三角恒等變換

章少川

本部分內(nèi)容由兩角和差與兩倍角的正、余弦公式，正切公式組成.主要考查運算能力、公式的靈活運用能力. 在客觀題中，突出考查基本公式所涉及的簡單運算；解答題中以中等難度題為主，重點考查函數(shù)名稱、角、關(guān)系式的變換，多數(shù)問題都會聯(lián)系三角形、向量等概念進行綜合考查，

重點：熟練記憶誘導公式、同角三角函數(shù)關(guān)系，兩角和差的三角函數(shù)公式及二倍角公式，另外對特殊角的三角函數(shù)值應非常熟悉.培養(yǎng)觀察能力，尋求角與角之間的聯(lián)系，掌握必要的變形技巧，提高準確的解題方向.

難點：其一，如何牢固記憶眾多公式；其二，如何根據(jù)三角函數(shù)的形式去選擇合適的求值、化簡與證明的方法.

1. 三角恒等變形的基本思路

一般從“角”“名”“結(jié)構(gòu)”三方面入手. 一看“角”，這是最重要的一環(huán)，常見思路是復角變單角、一般角變特殊角、目標角變已知角；二看“函數(shù)名稱”，常見的有“切化弦”“萬能公式”等；三看“結(jié)構(gòu)特征”，常用思路是關(guān)系式的展開與合并、次冪的轉(zhuǎn)換、分式與整式的運算、角度的配湊等.

2. 三角恒等變形的基本策略

（1）齊次同除：如已知tanα=2，求的值.

（2）sinα±cosα與sinα·cosα的關(guān)系，以及1±sinα=sin±cos.

（3）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=sin2θ+cos2θ=tan45°等.

（4）角的配湊：如α=（α+β）-β=（α-β）+β，2α=（α+β）+（α-β），α=[（α+β）+（α-β）].

（5）互余關(guān)系：如sin+θ=cos-θ，cos-2α=sin+2α.

（6）降次與升次：即倍角公式的變形，sin2α=，cos2α=，1+cosα=2cos2等.

（7）引入輔助角：asinθ+bcosθ=sin（θ+φ），這里輔助角φ所在象限由a，b的符號確定，φ角的值由tanφ=確定.

值得注意的是，掌握特定類型的特別做法會在解題過程中起到事半功倍的效果，但切不可生搬硬套，一定要結(jié)合試題的具體問題做具體分析.

3. 求值題常見類型

（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系.

（2）給值求值：此解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系.

（3）給值求角：其實質(zhì)是“給值求值”，關(guān)鍵也是“變角”，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角.

例1 設α為銳角，若已知cosα+=，則sin2α+的值為_______.

思索 三角變換的基本策略常常是從角的關(guān)系尋找突破口：本題若從條件展開cosα+=，則也應展開所求的sin2α+，才可找出它們之間的關(guān)系，有一定難度；但若從角度關(guān)系入手，發(fā)現(xiàn)已知角與未知角的倍數(shù)關(guān)系，再進行拆角變換就可很快解決此題.

破解 因為α為銳角，即0<α<，所以<α+<+=. 因為cosα+=，所以sinα+=. 所以sin2α+=2sinα+·cosα+=2××=. 所以cos2α+=2cos2α+-1=. 所以sin2α+=sin2α+-=sin2α+cos-cos2α+sin=·-·=.

例2 （2014年高考重慶卷） 若已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）ω>0，-≤φ<的圖象關(guān)于直線x=對稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π.

（1）求ω和φ的值；

（2）若f=<α<，求cosα+的值.

思索： 問題（1）考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，不難求得ω和φ的值；問題（2）先把條件變形，即sinα-=，而結(jié)論要求cosα+即sinα，從角的關(guān)系尋找突破口，應進行拆角變換.

破解 （1）因為f（x）的圖象上相鄰兩個最高點的距離為π，所以f（x）的最小正周期T=π，從而ω==2.又因為f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱，所以2×+φ=kπ+，k=0，±1，±2，….因為-≤φ<，所以φ=-.

（2）由（1）及已知得f=·sin2×-=，故sinα-=.又由<α<得0<α-<，？搖 所以cosα-===.因此cosα+=sinα=sinα-+=sinα-·cos+cosα-sin=×+×=.

例3 （2014年高考天津卷）已知函數(shù)f（x）=cosx·sinx+-cos2x+，x∈R.

（1）求f（x）的最小正周期.

（2）求f（x）在閉區(qū)間-，上的最大值和最小值.

思索 本題是一道典型的三角函數(shù)題：一般是通過對三角函數(shù)“角、名、結(jié)構(gòu)”的分析，先把函數(shù)化歸為y=Asin（ωx+φ）的常見形式，才可進行函數(shù)性質(zhì)研究.“降冪”變形與“輔助角”變形是最常用手法.

破解 （1）f（x）=cosx·sinx+-cos2x+=cosx·sinx+cosx-cos2x+=cosx·sinx-cos2x+=sin2x-cos2x=sin2x-.所以f（x）的最小正周期為π.

（2）-≤x≤時， -≤2x-≤，所以2x-=-，即x=-時， f（x）取最小值-；所以2x-=，即x=時， f（x）取最大值.

例4 （2014年高考江西卷）已知函數(shù)f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈-，.

（1）當a=，θ=時，求f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值與最小值；

（2）若f=0， f（π）=1，求a，θ的值.

思索 本題第（1）問把特殊值代入，展開變形為單一函數(shù)并結(jié)合圖象可求區(qū)間[0，π]上的最值；第（2）問由兩個條件得到兩個關(guān)系式，要注意分析其特征才能求得兩個參數(shù)的值.本題由于條件中含參數(shù)，可加條件使問題更簡單化，也可改造為更綜合的探究性試題或開放性試題.endprint

破解 （1）因為a=，θ=，所以f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）=sinx++cosx+=sinx+cosx-sinx=cosx-sinx=cosx+.又0≤x≤π，所以≤x+≤，所以f（x）min= -1， f（x）max=.

（2）由已知f=sin+θ+acos+2θ=cosθ-asin2θ=cosθ-2asinθcosθ=0；又θ∈-，，所以cosθ≠0，所以2asinθ=1.因為f（π）=sin（π+θ）+acos（π+2θ）=-sinθ-acos2θ=1，所以-sinθ-a（1-2sin2θ）=1，所以

-sinθ-a+2asin2θ=1，所以a=-1，所以sinθ=-. 又θ∈-，，所以θ=-.

1. 已知α∈，，sin-α= -，則cos2α=_______.

2. 化簡：

（1）；

（2）（0<θ<π）.

3. 若已知0<β<<α<，且cos-α=，sin+β=，則sin（α+β）的值為_______.

4. 已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0≤φ≤π）為偶函數(shù)，且其圖象上相鄰最高點、最低點間的距離為.

（1）求函數(shù)f（x）的表達式；？搖

（2）若已知sinα+f（α）=，據(jù)此求的值.

參考答案

1. 因為α∈，，所以-α∈-，0. 因為sin-α=-，所以cos-α=，故cos2α=sin-2α=2sin-αcos-α=2×-×=-.

2. 如下：

（1）原式=

===cos2x.

（2）原式=·sin-cos==. 因為0<θ<π，所以0<<，cos>0，所以原式=-cosθ.

3. cos-α=sinα+=，因為<α+<π，所以cosα+= -. 因為sin+β=，<β+<π，所以cos+β=-，所以sin（α+β）=-sinα++β+= -sinα+cosβ++cosα+·sinβ+=.

4. （1）因為f（x）為偶函數(shù)，所以可得sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），即2sinωxcosφ=0恒成立，所以有cosφ=0. 又0≤φ≤π，所以φ=. 又相鄰最高點、最低點間的距離為，圖象上相鄰對稱軸之間的距離為π，所以T=2π，所以ω=1，所以f（x）=cosx.

（2）因為原式===2sinαcosα，且sinα+cosα=，所以1+2sinα·cosα=，即2sinαcosα=-，故原式=-.endprint

破解 （1）因為a=，θ=，所以f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）=sinx++cosx+=sinx+cosx-sinx=cosx-sinx=cosx+.又0≤x≤π，所以≤x+≤，所以f（x）min= -1， f（x）max=.

（2）由已知f=sin+θ+acos+2θ=cosθ-asin2θ=cosθ-2asinθcosθ=0；又θ∈-，，所以cosθ≠0，所以2asinθ=1.因為f（π）=sin（π+θ）+acos（π+2θ）=-sinθ-acos2θ=1，所以-sinθ-a（1-2sin2θ）=1，所以

-sinθ-a+2asin2θ=1，所以a=-1，所以sinθ=-. 又θ∈-，，所以θ=-.

1. 已知α∈，，sin-α= -，則cos2α=_______.

2. 化簡：

（1）；

（2）（0<θ<π）.

3. 若已知0<β<<α<，且cos-α=，sin+β=，則sin（α+β）的值為_______.

4. 已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0≤φ≤π）為偶函數(shù)，且其圖象上相鄰最高點、最低點間的距離為.

（1）求函數(shù)f（x）的表達式；？搖

（2）若已知sinα+f（α）=，據(jù)此求的值.

參考答案

1. 因為α∈，，所以-α∈-，0. 因為sin-α=-，所以cos-α=，故cos2α=sin-2α=2sin-αcos-α=2×-×=-.

2. 如下：

（1）原式=

===cos2x.

（2）原式=·sin-cos==. 因為0<θ<π，所以0<<，cos>0，所以原式=-cosθ.

3. cos-α=sinα+=，因為<α+<π，所以cosα+= -. 因為sin+β=，<β+<π，所以cos+β=-，所以sin（α+β）=-sinα++β+= -sinα+cosβ++cosα+·sinβ+=.

4. （1）因為f（x）為偶函數(shù)，所以可得sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），即2sinωxcosφ=0恒成立，所以有cosφ=0. 又0≤φ≤π，所以φ=. 又相鄰最高點、最低點間的距離為，圖象上相鄰對稱軸之間的距離為π，所以T=2π，所以ω=1，所以f（x）=cosx.

（2）因為原式===2sinαcosα，且sinα+cosα=，所以1+2sinα·cosα=，即2sinαcosα=-，故原式=-.endprint

破解 （1）因為a=，θ=，所以f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）=sinx++cosx+=sinx+cosx-sinx=cosx-sinx=cosx+.又0≤x≤π，所以≤x+≤，所以f（x）min= -1， f（x）max=.

（2）由已知f=sin+θ+acos+2θ=cosθ-asin2θ=cosθ-2asinθcosθ=0；又θ∈-，，所以cosθ≠0，所以2asinθ=1.因為f（π）=sin（π+θ）+acos（π+2θ）=-sinθ-acos2θ=1，所以-sinθ-a（1-2sin2θ）=1，所以

-sinθ-a+2asin2θ=1，所以a=-1，所以sinθ=-. 又θ∈-，，所以θ=-.

1. 已知α∈，，sin-α= -，則cos2α=_______.

2. 化簡：

（1）；

（2）（0<θ<π）.

3. 若已知0<β<<α<，且cos-α=，sin+β=，則sin（α+β）的值為_______.

4. 已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0≤φ≤π）為偶函數(shù)，且其圖象上相鄰最高點、最低點間的距離為.

（1）求函數(shù)f（x）的表達式；？搖

（2）若已知sinα+f（α）=，據(jù)此求的值.

參考答案

1. 因為α∈，，所以-α∈-，0. 因為sin-α=-，所以cos-α=，故cos2α=sin-2α=2sin-αcos-α=2×-×=-.

2. 如下：

（1）原式=

===cos2x.

（2）原式=·sin-cos==. 因為0<θ<π，所以0<<，cos>0，所以原式=-cosθ.

3. cos-α=sinα+=，因為<α+<π，所以cosα+= -. 因為sin+β=，<β+<π，所以cos+β=-，所以sin（α+β）=-sinα++β+= -sinα+cosβ++cosα+·sinβ+=.

4. （1）因為f（x）為偶函數(shù)，所以可得sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），即2sinωxcosφ=0恒成立，所以有cosφ=0. 又0≤φ≤π，所以φ=. 又相鄰最高點、最低點間的距離為，圖象上相鄰對稱軸之間的距離為π，所以T=2π，所以ω=1，所以f（x）=cosx.

（2）因為原式===2sinαcosα，且sinα+cosα=，所以1+2sinα·cosα=，即2sinαcosα=-，故原式=-.endprint