正、余弦定理及其應(yīng)用

夏志輝

重點(diǎn)：①正確理解正、余弦定理的概念，了解正、余弦定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握公式的一些常用變形；②判斷三角形的形狀；③解斜三角形；④運(yùn)用正、余弦定理解決一些實(shí)際問題以及與其他知識的滲透綜合.

難點(diǎn)：①解三角形時(shí)解的情況的討論；②正、余弦定理與三角恒等變換等知識相聯(lián)系的綜合問題.

1. 加強(qiáng)對正、余弦定理及三角形面積公式的記憶

正、余弦定理揭示了三角形中邊、角之間的內(nèi)在聯(lián)系，是溝通三角形邊、角關(guān)系的橋梁，應(yīng)正確理解兩個(gè)定理的內(nèi)涵，熟悉它們的推論及常見變式，并能靈活應(yīng)用.

（1）正弦定理：在△ABC中，===2R（R為△ABC的外接圓的半徑）.

由此可得變形：①a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；

②sinA=，sinB=，sinC=；

③a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC；

④==2R.

（2）余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA， b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.

由此可得變形：cosA=，cosB=，cosC=.

（3）三角形面積公式：S△=absinC=acsinB=bcsinA==（a+b+c）·r（r是三角形的內(nèi)切圓的半徑），并由此計(jì)算R，r.

2. 運(yùn)用正、余弦定理解三角形

（1）運(yùn)用正、余弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊與角的互化，從而把相應(yīng)問題轉(zhuǎn)化為只有角關(guān)系的三角函數(shù)問題或只有邊關(guān)系的代數(shù)問題. 對正、余弦定理的特征（次數(shù)、元素個(gè)數(shù)等）的準(zhǔn)確把握是選取公式的關(guān)鍵.

（2）解三角形就是已知三角形中的三個(gè)獨(dú)立元素（至少已知一邊）求出其他元素的過程. 三角形中的基本元素（邊和角）與非基本元素（如中線、高、角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑）之間的聯(lián)系要通過對有關(guān)的概念與公式（周長、面積、射影定理、勾股定理、內(nèi)角和定理、全等關(guān)系、正弦定理、余弦定理等）的掌握來實(shí)現(xiàn).

（3）要多角度（幾何作圖、三角函數(shù)定義、正弦定理、余弦定理、勾股定理等角度）去理解已知兩邊和其中一邊的對角解斜三角形時(shí)，有一解、兩解或無解三種情況，并會判斷哪些條件使得三角形有一解、兩解或無解. 如在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：

（4）解決三角形中的計(jì)算與證明問題，要注意以下幾點(diǎn)：

①三角形中常用的關(guān)系：sinA=sin（B+C），cosA=-cos（B+C），sin=cos，sin2A=-sin2（B+C），cos2A=cos2（B+C）.

②解決三角形中的問題，要從統(tǒng)一著手，或統(tǒng)一成角的關(guān)系，或統(tǒng)一成邊的關(guān)系，要視情況靈活運(yùn)用.

a. 解三角形時(shí)，要注意解題的完整性，謹(jǐn)防失根.

b. 要熟記一些常見結(jié)論，如三內(nèi)角成等差數(shù)列，則必有一個(gè)角為60°；若三內(nèi)角的正弦值成等差數(shù)列，則三邊也成等差數(shù)列.

c. 對三角形中的不等式，要利用正、余弦的有界性進(jìn)行適當(dāng)“放縮”.

③已學(xué)過的一些結(jié)論：如邊角不等關(guān)系；全等關(guān)系；三角形的面積公式，等等. 在解三角形的過程中可能要用到.

④注意三角公式的靈活運(yùn)用，主要是利用兩角和與兩角差的三角函數(shù)，二倍角的三角函數(shù)，誘導(dǎo)公式等進(jìn)行三角函數(shù)變換.

⑤由正弦定理可推導(dǎo)出一些非常有用的結(jié)論，如在△ABC中，A>B？圳sinA>sinB.

例1 如圖1，在平面四邊形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=.

（1）求cos∠CAD的值；

（2）若已知cos∠BAD=-，sin∠CBA=，求BC的長.

圖1

思索 （1）已知△ACD的三條邊，利用∠CAD的余弦定理即可得到該角的余弦值；（2）利用（1）問得到的∠CAD的余弦值可求得該角的正弦值，再利用正、余弦之間的關(guān)系即可得∠BAD，而∠BAD與∠CAD之差即為∠BAC，此時(shí)利用正弦的和差角公式可得∠BAC的正弦值，最后在△ABC中運(yùn)用正弦定理即可求出BC的長.

破解 （1）在△ACD中，由余弦定理可得cos∠CAD===，所以cos∠CAD=.

（2）因?yàn)椤螧AD為四邊形的內(nèi)角，所以sin∠BAD>0且sin∠CAD>0，則由正、余弦的關(guān)系可得sin∠BAD==，sin∠CAD==.

再由正弦的和差角公式可得sin∠BAC=sin（∠BAD-∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD-sin∠CAD· cos∠BAD=×-×-=+=.

最后由△ABC的正弦定理可得=？圯BC=×=3.

點(diǎn)評 （1）仔細(xì)分析角與角之間的聯(lián)系、式子的聯(lián)系，是利用兩角和與差的三角函數(shù)公式和誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)求值的關(guān)鍵，掌握公式的正用、逆用、變形用的運(yùn)用方法，注意整體思想方法，不要亂用公式；（2）注意三角形內(nèi)角和定理在減少角的形式個(gè)數(shù)中的轉(zhuǎn)化作用；（3）在求解時(shí)要根據(jù)已知條件合理地使用正、余弦定理.

例2 △ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.

（1）若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sinA+sinC=2sin（A+C）；

（2）若a，b，c成等比數(shù)列，求cosB的最小值.

思索 （1）因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以a+c=2b，再由正弦定理得sinA+sinC=2sinB；（2）因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，所以b2=ac，由余弦定理得cosB==-，再由基本不等式求解.

破解 （1）因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以a+c=2b，再由正弦定理得sinA+sinC=2sinB. 因?yàn)閟inB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C），所以sinA+sinC=2sin（A+C）.endprint

（2）因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，所以b2=ac，由余弦定理得cosB===-.

因?yàn)閍2+c2≥2ac（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號成立），所以-≥（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號成立），即cosB≥，所以cosB的最小值為.

點(diǎn)評 （1）三角形中內(nèi)角和為180°，這是首先要考慮的隱含條件，三角條件等式或恒等式的計(jì)算、證明，都應(yīng)化繁為簡，實(shí)現(xiàn)角、函數(shù)名稱的統(tǒng)一；（2）本題第（2）小問的本質(zhì)就是已知兩個(gè)式子b2=ac和cosB=，去找出a，c的直接關(guān)系式，用到了消元的思想.

例3 如圖2，某公司要在A，B兩地連線上的定點(diǎn)C處建造廣告牌CD，其中D為頂端，AC長35米，CB長80米. 設(shè)A，B在同一水平面上，從A和B看D的仰角分別為α，β.

圖2

（1）設(shè)計(jì)中CD是鉛垂方向，若要求α≥2β，問：CD的長至多為多少？（結(jié)果精確到0.01米）

（2）施工完成后， CD與鉛垂方向有偏差，現(xiàn)在實(shí)測得α=38.12°，β=18.45°，求CD的長.（結(jié)果精確到0.01米）

思索 （1）條件α≥2β可以轉(zhuǎn)化為tanα≥tan2β，即tanα≥，而tanα，tanβ可用CD的長表示出來，從而得到關(guān)于CD的不等式，解之可得所求結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件，要求CD的長，可在△ACD或△BCD中運(yùn)用余弦定理求得，由此要知道AD或BD的長，而AD或BD兩邊在△ABD中，可用正弦定理求得.

破解 （1）由題得，因?yàn)棣痢?β，且0<2β≤α<，所以tanα≥tan2β，即≥，從而解得CD≤20，所以CD≈28.28米.

（2）由題得∠ADB=180°-38.12°-18.45°=123.43°，因?yàn)?，所以AD≈43.61米.因?yàn)镃D2=352+AD2-2.35·AD·cos38.12°，所以CD≈26.93米.

點(diǎn)評 本題是正、余弦函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用問題，關(guān)鍵是將條件α≥2β轉(zhuǎn)化為tanα≥tan2β，再用長度表示出正切值，找到長度間的關(guān)系，合理運(yùn)用定理解決.

1. 已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，2bcosC=2a-c.

（1）求B；

（2）若△ABC的面積為，求b的取值范圍.

2. 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acos2+ccos2=b.

（1）求證：a，b，c成等差數(shù)列；

（2）若∠B=60°，b=4，求△ABC的面積.

3. 在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asinA=（2b-c）·sinB+（2c-b）sinC.

（1）求角A的大??；

（2）若sinB+sinC=，試判斷△ABC的形狀.

參考答案

1. （1）B=

（2）[2，+∞）

2. （1）acos2+ccos2=a·+c·=b，即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b. 由正弦定理得sinA+sinAcosC+sinC+cosAsin C=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，所以sinA+sinC=2sinB. 由正弦定理得a+c=2b，故a，b，c成等差數(shù)列.

（2）由∠B=60°，b=4及余弦定理得42=a2+c2-2accos60°，所以（a+c）2-3ac=16.又由（1）知a+c=2b，代入上式得4b2-3ac=16，解得ac=16.所以可知△ABC的面積S=acsinB=ac·sin60°=4.

3. （1）A=60°.

（2）因?yàn)锳+B+C=180°，所以B+C=180°-60°=120°.由sinB+sinC=，得sinB+sin（120°-B）=，所以sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=.所以sinB+cosB=，即sin（B+30°）=1. 又因?yàn)?°

（2）因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，所以b2=ac，由余弦定理得cosB===-.

因?yàn)閍2+c2≥2ac（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號成立），所以-≥（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號成立），即cosB≥，所以cosB的最小值為.

點(diǎn)評 （1）三角形中內(nèi)角和為180°，這是首先要考慮的隱含條件，三角條件等式或恒等式的計(jì)算、證明，都應(yīng)化繁為簡，實(shí)現(xiàn)角、函數(shù)名稱的統(tǒng)一；（2）本題第（2）小問的本質(zhì)就是已知兩個(gè)式子b2=ac和cosB=，去找出a，c的直接關(guān)系式，用到了消元的思想.

例3 如圖2，某公司要在A，B兩地連線上的定點(diǎn)C處建造廣告牌CD，其中D為頂端，AC長35米，CB長80米. 設(shè)A，B在同一水平面上，從A和B看D的仰角分別為α，β.

圖2

（1）設(shè)計(jì)中CD是鉛垂方向，若要求α≥2β，問：CD的長至多為多少？（結(jié)果精確到0.01米）

（2）施工完成后， CD與鉛垂方向有偏差，現(xiàn)在實(shí)測得α=38.12°，β=18.45°，求CD的長.（結(jié)果精確到0.01米）

思索 （1）條件α≥2β可以轉(zhuǎn)化為tanα≥tan2β，即tanα≥，而tanα，tanβ可用CD的長表示出來，從而得到關(guān)于CD的不等式，解之可得所求結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件，要求CD的長，可在△ACD或△BCD中運(yùn)用余弦定理求得，由此要知道AD或BD的長，而AD或BD兩邊在△ABD中，可用正弦定理求得.

破解 （1）由題得，因?yàn)棣痢?β，且0<2β≤α<，所以tanα≥tan2β，即≥，從而解得CD≤20，所以CD≈28.28米.

（2）由題得∠ADB=180°-38.12°-18.45°=123.43°，因?yàn)?，所以AD≈43.61米.因?yàn)镃D2=352+AD2-2.35·AD·cos38.12°，所以CD≈26.93米.

點(diǎn)評 本題是正、余弦函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用問題，關(guān)鍵是將條件α≥2β轉(zhuǎn)化為tanα≥tan2β，再用長度表示出正切值，找到長度間的關(guān)系，合理運(yùn)用定理解決.

1. 已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，2bcosC=2a-c.

（1）求B；

（2）若△ABC的面積為，求b的取值范圍.

2. 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acos2+ccos2=b.

（1）求證：a，b，c成等差數(shù)列；

（2）若∠B=60°，b=4，求△ABC的面積.

3. 在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asinA=（2b-c）·sinB+（2c-b）sinC.

（1）求角A的大??；

（2）若sinB+sinC=，試判斷△ABC的形狀.

參考答案

1. （1）B=

（2）[2，+∞）

2. （1）acos2+ccos2=a·+c·=b，即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b. 由正弦定理得sinA+sinAcosC+sinC+cosAsin C=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，所以sinA+sinC=2sinB. 由正弦定理得a+c=2b，故a，b，c成等差數(shù)列.

（2）由∠B=60°，b=4及余弦定理得42=a2+c2-2accos60°，所以（a+c）2-3ac=16.又由（1）知a+c=2b，代入上式得4b2-3ac=16，解得ac=16.所以可知△ABC的面積S=acsinB=ac·sin60°=4.

3. （1）A=60°.

（2）因?yàn)锳+B+C=180°，所以B+C=180°-60°=120°.由sinB+sinC=，得sinB+sin（120°-B）=，所以sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=.所以sinB+cosB=，即sin（B+30°）=1. 又因?yàn)?°

（2）因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，所以b2=ac，由余弦定理得cosB===-.

因?yàn)閍2+c2≥2ac（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號成立），所以-≥（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號成立），即cosB≥，所以cosB的最小值為.

點(diǎn)評 （1）三角形中內(nèi)角和為180°，這是首先要考慮的隱含條件，三角條件等式或恒等式的計(jì)算、證明，都應(yīng)化繁為簡，實(shí)現(xiàn)角、函數(shù)名稱的統(tǒng)一；（2）本題第（2）小問的本質(zhì)就是已知兩個(gè)式子b2=ac和cosB=，去找出a，c的直接關(guān)系式，用到了消元的思想.

例3 如圖2，某公司要在A，B兩地連線上的定點(diǎn)C處建造廣告牌CD，其中D為頂端，AC長35米，CB長80米. 設(shè)A，B在同一水平面上，從A和B看D的仰角分別為α，β.

圖2

（1）設(shè)計(jì)中CD是鉛垂方向，若要求α≥2β，問：CD的長至多為多少？（結(jié)果精確到0.01米）

（2）施工完成后， CD與鉛垂方向有偏差，現(xiàn)在實(shí)測得α=38.12°，β=18.45°，求CD的長.（結(jié)果精確到0.01米）

思索 （1）條件α≥2β可以轉(zhuǎn)化為tanα≥tan2β，即tanα≥，而tanα，tanβ可用CD的長表示出來，從而得到關(guān)于CD的不等式，解之可得所求結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件，要求CD的長，可在△ACD或△BCD中運(yùn)用余弦定理求得，由此要知道AD或BD的長，而AD或BD兩邊在△ABD中，可用正弦定理求得.

破解 （1）由題得，因?yàn)棣痢?β，且0<2β≤α<，所以tanα≥tan2β，即≥，從而解得CD≤20，所以CD≈28.28米.

（2）由題得∠ADB=180°-38.12°-18.45°=123.43°，因?yàn)?，所以AD≈43.61米.因?yàn)镃D2=352+AD2-2.35·AD·cos38.12°，所以CD≈26.93米.

點(diǎn)評 本題是正、余弦函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用問題，關(guān)鍵是將條件α≥2β轉(zhuǎn)化為tanα≥tan2β，再用長度表示出正切值，找到長度間的關(guān)系，合理運(yùn)用定理解決.

1. 已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，2bcosC=2a-c.

（1）求B；

（2）若△ABC的面積為，求b的取值范圍.

2. 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acos2+ccos2=b.

（1）求證：a，b，c成等差數(shù)列；

（2）若∠B=60°，b=4，求△ABC的面積.

3. 在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asinA=（2b-c）·sinB+（2c-b）sinC.

（1）求角A的大??；

（2）若sinB+sinC=，試判斷△ABC的形狀.

參考答案

1. （1）B=

（2）[2，+∞）

2. （1）acos2+ccos2=a·+c·=b，即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b. 由正弦定理得sinA+sinAcosC+sinC+cosAsin C=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，所以sinA+sinC=2sinB. 由正弦定理得a+c=2b，故a，b，c成等差數(shù)列.

（2）由∠B=60°，b=4及余弦定理得42=a2+c2-2accos60°，所以（a+c）2-3ac=16.又由（1）知a+c=2b，代入上式得4b2-3ac=16，解得ac=16.所以可知△ABC的面積S=acsinB=ac·sin60°=4.

3. （1）A=60°.

（2）因?yàn)锳+B+C=180°，所以B+C=180°-60°=120°.由sinB+sinC=，得sinB+sin（120°-B）=，所以sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=.所以sinB+cosB=，即sin（B+30°）=1. 又因?yàn)?°