Chaboche隨動(dòng)硬化模型參數(shù)確定及棘輪效應(yīng)

姜金朋 陳 濤 金 平

(北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100191)

王 玨

(中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院 總體設(shè)計(jì)部，北京100076)

材料在平均應(yīng)力非零的應(yīng)力控制循環(huán)載荷作用下會(huì)出現(xiàn)塑性應(yīng)變累積現(xiàn)象，即棘輪效應(yīng)，這是材料在循環(huán)載荷作用下的重要循環(huán)塑性行為，對(duì)結(jié)構(gòu)循環(huán)疲勞起重要作用，因此，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)棘輪發(fā)展及損傷對(duì)結(jié)構(gòu)疲勞分析有重要影響.大部分循環(huán)硬化或軟化金屬達(dá)到一定循環(huán)次數(shù)后穩(wěn)定，或是屈服面尺寸停止改變，但棘輪仍然增加，因此，隨動(dòng)硬化(屈服面的移動(dòng))是棘輪的主要原因.

Hassan，Corona和Kang等人針對(duì)材料循環(huán)棘輪特性，對(duì)不同材料和不同載荷條件進(jìn)行了大量試驗(yàn)研究［1-6］.其中，Hassan 等人［1-4］對(duì)碳鋼1020、碳鋼1026和碳鋼1018、不銹鋼304進(jìn)行了較大應(yīng)力范圍的試驗(yàn)，很多研究者采用該文獻(xiàn)結(jié)果驗(yàn)證模型對(duì)棘輪效應(yīng)預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性.

除了進(jìn)行試驗(yàn)研究，研究者還提出不同的硬化模型預(yù)測(cè)材料的循環(huán)響應(yīng).Prager［7］提出最簡(jiǎn)單的隨動(dòng)硬化模型，能夠反映循環(huán)載荷的包辛格效應(yīng)，但是在描述平均應(yīng)力非零的應(yīng)力循環(huán)加載時(shí)，該模型給出封閉的應(yīng)力應(yīng)變滯回環(huán)，不能預(yù)測(cè)棘輪.對(duì)Prager硬化律的改進(jìn)主要有兩種:一種是Besseling［8］和 Mroz［9］提出的多面模型，后來(lái)又經(jīng)進(jìn)一步改進(jìn)，但是多線性模型仍然不能預(yù)測(cè)棘輪;另一種改進(jìn)是考慮逐漸減弱的記憶效應(yīng)，引入所謂的“恢復(fù)項(xiàng)”，F(xiàn)rederick等人［10］最先提出非線性硬化律，Chaboche［11］在此基礎(chǔ)上將背應(yīng)力分解成不同分量，每一個(gè)分量遵循A-F硬化律.很多研究表明，Chaboche隨動(dòng)硬化模型能夠有效地預(yù)測(cè) 棘 輪［12-16］.Hassan 和 Bari［1，12］等 人 評(píng) 估 了Prager，A-F，Chaboche，Ohno-Wang 和 Guionnet 5種本構(gòu)模型對(duì)碳鋼棘輪預(yù)測(cè)的能力，并詳細(xì)闡述了這些模型預(yù)測(cè)成功或失敗的原因，結(jié)果表明，Chaboche和Ohno-Wang模型能很好地預(yù)測(cè)單軸棘輪.Lynda等人［13］進(jìn)行了應(yīng)變控制、應(yīng)力控制的單軸試驗(yàn)，用Chaboche模型對(duì)棘輪效應(yīng)進(jìn)行模擬，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，參數(shù)優(yōu)化對(duì)得到較好模擬結(jié)果有重要作用，Chaboche模型預(yù)測(cè)單軸棘輪與試驗(yàn)接近.Rezaiee-Pajand等人［14］通過推導(dǎo)背應(yīng)力演化和塑性應(yīng)變累積的關(guān)系，建立了一套確定Chaboche硬化模型參數(shù)的系統(tǒng)數(shù)學(xué)方法，利用單軸棘輪試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定參數(shù)，數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，Chaboche模型非常有效.Mahmoudi等人［15］采用多目標(biāo)遺傳算法計(jì)算Chaboche模型參數(shù)，同時(shí)考慮穩(wěn)定的應(yīng)力應(yīng)變滯回曲線和棘輪曲線，得到的參數(shù)用于模型中進(jìn)行單軸棘輪模擬，結(jié)果與試驗(yàn)吻合很好.Badnava等人［16］基于Chaboche隨動(dòng)硬化模型，研究了柱狀管在不同加載類型下的循環(huán)行為，并且與試驗(yàn)結(jié)果符合良好.

本文利用Hassan等人對(duì)碳鋼CS1026的試驗(yàn)結(jié)果，采用單目標(biāo)遺傳算法優(yōu)化方法，考慮滯回曲線和棘輪曲線，確定3種不同Chaboche模型的參數(shù)，并用四分量模型研究加載順序?qū)喌挠绊?

1 本構(gòu)方程

1.1 屈服準(zhǔn)則

CHABOCHE隨動(dòng)硬化模型基于Von Mises屈服準(zhǔn)則:

其中，σ為應(yīng)力張量;α為背應(yīng)力張量，即屈服面中心;s為偏應(yīng)力張量;a為偏背應(yīng)力張量，即偏應(yīng)力空間中屈服面中心;k為屈服面尺寸，在隨動(dòng)硬化模型中為常數(shù).

1.2 流動(dòng)準(zhǔn)則

描述塑性流動(dòng)方向，塑性應(yīng)變?cè)谇嫣荻确较蛟黾?

其中，dεp為塑性應(yīng)變?cè)隽?λ為塑性乘子.

1.3 隨動(dòng)硬化律

Chaboche硬化模型是幾個(gè)Armstrong硬化模型的疊加，最初Chaboche提出3個(gè)背應(yīng)力分量(即M=3)的模型，α1用來(lái)描述中等塑性應(yīng)變時(shí)的非線性行為，α2用來(lái)描述塑性應(yīng)變非常小的彈塑性過渡區(qū)的非線性行為，α3用來(lái)描述大塑性應(yīng)變時(shí)的近似常切線剛度現(xiàn)象和極限棘輪應(yīng)變的非線性行為，屈服面中心αx=α1+α2+α3.

2 Chaboche模型參數(shù)確定

由于Chaboche模型中參數(shù)較多，而且沒有明顯的物理意義，因此很難從試驗(yàn)數(shù)據(jù)中直接獲得參數(shù).本文采用單目標(biāo)遺傳算法優(yōu)化方法，以應(yīng)變控制循環(huán)加載試驗(yàn)得到的穩(wěn)定應(yīng)力應(yīng)變滯回曲線(圖1)和應(yīng)力控制循環(huán)加載棘輪試驗(yàn)得到的應(yīng)變峰值(每一次循環(huán)中的最大應(yīng)變)vs循環(huán)次數(shù)曲線(圖2)［5］的數(shù)據(jù)為輸入，試驗(yàn)中應(yīng)變控制的循環(huán)載荷和應(yīng)力控制的循環(huán)載荷分別如圖3、圖4所示，圖中，σm為平均應(yīng)力，σa為應(yīng)力幅值，應(yīng)力控制的循環(huán)加載試驗(yàn)有6組，載荷取值水平如表1所示，優(yōu)化算法中用作輸入的是第2組;Chaboche隨動(dòng)硬化模型參數(shù)為輸出，使預(yù)測(cè)的滯回曲線和棘輪曲線與試驗(yàn)的差距最小，目標(biāo)函數(shù)如下式:

圖1 應(yīng)變循環(huán)加載試驗(yàn)穩(wěn)定滯回曲線Fig.1 Hysteresis loop under strain controlled cyclic loading

圖2 試驗(yàn)應(yīng)變峰值vs循環(huán)次數(shù)Fig.2 Experimental peak strain vs cyclic number

圖3 應(yīng)變控制的循環(huán)載荷Fig.3 Strain controlled cyclic loading

圖4 應(yīng)力控制的循環(huán)載荷Fig.4 Stress controlled cyclic loading

表1 應(yīng)力控制循環(huán)加載試驗(yàn)取值水平Table 1 Mean stress and stress amplitudes in experiments psi

本文采用3種Chaboche模型，包括3個(gè)非線性背應(yīng)力分量的模型(N3L0)、3個(gè)非線性分量和1個(gè)線性分量的模型(N3L1)以及4個(gè)非線性分量的模型(N4L0)，通過遺傳算法優(yōu)化得到的模型參數(shù)如表2所示.所得Chaboche模型預(yù)測(cè)的滯回曲線如圖5所示，從圖中可以看出，3個(gè)模型對(duì)高應(yīng)變范圍的線性段預(yù)測(cè)與試驗(yàn)曲線基本一致;N3L0與N4L0模型預(yù)測(cè)的滯回曲線基本相同，對(duì)非線性過渡段預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)相差較大;N3L1模型在非線性過渡段的預(yù)測(cè)與試驗(yàn)基本相符，但在開始屈服段預(yù)測(cè)的應(yīng)力值比試驗(yàn)結(jié)果稍低.

圖5 應(yīng)變控制的滯回曲線Fig.5 Strain controlled hysteresis loop

圖6為3個(gè)模型預(yù)測(cè)的棘輪效應(yīng)與試驗(yàn)結(jié)果的比較，可以看出，N3L0模型預(yù)測(cè)的應(yīng)變峰值總體上比試驗(yàn)值偏大，Loadcase1和4結(jié)果與試驗(yàn)接近，Loadcase2和5的二十幾次循環(huán)結(jié)果與試驗(yàn)吻合，后面的循環(huán)預(yù)測(cè)結(jié)果比試驗(yàn)大，可能是由于未考慮到循環(huán)硬化的影響，本文以Loadcase2的試驗(yàn)結(jié)果為優(yōu)化輸入，得到的模型預(yù)測(cè)Loadcase3和6結(jié)果與試驗(yàn)相差大;N3L1模型預(yù)測(cè)結(jié)果總體上比試驗(yàn)值低，這是因?yàn)槟Ｐ椭性黾拥木€性項(xiàng)減弱了模型對(duì)棘輪的預(yù)測(cè)，因此Loadcase1～6的前十幾次或三十幾次循環(huán)預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)相符，而后面循環(huán)的預(yù)測(cè)值比試驗(yàn)低;N4L0模型預(yù)測(cè)結(jié)果除了Loadcase3比試驗(yàn)結(jié)果大，其他與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好.

表2 CS1026的Chaboche模型參數(shù)Table 2 Material parameters of CS1026 in Chaboche model

圖6 應(yīng)變峰值vs循環(huán)次數(shù)Fig.6 Peak strain vs cyclic number

3 棘輪模擬

從圖6可以看出，隨著應(yīng)力平均值或應(yīng)力幅值增大，每一次循環(huán)中的應(yīng)變峰值增大，近線性段斜率增大，表明應(yīng)變累積速度增加.為研究加載順序?qū)喌挠绊?，采用上文中確定的四分量Chaboche模型N4L0對(duì)不同加載水平下的棘輪進(jìn)行模擬.

對(duì)低-高、高-低兩種不同的加載順序分別進(jìn)行棘輪模擬，應(yīng)力取值水平如表3所示.每一應(yīng)力水平進(jìn)行10次循環(huán)加載，其中，先加載的應(yīng)力平均值和應(yīng)力幅值記為σm1，σa1，后加載的應(yīng)力平均值和應(yīng)力幅值記為σm2，σa2.Loadcase1～6中應(yīng)力幅值一致，低應(yīng)力水平的應(yīng)力平均值相同，高應(yīng)力水平的應(yīng)力平均值取3組不同大小的值，棘輪模擬結(jié)果如圖7所示，可以看出，加載順序低-高的累積應(yīng)變高于高-低加載的累積應(yīng)變，而且，高應(yīng)力水平的平均應(yīng)力取值越大，兩種加載順序的累積應(yīng)變相差越多;后加載的低水平應(yīng)力下棘輪曲線斜率明顯低于先加載的低水平應(yīng)力下的斜率，說(shuō)明前者的應(yīng)變累積速度明顯低于后者;比較Loadcase2，4，6的低平均應(yīng)力水平加載可以看出，隨著高應(yīng)力水平的平均應(yīng)力增大，低應(yīng)力水平加載的棘輪曲線斜率變小，應(yīng)變累積減小，Loadcase6甚至基本沒有應(yīng)變累積;圖7表明，平均應(yīng)力加載順序影響棘輪應(yīng)變累積，后加載的平均應(yīng)力水平會(huì)受到先前加載應(yīng)力水平的限制，先加載的平均應(yīng)力水平越高，后加載的應(yīng)力受限越明顯，應(yīng)變累積越小.Loadcase7～12中應(yīng)力平均值一致，低應(yīng)力水平的應(yīng)力幅值相同，高應(yīng)力水平的應(yīng)力幅值取3組不同大小的值，棘輪模擬結(jié)果如圖8所示，兩種加載順序下的累積應(yīng)變幾乎相同，說(shuō)明應(yīng)力幅值加載順序?qū)啈?yīng)變累積的影響小.

表3 應(yīng)力取值水平Table 3 Mean stress and stress amplitudes psi

圖7 應(yīng)力平均值改變時(shí)加載順序?qū)喌挠绊慒ig.7 Influence of mean stress sequence on ratcheting

圖8 應(yīng)力幅值改變時(shí)加載順序?qū)喌挠绊慒ig.8 Influence of stress amplitude sequence on ratcheting

4 結(jié)論

本文采用遺傳算法優(yōu)化方法，利用文獻(xiàn)中CS1026試驗(yàn)的應(yīng)力應(yīng)變滯回曲線和棘輪曲線獲得Chaboche模型中的參數(shù)，并用包含4個(gè)隨動(dòng)硬化分量的模型進(jìn)行棘輪模擬，研究加載順序?qū)喌挠绊懀玫揭韵陆Y(jié)論:

1)利用試驗(yàn)的應(yīng)力應(yīng)變滯回曲線和棘輪曲線，采用遺傳算法優(yōu)化方法，可以有效地確定Chaboche隨動(dòng)硬化模型參數(shù)，3種模型中，N4L0模型對(duì)棘輪的預(yù)測(cè)與試驗(yàn)結(jié)果吻合最好.

2)增大應(yīng)力幅值或應(yīng)力平均值，都會(huì)使應(yīng)變峰值增大，且應(yīng)變累積速度加快;平均應(yīng)力加載順序?qū)鄯e應(yīng)變有較大影響，加載順序高-低的累積應(yīng)變低于加載順序低-高的累積應(yīng)變，而且先加載的平均應(yīng)力越大，后加載的載荷產(chǎn)生的累積應(yīng)變?cè)叫?而應(yīng)力幅值加載順序?qū)?yīng)變累積幾乎沒有影響.

References)

［1］ Hassan T，Kyriakides S.Ratcheting in cyclic plasticity，part I:uniaxial behavior［J］.International Journal of Plasticity，1992，8(1):91-116

［2］ Hassan T，Corona E，Kyriakides S.Ratcheting in cyclic plasticity，part II:multiaxial behavior［J］.International Journal of Plasticity，1992，8(2):117-146

［3］ Hassan T，Kyriakides S.Ratcheting of cyclically hardening and softening materials:I.uniaxial behavior［J］.International Journal of Plasticity，1994，10(2):149-184

［4］ Hassan T，Kyriakides S.Ratcheting of cyclically hardening and softening materials:II.multiaxial behavior［J］.International Journal of Plasticity，1994，10(2):185-212

［5］ Corona E，Hassan T，Kyriakides S.On the performance of kinematic hardening rules in predicting a class of biaxial ratcheting histories［J］.International Journal of Plasticity，1996，12(1):117-145

［6］ Kang G Z，Gao Q，Yang X J.Uniaxial cyclic ratcheting and plas-tic flow properties of SS304 stainless steel at room and elevated temperatures［J］.Mechanics of Materials，2002，34(3):145-159

［7］ Prager W.A new method of analyzing stresses and strains in work-hardening plastic solids［J］.ASME Journal of Applied Mechanics，1956，23:493-496

［8］ Besseling J F.A theory of elastic，plastic，and creep deformations of an initially isotropic material showing anisotropic strain-hardening，creep recovery and secondary creep［J］.ASME Journal of Applied Mechanics，1958，25:529-536

［9］ Mroz Z.On the description of anisotropic work-hardening［J］.Journal of the Mechanics and Physics of Solids，1967，15:163-175

［10］ Frederick C O，Armstrong P J.A mathematical representation of the multiaxial bauschinger effect［J］.Materials at High Temperatures，2007，24(1):1-26

［11］ Chaboche J L.Time-independent constitutive theories for cyclic plasticity［J］.International Journal of Plasticity，1986，2(2):149-188

［12］ Bari S，Hassan T.Anatomy of coupled constitutive models for ratcheting simulation［J］.International Journal of Plasticity，2000，16(3/4):381-409

［13］ Lynda D，Salim M.Performance of the Chaboche kinematic hardening modelto predictratchetusing differentdata bases［J］.International Review of Mechanical Engineering，2009，3(4):467-472

［14］ Rezaiee-Pajand M，Sinaie S.On the calibration of the Chaboche hardening model and a modified hardening rule for uniaxial ratcheting prediction［J］.International Journal of Solids and Structures，2009，46(16):3009-3017

［15］ Mahmoudi A H，Pezeshki-Najafabadi S M，Badnava H.Parameter determination of Chaboche kinematic hardening model using a multi objective genetic algorithm［J］.Computational Materials Science，2011，50(3):1114-1122

［16］ Badnava H，F(xiàn)arhoudi H R，Nejad K F，et al.Ratcheting behavior of cylindrical pipes based on the Chaboche kinematic hardening rule［J］.Journal of Mechanical Science and Technology，2012，26(10):3073-3079