散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)的齒面重建及局部特征優(yōu)化

胡偉端，黃筱調(diào)，2，張 虎，郭二廓

（1.南京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 南京 210009；2.江蘇省工業(yè)裝備數(shù)字制造及控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210009）

0 引言

齒輪是機(jī)械裝備中主要的傳動(dòng)部件，精度是其性能的重要指標(biāo)，齒輪修形技術(shù)［1］是高精度齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)和制造的關(guān)鍵技術(shù)，基于目標(biāo)的修形理論需要確定齒面修形的部位和修形量，建立拓?fù)湫扌蔚臄?shù)字化齒面，通過(guò)實(shí)際修形齒形與目標(biāo)修形齒形之間的誤差對(duì)機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸進(jìn)行控制。對(duì)實(shí)際齒面進(jìn)行測(cè)量可以獲得齒面上大量離散的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，對(duì)處理后的點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行曲面重建可以建立數(shù)字化齒面模型。文獻(xiàn)［2］由離散點(diǎn)云數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)處理后導(dǎo)入三維造型軟件，生成錐齒輪三維實(shí)體模型，但采用該方法得到的齒面精度有限。Geetika Tewari等3采用雙周期全局參量法對(duì)5 044個(gè)齒輪點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行重建，該方法不需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分塊，但由于采用全局變量，需要大量的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)且屬于粗重建；Wang Yutao等［4］采用自動(dòng)估計(jì)局部自適應(yīng)參數(shù)的方法對(duì)掃描后的齒輪點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行重建，該方法不需要原始點(diǎn)云法向量信息且具有一定的健壯性，但在估計(jì)每個(gè)點(diǎn)的特征系數(shù)時(shí)需要大量的計(jì)算時(shí)間，且并沒(méi)有對(duì)齒輪重建后的精度進(jìn)行分析。

細(xì)分是對(duì)初始網(wǎng)格重復(fù)運(yùn)用新頂點(diǎn)生成規(guī)則和頂點(diǎn)間的連接關(guān)系，細(xì)化出可收斂于光滑連續(xù)曲面的曲面重建技術(shù)。Loop［5］的方法是一種經(jīng)典的細(xì)分方法，在此基礎(chǔ)上，李桂清等［6］實(shí)現(xiàn)了一個(gè)基于帶尖銳特征的Loop細(xì)分曲面的三角網(wǎng)格擬合系統(tǒng)；白杰等［7］用帶折痕的不同層次的Loop細(xì)分網(wǎng)格等距面作為不同加工工序的加工模型，讓細(xì)分技術(shù)更貼近應(yīng)用。但細(xì)分技術(shù)應(yīng)用于齒面重建的研究較少，邢元［8］運(yùn)用細(xì)分技術(shù)重建出螺旋錐齒輪齒面，通過(guò)造型軟件對(duì)齒面的幾何特征進(jìn)行提取，并沒(méi)有對(duì)齒面局部的尖銳特征，如折痕、尖刺和角等進(jìn)行相應(yīng)研究。本文就上述研究中對(duì)齒面重建時(shí)的缺陷和漏洞作了進(jìn)一步研究，提出重建齒面的新方法，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析重建齒面的質(zhì)量。

1 帶特征的Loop齒面

1.1 特征的分類(lèi)

文獻(xiàn)［9-10］中給出了刺點(diǎn)、角點(diǎn)和折痕等尖銳特征的定義，定義如下：

（1）折痕（crease）曲面上一階光滑曲線(xiàn)，曲面沿該曲線(xiàn)為C0連續(xù)的，而在其附近至少是C1連續(xù)的。

（2）角點(diǎn)（corner）兩條或兩條以上邊界邊交匯點(diǎn)、邊界與折痕的交匯點(diǎn)、三條或更多的折痕的公共交匯點(diǎn)。

（3）刺點(diǎn)（dart）曲面內(nèi)部頂點(diǎn)，折痕在此處終止，曲面在頂點(diǎn)至少是C1連續(xù)的。

（4）尖點(diǎn)（cusp）與錐點(diǎn)類(lèi)似，其極限切矢量為一維的，曲面在該點(diǎn)是C0連續(xù)的。

此外，特征還應(yīng)包括網(wǎng)格的邊界邊和邊界上的邊界點(diǎn)。

1.2 細(xì)分規(guī)則

（1）內(nèi)部光滑邊點(diǎn)（點(diǎn)）的細(xì)分規(guī)則

1）V-頂點(diǎn) 內(nèi)部光滑點(diǎn)V的1-領(lǐng)域相連的頂點(diǎn)為V1，V2，…，Vk，其中n為光滑點(diǎn)的價(jià)，經(jīng)過(guò)一次細(xì)分后，相應(yīng)的V-頂點(diǎn)為

2）E-邊點(diǎn) 內(nèi)部光滑邊的兩個(gè)頂點(diǎn)為V0和V1，該邊兩鄰接三角形面為（V0，V1，V2），（V0，V1，V3），則E-邊點(diǎn)為

（2）刺點(diǎn)的細(xì)分規(guī)則

刺點(diǎn)是折痕的端點(diǎn)，與曲面光滑過(guò)渡，而且與刺點(diǎn)相連的邊有且只有一條是折痕邊，其余為曲面內(nèi)部光滑邊，刺點(diǎn)的細(xì)分規(guī)則與內(nèi)部光滑點(diǎn)的細(xì)分規(guī)則相同。

（3）折痕邊點(diǎn)（點(diǎn)）、邊界邊點(diǎn)（點(diǎn)）的細(xì)分規(guī)則

1）V-頂點(diǎn) 設(shè)V0為折痕點(diǎn)、邊界點(diǎn)，V1和Vk是與V0直接相連的兩特征點(diǎn)，則相應(yīng)的V-頂點(diǎn)為

2）E-邊點(diǎn) 假設(shè)特征邊的兩端點(diǎn)為V0和Vk，不同情況下的折痕點(diǎn)計(jì)算公式如下：

當(dāng)頂點(diǎn)V0和Vk都是正則折痕點(diǎn)或者都是奇異折痕點(diǎn)時(shí)，E-邊點(diǎn)為

當(dāng)頂點(diǎn)Vk是正則頂點(diǎn)，V0是奇異頂點(diǎn)時(shí)，

當(dāng)頂點(diǎn)V0是正則頂點(diǎn)，Vk是奇異頂點(diǎn)時(shí)，

（4）角點(diǎn)、尖點(diǎn)的細(xì)分規(guī)則

角點(diǎn)和尖點(diǎn)在細(xì)分過(guò)程中的位置不變，即

1.3 特征點(diǎn)的極限位置

1.3.1 內(nèi)部光滑點(diǎn)的極限位置

將式（1）和式（2）寫(xiě)為矩陣形式：

式（8）中（n+1）×（n+1）方陣稱(chēng)作為Vk局部細(xì)分矩陣Mn+1，化簡(jiǎn)矩陣Mn+1得

該式的特征多項(xiàng)式為

式中：a=8-8nβn，b=8βn；Cn是n維數(shù)組｛3，1，0，…，0，1｝的循環(huán)矩陣，對(duì)循環(huán)矩陣Cn進(jìn)行傅里葉分析，可以求出Cn的特征值為

通過(guò)對(duì)式（9）和式（10）的特征值進(jìn)行分析，可得Mn+1的最大特征值為λ0=1，對(duì)應(yīng)的左特征向量l0=，其中w=3／（8β）。又因?yàn)榫仃嘙n+1不是虧損的，且具有仿射不變性，可以得到頂點(diǎn)V的極限位置：

1.3.2 折痕、邊界點(diǎn)、角點(diǎn)、尖點(diǎn)的極限位置

由式（3）～式（7）細(xì)分規(guī)則，根據(jù)上述求光滑點(diǎn)的方法同理可以求出其他頂點(diǎn)的極限位置，表1列出了折痕點(diǎn)、邊界點(diǎn)、角點(diǎn)和尖點(diǎn)的極限位置。

表1 特征點(diǎn)的極限位置

2 大量散亂點(diǎn)數(shù)據(jù)齒面細(xì)分重建原理

本文算法是以齒面上大量散亂點(diǎn)的原始數(shù)據(jù)｛pi｝為輸入量，通過(guò)如圖1所示的大量散亂點(diǎn)數(shù)據(jù)齒面細(xì)分重建算法原理說(shuō)明圖重建流程，最終生成細(xì)分齒面。

2.1 建立初始網(wǎng)格

原有的相關(guān)文獻(xiàn)通過(guò)建立形狀簡(jiǎn)單的初始網(wǎng)格，不斷對(duì)網(wǎng)格控制頂點(diǎn)進(jìn)行循環(huán)逼近修正，每次在修正控制頂點(diǎn)后又采用拉普拉斯算子對(duì)修正后的網(wǎng)格進(jìn)行網(wǎng)格優(yōu)化，直到總體平均誤差小于給定的擬合精度，結(jié)束循環(huán)修正。為了避免上述建立初始網(wǎng)格的復(fù)雜過(guò)程，本文提出一種空間三角網(wǎng)格螺旋增長(zhǎng)重建出齒面粗模型的算法。

螺旋增長(zhǎng)算法流程如下：

（1）輸入齒面大量散亂點(diǎn)的原始數(shù)據(jù)｛pi｝，通過(guò)設(shè)定具有上下限的閾值PDIST去除冗余點(diǎn)，計(jì)算法矢保留特征點(diǎn)，噪聲點(diǎn)的剔除，對(duì)原始數(shù)據(jù)｛pi｝進(jìn)行預(yù)處理，得到簡(jiǎn)化后的數(shù)據(jù)｛p′i｝。

（2）采用極坐標(biāo)法選取初始頂點(diǎn)p′1，通過(guò)距離盡量最短的原則找出p′2和p′3，構(gòu)造出初始三角形Δp′1p′2p′3。

（3）以初始三角形Δp′1p′2p′3為基礎(chǔ)，根據(jù)最長(zhǎng)邊限定原則（最長(zhǎng)邊不超過(guò)kPDIST，k為限制系數(shù)）、最小內(nèi)角MIA限定原則（不得小于30°，主要避免狹長(zhǎng)三角形的產(chǎn)生）、二面角DA最小原則（避免三角形重疊和保證生成的三角網(wǎng)格中具有公共邊的三角形不超過(guò)2個(gè)，即生成的三角網(wǎng)格是二流形網(wǎng)格），不斷從簡(jiǎn)化后的數(shù)據(jù)｛p′i｝中找出擴(kuò)展點(diǎn)。其中擴(kuò)展點(diǎn)分為鄰接邊的端點(diǎn)和首次成為擴(kuò)展點(diǎn)的點(diǎn)（外點(diǎn)），算法參數(shù)取值如表2所示。

表2 算法參數(shù)的取值

（4）在每次尋找擴(kuò)展點(diǎn)時(shí)，要對(duì)當(dāng)前網(wǎng)格在點(diǎn)鏈表中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)進(jìn)行加鎖和解鎖操作，先對(duì)網(wǎng)格在點(diǎn)鏈表對(duì)應(yīng)的點(diǎn)進(jìn)行加鎖，再對(duì)當(dāng)前邊的上一邊的起點(diǎn)和下一邊的終點(diǎn)進(jìn)行解鎖，并對(duì)已成為擴(kuò)展點(diǎn)的點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)記。

（5）直到｛p′i｝中無(wú)可用的點(diǎn)，結(jié)束算法。

2.2 識(shí)別網(wǎng)格特征

2.2.1 邊的特征識(shí)別

對(duì)邊鏈表進(jìn)行查找，由于根據(jù)上述算法構(gòu)造出的網(wǎng)格為二維流形網(wǎng)格，當(dāng)邊只屬于一個(gè)三角面時(shí)，可判斷此邊為邊界邊；對(duì)折痕邊的判斷可采用二面角是否超過(guò)給定的閾值（閾值由實(shí)驗(yàn)測(cè)得）進(jìn)行判斷，并對(duì)邊界邊和折痕邊分別進(jìn)行標(biāo)記。

2.2.2 點(diǎn)的特征識(shí)別

對(duì)點(diǎn)鏈表進(jìn)行循環(huán)，通過(guò)點(diǎn)的價(jià)數(shù)判斷與該點(diǎn)直接相連的邊是否已作標(biāo)記，設(shè)標(biāo)記的個(gè)數(shù)為n，根據(jù)1.1節(jié)特征的分類(lèi)：n=0時(shí)，該點(diǎn)為內(nèi)部正常點(diǎn)；n=1時(shí)，該點(diǎn)為刺點(diǎn)；n=2時(shí)，該點(diǎn)為折痕點(diǎn)或邊界點(diǎn)；兩條邊界邊交點(diǎn)或邊界邊與折痕交點(diǎn)為角點(diǎn)；1-領(lǐng)域三角面與2-領(lǐng)域鄰接三角面的二面角均超過(guò)給定閾值的為尖點(diǎn)。

2.3 調(diào)整細(xì)分點(diǎn)

細(xì)分曲面是網(wǎng)格序列的極限，經(jīng)細(xì)分得到的極限細(xì)分齒面往往與實(shí)際齒面存在偏差，尤其是特征點(diǎn)和特征附近的點(diǎn)，如圖2所示，M表示初始網(wǎng)格，Mr表示實(shí)際齒面網(wǎng)格，M∞表示極限網(wǎng)格，V0和V1的極限位置分別為和，與實(shí)際網(wǎng)格點(diǎn)V′0和V′1存在距離誤差L0和L1。上文給出了各種點(diǎn)的極限位置，因?yàn)長(zhǎng)oop細(xì)分網(wǎng)格上的任意一點(diǎn)Vi在極限細(xì)分曲面上的位置可以用=Li·Vk表示，其中Li是細(xì)分矩陣對(duì)應(yīng)特征值為1的左特征向量，在上文求各種點(diǎn)的極限位置時(shí)已求出；Vk表示極限位置只與該點(diǎn)的1-領(lǐng)域點(diǎn)有關(guān)。因此，可以通過(guò)對(duì)每次細(xì)分出的點(diǎn)搜索其1-領(lǐng)域點(diǎn)，再根據(jù)上文推導(dǎo)出的曲面上幾種點(diǎn)的極限位置公式，計(jì)算其極限細(xì)分點(diǎn)，再與實(shí)際齒面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離補(bǔ)償相應(yīng)的頂點(diǎn)的誤差。如圖3所示，粗線(xiàn)表示的折痕經(jīng)過(guò)一次細(xì)分后，折痕頂點(diǎn)調(diào)整為V′2，V′0和V′1，通過(guò)折痕上細(xì)分出的奇點(diǎn)和偶點(diǎn)調(diào)整折痕附近的點(diǎn)（1-領(lǐng)域的點(diǎn)）V′13，V′30，V′05，V′52，V′24，V′40，V′60和V′16，再通過(guò)折痕附近的點(diǎn)調(diào)整折痕上的點(diǎn)，每次細(xì)分后都進(jìn)行上述反復(fù)交叉調(diào)整。通過(guò)上文推出的不同情況下網(wǎng)格上任意一點(diǎn)在極限細(xì)分曲面上位置，可以得出通式

式中βi，j為：

從數(shù)據(jù)點(diǎn)集｛pi｝中找到與最近的點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)的極限細(xì)分曲面上與數(shù)據(jù)點(diǎn)集中pi的距離誤差為L(zhǎng)i，則。如果距離誤差Li大于給定的閾值，則可采用文獻(xiàn)［11］中以搜索的最近頂點(diǎn)位置和法向建立參數(shù)直線(xiàn)方程，通過(guò)讓精度評(píng)價(jià)系數(shù)λ足夠小、參數(shù)T正負(fù)的判斷對(duì)方程進(jìn)行求解，計(jì)算出空間點(diǎn)到極限細(xì)分曲面的最短距離，作為調(diào)整距離的誤差。設(shè)由文獻(xiàn)［11］方法計(jì)算出空間點(diǎn)pi到極限細(xì)分曲面的最短距離為Dplmin，空間點(diǎn)pi到極限細(xì)分曲面的最近點(diǎn)的方向量為Ni，則優(yōu)化后細(xì)分網(wǎng)格上的點(diǎn)Vi的位置V′i為

對(duì)于距離誤差Li大于給定閾值的控制頂點(diǎn)，按照式（12）優(yōu)化調(diào)整后，極限細(xì)分齒面將更加逼近原始點(diǎn)數(shù)據(jù)，與實(shí)際齒面的偏差會(huì)更小。

2.4 細(xì)分齒面的深度估計(jì)

齒面經(jīng)過(guò)k次細(xì)分后控制網(wǎng)格上的頂點(diǎn)與其在極限網(wǎng)格上的位置之間的最大距離定義為

由于Loop細(xì)分是一種靜態(tài)細(xì)分模式，不同層次的細(xì)分矩陣都是一致的，可以得出下面的規(guī)律：Mk=CMk-1=C2Mk-2=…=CkM0。

處在第k層上的頂點(diǎn)V在細(xì)分網(wǎng)格上的位置，可以用該頂點(diǎn)在初始控制網(wǎng)格上的位置和1-領(lǐng)域上的頂點(diǎn)表示為，其中

由式（11）、式（13）和式（14）可得

同理，經(jīng)過(guò)k+1次細(xì)分后，

又由于細(xì)分曲面的凸包性質(zhì)，同一層網(wǎng)格上的偶點(diǎn)比奇點(diǎn)到對(duì)應(yīng)的極限曲面的距離小得多，將Loop細(xì)分模式中奇點(diǎn)產(chǎn)生的計(jì)算式（2）代入式（16）中的，經(jīng)化簡(jiǎn)可得

表3所示為根據(jù)給定的精度，利用上述推導(dǎo)的公式對(duì)上述兩種重建齒面滿(mǎn)足精度需要的最少細(xì)分次數(shù)進(jìn)行細(xì)分深度估計(jì)的結(jié)果。

表3 滿(mǎn)足精度需要最少的細(xì)分次數(shù)

2.5 生成細(xì)分齒面

本算法是在Intel（R）Core（TM）2 Duo CPU 2.10GHz、內(nèi)存2G 的硬件平臺(tái)上，應(yīng)用Borland C++Builder6.0 軟件實(shí)現(xiàn)。分別對(duì)齒輪模數(shù)m=10、齒數(shù)z=85、壓力角a=20°、螺旋角β=15°、變位系數(shù)xn=0、齒頂高系數(shù)han=1、頂隙系數(shù)cn=0.25、齒寬B=160 進(jìn)行重建，其重建效果如圖4a所示；對(duì)齒輪的模數(shù)m=8、齒數(shù)z=45、壓力角a=20°、螺旋角β=20°、變位系數(shù)xn=0、齒頂高系數(shù)han=1、頂隙系數(shù)cn=0.25、齒寬B=180進(jìn)行了重建，重建效果如圖4b和圖4c所示。圖4a是粗加工后的齒面重建效果圖，從圖中可以看出齒面特征帶較寬，圖4b是精加工后細(xì)分4次后的效果圖，圖4c是細(xì)分5次后的效果圖，從圖中明顯可以看出圖4c比圖4b的網(wǎng)格更細(xì)。因此，隨著細(xì)分次數(shù)的增加，重建齒面的精度也相應(yīng)提高。圖4d是采用文獻(xiàn)［6］中算法重建出的齒面，通過(guò)局部特征放大圖可以看出，本文算法對(duì)齒面尖銳特征的重建具有明顯優(yōu)勢(shì)。表4所示為對(duì)本文算法與文獻(xiàn)［6］中算法細(xì)分過(guò)程的比較，從中可以看出，無(wú)論網(wǎng)格規(guī)模還是系統(tǒng)耗時(shí)都優(yōu)于文獻(xiàn)［6］的算法。

表4 本文算法和文獻(xiàn)［6］算法細(xì)分過(guò)程的比較

3 齒面重建誤差分析

為了對(duì)本文所提算法重建后的齒面精度進(jìn)行驗(yàn)證，在江蘇省工業(yè)裝備數(shù)字制造及控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室對(duì)上述加工后模數(shù)m=8 的齒輪用WENZEL（LH1512）三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)進(jìn)行采樣測(cè)量，如圖5所示。

為了能直觀比較采用本文算法細(xì)分5次重建模數(shù)m=8的齒輪齒面與實(shí)際齒面的偏差，在MATLAB環(huán)境下對(duì)實(shí)際齒面采樣點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的重建點(diǎn)進(jìn)行比較，并與理論齒面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)也進(jìn)行相應(yīng)的比較，圖6中的縱坐標(biāo)軸（法向偏差／μm）表示與理論齒面對(duì)應(yīng)點(diǎn)比較的結(jié)果；虛線(xiàn)表示真實(shí)測(cè)得的齒面數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)；實(shí)線(xiàn)表示重建后齒面的數(shù)據(jù)點(diǎn)。經(jīng)比較后可知，重建后的齒面與實(shí)際齒面貼合得很好，尤其是齒面局部特征處，偏差不超過(guò)2μm，此結(jié)果說(shuō)明齒面重建的效果較好。表5列舉了部分測(cè)量點(diǎn)與重建點(diǎn)（細(xì)分了5次）的法向偏差數(shù)據(jù)。

表5 測(cè)量點(diǎn)與重建點(diǎn)（細(xì)分5次）的法向偏差

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在經(jīng)典Loop細(xì)分方法的基礎(chǔ)上，提出帶有特征的齒面重建方法，并實(shí)現(xiàn)了帶有特征的齒面重建。該方法首先對(duì)齒面上大量散亂的數(shù)據(jù)采用螺旋增長(zhǎng)算法構(gòu)造初始網(wǎng)格，然后對(duì)初始網(wǎng)格進(jìn)行帶有特征的Loop 細(xì)分，每次細(xì)分后都對(duì)細(xì)分點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整，詳細(xì)論述了調(diào)整細(xì)分點(diǎn)的方法，對(duì)Loop細(xì)分進(jìn)行了深度估計(jì)，最后通過(guò)重建誤差分析，得出重建齒面與實(shí)際齒面偏差不超過(guò)2μm 的結(jié)論，證明了本文方法的可行性與準(zhǔn)確性。

未來(lái)將對(duì)細(xì)分齒面與實(shí)際齒面距離算法進(jìn)行深入探討，從而進(jìn)一步提高齒面擬合精度；包含齒面特征處的細(xì)分次數(shù)深度估計(jì)，也將進(jìn)一步提高齒面重建的效率。

［1］PAN Hongxin.Gear modification technology research［J］.China New Technologies and Products，2011（13）：122（in Chinese）.［潘洪鑫.齒輪修形技術(shù)研究［J］.中國(guó)新技術(shù)新產(chǎn)品，2011（13）：122.］

［2］PAN Haipeng，CHEN Tao，HAN Wen，et al.Method of proposing 3Dof gear based on the discrete data points［J］.Mechanical Transmission，2008，23（4）：38-40（in Chinese）.［潘 海鵬，陳 濤，韓 文，等.由離散點(diǎn)云數(shù)據(jù)建立齒輪三維模型的方法研究［J］.機(jī)械傳動(dòng)，2008，23（4）：38-40.］

［3］TEWARI G，GOTSMAN C，GORTLER S J.Meshing genus-1point clouds using discrete one-forms［J］.Computer &Graphics，2006，30（6）：917-926.

［4］WANG Y，F(xiàn)ENG H Y，DELORME F E，et al.An adaptive normal estimation method for scanned point clouds with sharp features［J］.Computer-Aided Design，2013，45（6）：1333-1348.

［5］LOOP C.Smooth subdivision surfaces based on triangles［D］.Salt Lake City，Utah，USA：University of Utah，1987.

［6］LI Guiqing，MA Weiyin，BAO Hujun.Fitting system loop subdivision surfaces with sharp features［J］.Journal of Computer-Aided Design &Computer Graphics，2005，17（6）：1179-1185（in Chinese）.［李桂清，馬維銀，鮑虎軍.帶尖銳特征的Loop細(xì)分曲面擬合系統(tǒng)［J］.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2005，17（6）：1179-1185.］

［7］BAI Jie，ZHAO Gang，YAO Fusheng.An offset algorithm for Loop subdivision surface with creases［J］.Journal of Computer-Aided Design &Computer Graphics，2008，20（10）：1261-1265（in Chinese）.［白 杰，趙 罡，姚福生.帶折痕的Loop細(xì)分曲面等距面處理算法［J］.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2008，20（10）：1261-1265.］

［8］XING Yuan.Study on subdivision application in product with complex surface design for quality-controlling in manufacture［D］.Tianjin：Tianjin University，2010（in Chinese）.［邢元.面向加工質(zhì)量細(xì)分的復(fù)雜曲面產(chǎn)品設(shè)計(jì)理論與技術(shù)研究［D］.天津：天津大學(xué)，2010.］

［9］ZENG Kaishan，PAN Rijing，SUN Jianpo.Algorithm and implementation of adaptive Loop subdivision surfaces for preserving sharp feature［J］.Journal of Fujian Normal University，2011，27（6）：27-32（in Chinese）.［曾鍇珊，潘日晶，孫堅(jiān)坡.保持特征的自適應(yīng)Loop細(xì)分曲面算法及實(shí)現(xiàn)［J］.福建師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，27（6）：27-32.］

［10］ZHOU Hai，ZHOU Laishui，WANG Zhandong，et al.Surface reconstruction from unorganized points using subdivision techniques［J］.Journal of Computer-Aided Design &Computer Graphics，2003，15（10）：1287-1292（in Chinese）.［周海，周來(lái)水，王占東，等.散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)的細(xì)分曲面重建算法及實(shí)現(xiàn)［J］.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì) 與圖形學(xué)學(xué) 報(bào)，2003，15（10）：1287-1292.］

［11］ZHU Jianning，WANG Minjie，WEI Zhaocheng，et al.Algorithm for quickly calculating the signed distance between a point and a subdivision surface［J］.Computer Integrated Manufacturing Systems，2013，19（4）：687-694（in Chinese）.［朱建寧，王敏杰，魏兆成，等.計(jì)算空間點(diǎn)到細(xì)分曲面有符號(hào)最近距離的方法［J］.計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)，2013，19（4）：687-694.］