參數(shù)的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)系

賀樂平 莫宏敏

摘 要： 本文對統(tǒng)計(jì)推斷理論中區(qū)間估計(jì)和參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的相關(guān)性問題進(jìn)行了分析，并對區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別進(jìn)行了探討.

關(guān)鍵詞： 統(tǒng)計(jì)推斷 置信區(qū)間 假設(shè)檢驗(yàn) 拒絕域 區(qū)間估計(jì)

1.引言

數(shù)理統(tǒng)計(jì)是數(shù)學(xué)中的一個重要分支，具有廣泛的應(yīng)用.假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)作為兩種重要統(tǒng)計(jì)推斷方法，在金融保險(xiǎn)、經(jīng)濟(jì)管理、科學(xué)研究、工程技術(shù)、質(zhì)量控制乃至國防安全、災(zāi)害防治等各方面等領(lǐng)域的應(yīng)用日趨廣泛.其在科學(xué)決策中的作用也被越來越多的人所認(rèn)知.表面上看，假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)從是兩個不同的概念，但實(shí)際上它們之間的聯(lián)系是很密切的，掌握它們之間的關(guān)系、各自的適用范圍和應(yīng)用條件，以及應(yīng)注意的問題對作出正確的統(tǒng)計(jì)推斷至關(guān)重要.本文初步探討了區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)問題的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，討論了如何利用置信區(qū)間解釋假設(shè)檢驗(yàn)的有關(guān)問題的新思路、新方法.

2.參數(shù)的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)的內(nèi)在聯(lián)系

統(tǒng)計(jì)推斷的基本問題分為兩類：一類是參數(shù)估計(jì)，另一類是假設(shè)檢驗(yàn).它們是兩個不同的統(tǒng)計(jì)概念，但又有著密切的聯(lián)系，從某種意義上來講，是同一問題的不同表達(dá)方式，參數(shù)區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)雖然提法不同，但解決問題的方法、途徑是相通的，統(tǒng)計(jì)推斷的基本思想是一樣的，都是利用樣本信息推斷總體的性質(zhì)，即用部分推斷總體.它們選取的都是同一個統(tǒng)計(jì)量，然后計(jì)算出這個統(tǒng)計(jì)量落在某個區(qū)間上的概率，而據(jù)由此作出判斷.利用區(qū)間估計(jì)可以建立假設(shè)檢驗(yàn)，反之亦然.

例：設(shè)總體X～N（μ，σ■），σ■未知，試求未知參數(shù)u的區(qū)間估計(jì).

解：選取統(tǒng)計(jì)量

t=■～t（n-1），按置信度1-α確定一個大概率事件

p|■|≤t■=1-α，由此得到u的置信度為1-α的置信區(qū)間為[■-■t■，■+■t■].該區(qū)間估計(jì)恰好是原假設(shè)H■μ=μ■的一個接受域，其中顯著性水平為α.

對假設(shè)檢驗(yàn)問題，則提出假設(shè)：H■∶μ=μ■；H■∶μ≠μ■，選擇統(tǒng)計(jì)量t=■

對給定的顯著性水平為α，得到一個小概率事件p|■|>t■=α，由實(shí)測值，

|■|>t■是否成立，決定是否拒絕原假設(shè)，拒絕域?yàn)閨■|>t■，接受域?yàn)閨■|≤t■，則結(jié)果正是u的置信度為區(qū)間估計(jì).

3.參數(shù)的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)之間的區(qū)別

參數(shù)的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)處理確有相通之處.某種意義上是從不同的角度回答同一問題，但兩者之間又有區(qū)別，主要體現(xiàn)以下幾點(diǎn).

第一，參數(shù)估計(jì)解決的是定量問題，是多少（或范圍）問題，假設(shè)檢驗(yàn)解決的是定性問題，則判斷結(jié)論是否成立的問題.各自的要求不盡相同.區(qū)間估計(jì)是確定置信度1-α（一定的概率）下給出未知參數(shù)的接受范圍.而假設(shè)檢驗(yàn)是在給定的置信水平α下，確定未知參數(shù)能否接受已給定的值.

第二，區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)對問題的了解程度不盡相同.假設(shè)檢驗(yàn)原假設(shè)H■的設(shè)定對結(jié)果影響很大，其中考慮了某些非樣本信息，原假設(shè)必須選有足夠理由認(rèn)為其成立概率很大的假設(shè)，因?yàn)闆]有非常充足的證據(jù)是不能輕易推翻原假設(shè)的，而區(qū)間估計(jì)則只依據(jù)樣本作出推斷.因而在實(shí)際應(yīng)用中，究竟選擇哪種方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，需要根據(jù)實(shí)際問題的情況確定相應(yīng)的處理方法.否則將會產(chǎn)生不同的結(jié)論，得出錯誤的統(tǒng)計(jì)推斷.

例：已知某廠生產(chǎn)的維尼綸纖度服從正態(tài)分布，規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)為纖度不低于100，某日抽取6根纖維，測得纖度為分別85，90，95，97，100，103.問能否認(rèn)為這天的維尼綸是合格的？（a=0.05）

解法一：①提出待檢假設(shè)：H■∶u≥100，H■∶u<100

②選取統(tǒng)計(jì)量：t=■

③對于給定的檢驗(yàn)水平α=0.05，查表確定臨界值t■（5）=2.015，從而給出拒絕域：P{t<-t■=-2.015}=α=0.05，拒絕域?yàn)椋?∞，-2.015）

④計(jì)算判斷：易得■=95，s=6.6030

t=■=-1.8558

因統(tǒng)計(jì)量觀察值沒有落入拒絕域中，應(yīng)當(dāng)接受原假設(shè)H■，可以認(rèn)為這天的維尼綸是合格的.

解法二：提出待檢假設(shè)：H■∶u≤100，H■∶u>100

其拒絕域?yàn)椋?.015，+∞），統(tǒng)計(jì)量的觀察值也沒有落入拒絕域中，理應(yīng)接受H■，結(jié)論是這天的維尼綸是不合格的，為何當(dāng)交換原假設(shè)和備擇假設(shè)作檢驗(yàn)時，卻得出截然相反的結(jié)論呢？這主要是由樣本的隨機(jī)性所引起的.事實(shí)上，第一種解法的拒絕域?yàn)椋╰■，+∞），第二種解法的拒絕域?yàn)椋?∞，-t■），兩種方法的接受域有一個公共的交集（-t■，t■）.由于樣本的隨機(jī)性，當(dāng)樣本觀測值落入兩者的交集時，兩種解法都是接受原假設(shè)，從而得出截然相反的檢驗(yàn)結(jié)果.

假若從區(qū)間估計(jì)的角度分析，由已知條件，利用樣本數(shù)據(jù)，可以算出，置信度為0.95的置信區(qū)間大約是（90，100），而所給樣本數(shù)據(jù)中超過100的概率只有約5%.因而從數(shù)據(jù)來看，很難認(rèn)為這天的維尼綸是合格的.區(qū)間估計(jì)與第二種推斷方法結(jié)果相同，卻與解法一大相徑庭，其中的原因值得研究.

如果我們知道該廠的生產(chǎn)過程一直很穩(wěn)定，裝配工人技術(shù)嫻熟，以往的檢驗(yàn)很少有生產(chǎn)不正常的情況出現(xiàn)，被判定為不合格，犯錯誤的概率較大，則我們選擇假設(shè)檢驗(yàn)的解法一.盡管這次檢驗(yàn)所給樣本數(shù)據(jù)似乎不太理想，但經(jīng)檢驗(yàn)，我們還是有理由相信，這天的維尼綸是合格的.這時，若用區(qū)間估計(jì)的方法進(jìn)行檢驗(yàn)，則結(jié)論為這天的維尼綸是不合格的，檢驗(yàn)并沒有考慮到我們已有的非樣本信息，因此該結(jié)論是不全面的.如果樣本僅如例2所列，除此之外并無其他值得重點(diǎn)考慮的信息，則用區(qū)間估計(jì)檢驗(yàn)，并據(jù)之判斷，按區(qū)間估計(jì)的結(jié)果認(rèn)為該認(rèn)為這天的維尼綸是不合格的并無不當(dāng).因此，從例2的情況可知，區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)適用的情況應(yīng)有所不同，而且假設(shè)檢驗(yàn)中，在某些情況下，所得結(jié)論與原假設(shè)及備擇假設(shè)的設(shè)定有關(guān)，這關(guān)乎單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)中原假設(shè)的設(shè)定原則問題，這里不再贅述.

綜上所述，在常規(guī)情況下如果我們對問題的總體的某些非樣本信息，如歷史經(jīng)驗(yàn)等有很多實(shí)際的了解，則應(yīng)選取假設(shè)檢驗(yàn)方法，如果我們對待檢驗(yàn)問題除樣本信息外的其他信息一無所知，則用區(qū)間估計(jì)方法檢驗(yàn)較妥當(dāng)，據(jù)此作出判斷較客觀，失誤相對較少.總之，在學(xué)習(xí)和應(yīng)用中，準(zhǔn)確把握住數(shù)理統(tǒng)計(jì)中區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)這兩種統(tǒng)計(jì)推斷方法內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別是得出正確結(jié)論的關(guān)鍵，我們必須注意它們各自適用的范圍和條件，這對作出正確的統(tǒng)計(jì)推斷至關(guān)重要.

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項(xiàng)目：吉首大學(xué)新開課程建設(shè)立項(xiàng)項(xiàng)目：2012KCB04，吉首大學(xué)教改課題：民族地區(qū)統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式改革的理論與實(shí)踐（2013JSUJGA13）