《線性代數(shù)》教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)

潘大勇，陳忠

（長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州434023）

《線性代數(shù)》是高等院校普遍開(kāi)設(shè)的一門(mén)重要的必修基礎(chǔ)課，在現(xiàn)代物理、化學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、通訊技術(shù)、工商管理、資源勘查、石油工程等領(lǐng)域的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，發(fā)揮無(wú)可替代的重要作用。教學(xué)過(guò)程中，在傳授基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本技能的同時(shí)，如何著力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神，是每個(gè)教師在教學(xué)中都應(yīng)當(dāng)認(rèn)真思考的重要課題。

1 在新舊知識(shí)的銜接處培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神

在講授知識(shí)過(guò)程中，要引導(dǎo)學(xué)生感受 《線性代數(shù)》中的一些概念和方法是如何產(chǎn)生出來(lái)的，感受學(xué)科發(fā)展過(guò)程中孕育的創(chuàng)新精神和力量。

解線性方程組是 《線性代數(shù)》的一個(gè)中心課題，是 《線性代數(shù)》發(fā)展的原動(dòng)力之一。行列式的概念就是在求解二元一次線性方程組、三元一次線性方程組（方程的個(gè)數(shù)和未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同）所使用的高斯消元法的基礎(chǔ)上引入的。如果只是簡(jiǎn)單地告訴學(xué)生結(jié)論，而置知識(shí)產(chǎn)生的背景和萌生的思想而不顧，學(xué)生就難以理解要引入一個(gè)新的概念和方法的必要性。因此，讓學(xué)生感知?jiǎng)?chuàng)新意識(shí)的土壤在哪里是很重要的。如果理解了二階、三階行列式的實(shí)質(zhì)，學(xué)生自然而然就能理解一般意義的n階行列式了。

探究發(fā)現(xiàn)，克萊姆（Cramer）法則只能解決方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相同的線性方程組的情形，而且對(duì)于解不唯一時(shí)怎么表示通解等都有很大的局限性，這就會(huì)引發(fā)新的思考和探究，如何才能更一般地解決線性方程組的求解問(wèn)題？引入矩陣及初等變換這個(gè)新的工具，學(xué)生就能理解這樣做的必要了。借助矩陣的初等變換和矩陣的秩，不僅可以判別一般的線性方程組的解的存在性，而且可以給出解的表達(dá)式。對(duì)于線性方程組有無(wú)窮多解的情形，解與解之間的關(guān)系如何呢？如何表示解之間的關(guān)系呢？換句話說(shuō)，能否用有限多個(gè)解去表示無(wú)窮多個(gè)解呢？這樣的問(wèn)題又可引發(fā)出向量組的線性相關(guān)性理論和線性方程組解的結(jié)構(gòu)理論。這樣一種在新舊知識(shí)交匯銜接處提出問(wèn)題，滲透創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神都是大有潛力可以發(fā)掘的。

2 在探究知識(shí)的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神

在通常的教材中，《線性代數(shù)》都是演繹結(jié)構(gòu)，每章（節(jié)）大致上是按定義、性質(zhì)、定理或公式、求解等基本環(huán)節(jié)來(lái)呈現(xiàn)［1－2］。演繹體系邏輯性強(qiáng)，條理脈絡(luò)清晰，內(nèi)容緊湊精煉，但不可回避的是，學(xué)生往往覺(jué)得難以理解并有種壓迫感，和書(shū)本產(chǎn)生很強(qiáng)的距離感，總會(huì)有一個(gè)個(gè)問(wèn)題縈繞在心頭：編著者為什么這樣寫(xiě)呢？這些結(jié)果是怎么想到的呢？如果能夠?qū)?shù)學(xué)家在建構(gòu)相關(guān)知識(shí)時(shí)所作的 “火熱思考”［3］再現(xiàn)出來(lái)，學(xué)生學(xué)到的不僅僅是一些結(jié)果，而且能夠感受數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新思維過(guò)程。

矩陣是 《線性代數(shù)》的核心概念，那么為什么會(huì)有這樣一個(gè)概念呢？矩陣的本質(zhì)是什么？矩陣其實(shí)就是一個(gè)數(shù)表，存在于生活的方方面面。上課的課表、成績(jī)單（文字本質(zhì)上也可以數(shù)字化）、科研數(shù)據(jù)等各種表格以及照片（黑白照片從數(shù)學(xué)角度看其實(shí)是一個(gè)數(shù)表，每個(gè)點(diǎn)都可以用0～255中某個(gè)整數(shù)表示其灰度值，彩色照片則是由紅綠藍(lán)3種基色復(fù)合而成的三維的數(shù)表）等等都可以用矩陣表示。既然用矩陣表示數(shù)表，那么是否可以用矩陣來(lái)描述數(shù)表的運(yùn)動(dòng)變換呢？如把一張圖片放大2倍，或是把一張圖片逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，等等，這就涉及到矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)了。這些內(nèi)容對(duì)于第一次接觸的學(xué)生而言，好比當(dāng)年數(shù)學(xué)家們首先發(fā)現(xiàn)、探究一樣，是一種全新的挑戰(zhàn)，是一次創(chuàng)新之旅，無(wú)論是方法還是思想，無(wú)不深深闡發(fā)出創(chuàng)新的精神，這對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)的影響是重要和深遠(yuǎn)的。學(xué)生重走前人的路，并不是簡(jiǎn)單的重復(fù)，其實(shí)也是一次發(fā)現(xiàn)之旅，探索之旅，創(chuàng)新體驗(yàn)之旅，成長(zhǎng)收獲之旅。從這個(gè)意義上講，老師的引導(dǎo)和啟迪是十分關(guān)鍵的，如果教師滿堂灌，學(xué)生缺少獨(dú)立思維活動(dòng)，其實(shí)就是剝奪了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)的產(chǎn)生。如果所有結(jié)論總是以完整的形式出現(xiàn)，學(xué)生知其然，而不知其所以然，體驗(yàn)不到探索和發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，長(zhǎng)此以往，不利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探索能力的培養(yǎng)，也不利于學(xué)生抽象、歸納、概括能力的培養(yǎng)，更不利于創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)。

3 在應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的情境中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維意識(shí)

當(dāng)前，《線性代數(shù)》的教學(xué)相對(duì)偏重自身的理論體系，強(qiáng)調(diào)基本定義、定理和基本思想，實(shí)際應(yīng)用講的較少，應(yīng)用類的課后習(xí)題也少得可憐.這導(dǎo)致大部分學(xué)生不了解線性代數(shù)對(duì)后續(xù)專業(yè)課學(xué)習(xí)，也在一定程度上影響專業(yè)課的學(xué)習(xí)質(zhì)量［4］。因此，《線性代數(shù)》的學(xué)習(xí)，不單是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，而且還應(yīng)當(dāng)重視它的廣泛應(yīng)用，在應(yīng)用中鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光和數(shù)學(xué)思考，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題（或數(shù)學(xué)模型）的意識(shí)，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法去解決問(wèn)題的能力。教學(xué)中要秉承這樣的理念，提升應(yīng)用意識(shí)。

以矩陣乘法和線性變換這個(gè)知識(shí)點(diǎn)為例，在教學(xué)中可以結(jié)合具體問(wèn)題來(lái)激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維的 “火熱思考”。如：

還可以設(shè)計(jì)更多的類似問(wèn)題，如旋轉(zhuǎn)變換：

進(jìn)一步可以推廣到更一般的情形：即利用矩陣Am×n，將n維向量轉(zhuǎn)化為m向量（特別是在二維和三維向量之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即平面圖形和空間圖形之間的轉(zhuǎn)換）。

此外，還可以結(jié)合一些數(shù)學(xué)軟件（如Matlab）直觀再現(xiàn)上述的各種變換，這些應(yīng)用就把所學(xué)的知識(shí)變得生動(dòng)而有趣，這也是 《線性代數(shù)》的魅力所在。

4 結(jié)語(yǔ)

在線性代數(shù)的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神不是一朝一夕的事情，應(yīng)該有一個(gè)比較全面的教學(xué)安排，落實(shí)到教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)。在教學(xué)內(nèi)容的起始處引導(dǎo)學(xué)生感悟新概念、新方法與其萌生的背景之間的關(guān)聯(lián)，感受創(chuàng)新意識(shí)的激發(fā)是內(nèi)在和外在需要的共同結(jié)果；在講授環(huán)節(jié)中探究相關(guān)知識(shí)的創(chuàng)新歷程，體會(huì)創(chuàng)新思維的某些特征和規(guī)律；在應(yīng)用知識(shí)的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù) ［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［2］李克娥，吳海濤.線性代數(shù) ［M］.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2013.

［3］張奠宙.微積分教學(xué)：從冰冷的美麗到火熱的思考 ［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2006（2）：4－6.

［4］藍(lán)洋.吳香艷.電子信息學(xué)科中線性代數(shù)的教學(xué)方法探討 ［J］.電子設(shè)計(jì)工程，2012（13）：40－42.