2·b2（1-sin2B）=b2·c2（1-sin2C）=c2·a2（1-sin2A），所以a2·b2-a2·b2sin2B=b2·c2-b2·c2sin2C=c2·a2-c2·a2sin2A. 又因為S△ABC=a·bsinB=·b·csinC=c·asinA，所以4S2△ABC=a2·b2sin2B=b2·c2sin2C=c2·a2·sin2A，所以a2·b2=b2·c2=c2·a2，所以a2=b2=c2，所以a=b=c，所以△ABC是等邊三角形.

點評：（1）解法4的處理方法具有一定的整體性，整個解題過程顯得流暢自然；（2）解法4和三角形面積公式（S△ABC=a·bsinB=b·csinC=c·asinA）相互溝通，相互聯(lián)系，具有一種奇異美！

解法5：因為a+b+c=0，所以（a+b+c）·b=0，所以a·b+b·c=-b2. 同理可得a·b+c·a=-a2，a·c+b·c=-c2. 又因為a·b=b·c=c·a，所以-a2=-b2=-c2，所以a=b=c.

點評：（1）處理方法具有整體性與相通性，因而縮短了解題長度，使得解題過程十分簡潔；（2）巧妙運用m·0=0，使解題過程十分流暢、簡約，并有一種奇異之美.

解法6：因為a·b=b·c，所以（a-c）·b=0. 又因為a-c≠0，b≠0，所以（a-c）⊥b. 延長線段CA，使=c，則=a-c，如圖4所示，則⊥，

圖4

在Rt△EBC中，因為A為CE的中點，所以a=c，同理b=c，故a=b=c.

點評：（1）解法6的根本特點是數(shù)形結(jié)合，并賦予已知條件一種幾何解釋；（2）解法6本身也十分自然、流暢、簡約！

例1-1解法總評：

（1）全面體現(xiàn)基本方法. 判斷三角形形狀的通常方法有三類：從邊入手，從角入手，從邊角同時入手. 例1-1的6種不同解法都可歸納為前兩類方法中的某一類.

（2）全面運用基本內(nèi)容. 判斷三角形時經(jīng)常用到的兩個重要定理——正弦定理、余弦定理，以及三角形的面積公式在例1-1的不同解法中都有涉及.從解法1到解法6在“問題解決”的驅(qū)動下，使不同的數(shù)學(xué)知識自然地溝通起來，聯(lián)系起來！

（3）處理技巧異彩紛呈. 不同的解題方法具有一定的共性的同時，更使我們難以忘懷的是它們在處理技巧上的新穎性和獨特性，甚至一定程度的創(chuàng)造性，顯示出了不同解法的奇異美. 相信新穎、獨特的處理技巧對同學(xué)們以后的解題會產(chǎn)生深遠(yuǎn)而持久的影響.

（4）體現(xiàn)深刻的化歸思想. 在例1-1中，幾乎所有的解法都是通過以下模式推理的：從a=b，b=c導(dǎo)出a=b=c（或從A=B，B=C導(dǎo)出A=B=C），這體現(xiàn)了一種化歸的重要思想. 在證明三點共線，或三線共點等問題時經(jīng)常要用到這種重要思想.

下面繼續(xù)研究例1-2的解法.

解法1：因為a+b+c+d=0，所以a+b=-（c+d），所以a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2. 又因為a·b=c·d，所以a2+b2=c2+d2，同理：a2+d2=b2+c2. 所以d2=b2，即b=d，同理：a=c. 所以四邊形ABCD是平行四邊形. 又因為2=（a+b）2=a2+2a·b+b2=c2+b2+2b·c=（c+b）2=2，所以=，所以四邊形ABCD是矩形.endprint

解法2：首先用解法1的方法證得四邊形ABCD是平行四邊形. 因為a·b=b·c，所以（a-c）·b=0. 又因為a-c≠0，b≠0，所以a-c⊥b. 又因為a，c共線，所以a⊥b，所以四邊形ABCD是矩形.

點評：解法2受到例1-1解法6的啟發(fā)，但根據(jù)解題需要，解題過程又有一定變化.

解法3：因為a+b+c+d=0 ①，①式兩邊求與a的數(shù)量積得②式：a2+a·b+c·a+d·a=0 ②，①式兩邊求與c的數(shù)量積③式：a·c+b·c+c·c+d·c=0 ③，②-③得：a2=c2，即a=c，同理可得b=d. 所以四邊形ABCD是平行四邊形（下同解法2）.

點評：解法3與例1-1解法5處理方法類似.

解法4：首先用解法3證明四邊形ABCD是平行四邊形. 又因為a·b=d·a，所以abcos（π-B）=da·cos（π-A），所以abcosB=da·cosA. 又四邊形ABCD是平行四邊形，所以A+B=180°，所以cosB=cos（180°-A）= -cosA，所以cosA=-cosA，即cosA=0. 所以在四邊形ABCD中，A=，所以四邊形ABCD是矩形.

解法5：（如圖5）

圖5

不妨作=c，則a-c=. 又因為a·b=b·c，所以（a-c）·b=0，所以⊥b ①. 又因為c·d=d·a，所以（c-a）·d=0，即（a-c）·d=0，所以⊥d ②. 由①②得b平行于d，同理可證：a平行于c，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以a，c共線. 又因為（a-c）⊥b，所以a⊥b（如圖5），所以四邊形ABCD是矩形.

一題多解的過程是直覺思維不斷閃現(xiàn)的過程，在探求多種解題思路的過程中，同學(xué)們頭腦中要常有一個揮之不去的想法：不這樣做行不行呢？換成別的方法行不行呢？解某道題的方法對這道題有沒有作用呢？這正是誘發(fā)直覺思維的最好的契機；一題多解的過程是思維不斷發(fā)散的過程，從不同側(cè)面、不同角度，盡可能多地嘗試不同的解決方法正是一題多解產(chǎn)生的動力和魅力所在；同時一題多解的過程也是不斷地感受、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的過程，方法的多樣性顯示了數(shù)學(xué)美的奇異性，不同解法的相通性又顯示了數(shù)學(xué)美的普遍性、和諧性. 一題多解的過程同時也是溝通、聯(lián)系不同的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法，使它們?nèi)跁炌ǖ倪^程. 因此，我們認(rèn)為一題多解是感悟解題、學(xué)習(xí)解題的方便之門.endprint

解法2：首先用解法1的方法證得四邊形ABCD是平行四邊形. 因為a·b=b·c，所以（a-c）·b=0. 又因為a-c≠0，b≠0，所以a-c⊥b. 又因為a，c共線，所以a⊥b，所以四邊形ABCD是矩形.

點評：解法2受到例1-1解法6的啟發(fā)，但根據(jù)解題需要，解題過程又有一定變化.

解法3：因為a+b+c+d=0 ①，①式兩邊求與a的數(shù)量積得②式：a2+a·b+c·a+d·a=0 ②，①式兩邊求與c的數(shù)量積③式：a·c+b·c+c·c+d·c=0 ③，②-③得：a2=c2，即a=c，同理可得b=d. 所以四邊形ABCD是平行四邊形（下同解法2）.

點評：解法3與例1-1解法5處理方法類似.

解法4：首先用解法3證明四邊形ABCD是平行四邊形. 又因為a·b=d·a，所以abcos（π-B）=da·cos（π-A），所以abcosB=da·cosA. 又四邊形ABCD是平行四邊形，所以A+B=180°，所以cosB=cos（180°-A）= -cosA，所以cosA=-cosA，即cosA=0. 所以在四邊形ABCD中，A=，所以四邊形ABCD是矩形.

解法5：（如圖5）

圖5

不妨作=c，則a-c=. 又因為a·b=b·c，所以（a-c）·b=0，所以⊥b ①. 又因為c·d=d·a，所以（c-a）·d=0，即（a-c）·d=0，所以⊥d ②. 由①②得b平行于d，同理可證：a平行于c，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以a，c共線. 又因為（a-c）⊥b，所以a⊥b（如圖5），所以四邊形ABCD是矩形.

一題多解的過程是直覺思維不斷閃現(xiàn)的過程，在探求多種解題思路的過程中，同學(xué)們頭腦中要常有一個揮之不去的想法：不這樣做行不行呢？換成別的方法行不行呢？解某道題的方法對這道題有沒有作用呢？這正是誘發(fā)直覺思維的最好的契機；一題多解的過程是思維不斷發(fā)散的過程，從不同側(cè)面、不同角度，盡可能多地嘗試不同的解決方法正是一題多解產(chǎn)生的動力和魅力所在；同時一題多解的過程也是不斷地感受、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的過程，方法的多樣性顯示了數(shù)學(xué)美的奇異性，不同解法的相通性又顯示了數(shù)學(xué)美的普遍性、和諧性. 一題多解的過程同時也是溝通、聯(lián)系不同的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法，使它們?nèi)跁炌ǖ倪^程. 因此，我們認(rèn)為一題多解是感悟解題、學(xué)習(xí)解題的方便之門.endprint

解法2：首先用解法1的方法證得四邊形ABCD是平行四邊形. 因為a·b=b·c，所以（a-c）·b=0. 又因為a-c≠0，b≠0，所以a-c⊥b. 又因為a，c共線，所以a⊥b，所以四邊形ABCD是矩形.

點評：解法2受到例1-1解法6的啟發(fā)，但根據(jù)解題需要，解題過程又有一定變化.

解法3：因為a+b+c+d=0 ①，①式兩邊求與a的數(shù)量積得②式：a2+a·b+c·a+d·a=0 ②，①式兩邊求與c的數(shù)量積③式：a·c+b·c+c·c+d·c=0 ③，②-③得：a2=c2，即a=c，同理可得b=d. 所以四邊形ABCD是平行四邊形（下同解法2）.

點評：解法3與例1-1解法5處理方法類似.

解法4：首先用解法3證明四邊形ABCD是平行四邊形. 又因為a·b=d·a，所以abcos（π-B）=da·cos（π-A），所以abcosB=da·cosA. 又四邊形ABCD是平行四邊形，所以A+B=180°，所以cosB=cos（180°-A）= -cosA，所以cosA=-cosA，即cosA=0. 所以在四邊形ABCD中，A=，所以四邊形ABCD是矩形.

解法5：（如圖5）

圖5

不妨作=c，則a-c=. 又因為a·b=b·c，所以（a-c）·b=0，所以⊥b ①. 又因為c·d=d·a，所以（c-a）·d=0，即（a-c）·d=0，所以⊥d ②. 由①②得b平行于d，同理可證：a平行于c，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以a，c共線. 又因為（a-c）⊥b，所以a⊥b（如圖5），所以四邊形ABCD是矩形.

一題多解的過程是直覺思維不斷閃現(xiàn)的過程，在探求多種解題思路的過程中，同學(xué)們頭腦中要常有一個揮之不去的想法：不這樣做行不行呢？換成別的方法行不行呢？解某道題的方法對這道題有沒有作用呢？這正是誘發(fā)直覺思維的最好的契機；一題多解的過程是思維不斷發(fā)散的過程，從不同側(cè)面、不同角度，盡可能多地嘗試不同的解決方法正是一題多解產(chǎn)生的動力和魅力所在；同時一題多解的過程也是不斷地感受、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的過程，方法的多樣性顯示了數(shù)學(xué)美的奇異性，不同解法的相通性又顯示了數(shù)學(xué)美的普遍性、和諧性. 一題多解的過程同時也是溝通、聯(lián)系不同的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法，使它們?nèi)跁炌ǖ倪^程. 因此，我們認(rèn)為一題多解是感悟解題、學(xué)習(xí)解題的方便之門.endprint