基于三維最小二乘方法的空間直線度誤差評(píng)定

王炳杰 趙軍鵬 王春潔*，2

(1.北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京100191;2.北京航空航天大學(xué) 虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100191)

直線度誤差是評(píng)定機(jī)械產(chǎn)品精度的重要指標(biāo)之一，并且也是平行度、垂直度、圓柱度和同軸度等幾何測(cè)量的基礎(chǔ)［1］.國(guó)標(biāo) GB/T 11336—2004中的空間直線度誤差評(píng)定方法有:最小包容區(qū)域法、最小二乘法和兩端點(diǎn)連線法［2］.最小包容區(qū)域法為精確算法，其評(píng)定結(jié)果小于或等于其他兩種評(píng)定方法，但是該方法求解復(fù)雜.目前針對(duì)最小包容區(qū)域法的求解已經(jīng)發(fā)展了遺傳算法［3］、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理［4］、半定規(guī)劃算法［5］、平面投影算法［6］、準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法［7］以及組合優(yōu)化算法［8］等.在實(shí)際工程檢測(cè)中常用兩端點(diǎn)連線法與最小二乘法(LSM，Least Squares Method)，這兩者均屬于近似算法，其中兩端點(diǎn)連線法的魯棒性較差，LSM算法的數(shù)學(xué)模型在原理上存在缺陷［9］，該方法由于在最小二乘中線擬合時(shí)分別在兩個(gè)平面上獨(dú)立擬合直線，再合成空間直線，因此不是真正的三維空間直線擬合.當(dāng)測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)值的數(shù)量級(jí)不同時(shí)，LSM算法的評(píng)定結(jié)果不能滿足精度要求高的實(shí)際工程的要求.

最小二乘法評(píng)定空間直線度誤差的關(guān)鍵是準(zhǔn)確擬合測(cè)點(diǎn)的最小二乘中線，其涉及到非線性規(guī)劃問(wèn)題的求解，通常采用優(yōu)化算法求解［1］.非線性規(guī)劃優(yōu)化算法的缺點(diǎn)是需要迭代計(jì)算并且難以得到全局最優(yōu)解.針對(duì)此問(wèn)題一些學(xué)者提出了無(wú)迭代算法［10］、LSABC 算法［11］、改進(jìn)的 LSABC 算法［12］以及3DLSA 算法［13］等.這些算法雖然完善了空間直線度誤差評(píng)定方法，但是空間直線度誤差是一種復(fù)雜的形狀誤差，其評(píng)定算法仍然值得探索.本文采用三維最小二乘方法建立了空間直線擬合的數(shù)學(xué)模型，給出了該數(shù)學(xué)模型的精確解，基于新解法提出空間直線度誤差評(píng)定新方法，并用數(shù)值算例驗(yàn)證了新方法的有效性.

1 空間直線度誤差評(píng)定數(shù)學(xué)模型

1.1 空間直線擬合

按最小二乘法評(píng)定空間直線度誤差，首先需要進(jìn)行測(cè)點(diǎn)的最小二乘中線擬合，得到測(cè)點(diǎn)最小二乘中線Lf.最小二乘中線是指使實(shí)際直線上各點(diǎn)到該直線的距離平方和為最小的一條理想直線［2］.如圖 1，設(shè)(x1，y1，z1)，…，(xk，yk，zk)為 k 個(gè)直線度測(cè)量點(diǎn)，直線Lf的方向向量為(l，m，n)且通過(guò)點(diǎn)(x0，y0，z0)，則 Lf的方程為

為了方便起見(jiàn)，單位化直線Lf方向向量使l2+m2+n2=1.

圖1 最小二乘法評(píng)定直線誤差度示意圖Fig.1 Diagram of spatial straightness error evaluation with LSM

根據(jù)最小二乘原理，使得各測(cè)量點(diǎn)到擬合直線距離的平方和最小:

其中 di為測(cè)量點(diǎn)(xi，yi，zi)到擬合直線距離:

為了求解該優(yōu)化問(wèn)題，首先證明直線Lf一定通過(guò)各測(cè)量點(diǎn)的重心()，其中:

且當(dāng)［l，m，n］T為矩陣 B 的最大特征值 λmax(B)對(duì)應(yīng)的單位特征向量時(shí)式(12)可以取最小值.因此為了求解測(cè)點(diǎn)最小二乘中線Lf的方向矢量，只需要求解矩陣B的最大特征值對(duì)應(yīng)的單位特征向量即可.

1.2 最小包容圓柱面直徑求解

為了求解測(cè)點(diǎn)的最小包容圓柱面直徑，通過(guò)空間投影將測(cè)點(diǎn)向垂直于最小二乘擬合直線Lf的平面投影，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.顯然投影點(diǎn)點(diǎn)集在該平面上的最小包容圓直徑等于擬合直線最小包容圓柱面直徑.為簡(jiǎn)化最小包容圓直徑計(jì)算，在投影平面上構(gòu)建局部坐標(biāo)系并進(jìn)行坐標(biāo)變換，將投影點(diǎn)在空間坐標(biāo)下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為在局部平面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(Xi，Yi).假設(shè)Xmax=maxXi，Xmin=min Xi，Ymax=max Yi，Ymin=min Yi(i=1，2，…，k).采用格點(diǎn)法尋找最小包容圓直徑.如圖 2所示，將矩形區(qū)域 Xmin≤X≤Xmax，Ymin≤Y≤Ymax的橫縱坐標(biāo)均劃分成N等份，從而得到(N+1)×(N+1)個(gè)結(jié)點(diǎn)，依次計(jì)算每一結(jié)點(diǎn)與投影點(diǎn)集中點(diǎn)的最大距離Dmaxpq(p=0，1，…，N;q=0，1，…，N)，則 Dmaxpq中的最小值即為最小包容圓半徑R.最小包容圓柱面直徑φf(shuō)=2R即為空間直線度誤差值.

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

圖2 搜索區(qū)間節(jié)點(diǎn)Fig.2 Nodes in search interval

根據(jù)上述算法，利用Matlab R2008編寫空間直線度誤差評(píng)定程序.參考文獻(xiàn)中測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，結(jié)果見(jiàn)表1.

表1 計(jì)算結(jié)果Table 1 Calculation results

計(jì)算結(jié)果顯示新算法評(píng)定空間直線度誤差時(shí)，可以得到2個(gè)或3個(gè)測(cè)量點(diǎn)與最小二乘中線包容圓柱面相接觸，滿足國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的要求［2］.因此該算法是一種有效的評(píng)定空間直線度誤差的算法.

表1中的測(cè)量點(diǎn)分為3類:

1)文獻(xiàn)［4］測(cè)量點(diǎn)數(shù)值數(shù)量級(jí)不同，LSM算法結(jié)果為771 845.670 0，3DLSA算法得出的結(jié)果為7.2448，本文方法結(jié)果為6.2399;

2)文獻(xiàn)［3］與文獻(xiàn)［6］測(cè)量點(diǎn)數(shù)值數(shù)量級(jí)相同，LSM算法結(jié)果分別為18.100 0和30.000 0，3DLSA算法結(jié)果分別為13.500 0和36.300 0，本文方法結(jié)果分別為9.9764和28.4760;

3)文獻(xiàn)［15］與文獻(xiàn)［5］中測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)相對(duì)差值相同，只是調(diào)換了坐標(biāo)軸次序，它們的空間直線度誤差值應(yīng)該相同，但是LSM算法的評(píng)定結(jié)果相差較大，3DLSA算法滿足此要求，本文方法亦滿足此要求，而且本文方法評(píng)定的直線度誤差值更小.

由此可知，本文方法是一種更加準(zhǔn)確穩(wěn)健的直線度誤差評(píng)定方法.

本文方法評(píng)定結(jié)果的誤差大小只與搜索區(qū)間的劃分精度有關(guān)，搜索區(qū)間劃分越細(xì)密精度越高.本文數(shù)值實(shí)驗(yàn)將搜索區(qū)間細(xì)分成1001×1001個(gè)結(jié)點(diǎn)，計(jì)算機(jī)運(yùn)算時(shí)間不超過(guò)3 s.

3 結(jié)論

1)本文采用三維最小二乘方法建立了空間直線擬合的數(shù)學(xué)模型，并給出了該數(shù)學(xué)模型的精確解，完善了空間直線擬合的理論基礎(chǔ).

2)本文方法相較于算例中提及的算法具有更好的穩(wěn)定度和準(zhǔn)確度.

3)本文方法計(jì)算效率較高可應(yīng)用于精密測(cè)量以及數(shù)據(jù)處理中.

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