教師應(yīng)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)生成

何謂生成？生成就是創(chuàng)生、建構(gòu)或生長(zhǎng).《現(xiàn)代漢語(yǔ)規(guī)范詞典》把生成解釋為產(chǎn)生、形成.產(chǎn)生就是出現(xiàn)，是從已有的事物中生長(zhǎng)出新事物新現(xiàn)象；形成就是經(jīng)過(guò)發(fā)展變化而成為.可以說(shuō)，學(xué)習(xí)過(guò)程就是不斷生成的過(guò)程——生成新的知識(shí)，新的見(jiàn)解，新的能力.而這個(gè)生成，有學(xué)習(xí)者的自我生成，比如，自學(xué)所得，思考所得，也有學(xué)習(xí)者在教師幫助下的生成.目前，談得比較多的是教師對(duì)生成性資源的利用問(wèn)題，而如何幫助學(xué)生生成卻談得不多——本文就此談點(diǎn)看法，希望能得到您的指教.

1 有預(yù)設(shè)才會(huì)生成得更好、更完美

生成可分為兩類，一類是我們預(yù)設(shè)下的現(xiàn)象，另一類是我們不曾預(yù)設(shè)到的現(xiàn)象.我們期望出現(xiàn)未曾預(yù)約的精彩，但美化、強(qiáng)調(diào)生成，貶低、弱化預(yù)設(shè)，不是正確的選擇.因?yàn)橹挥泻玫念A(yù)設(shè)，才會(huì)生成得更好、更完美.

例1 已知函數(shù)y=f（x）對(duì)任意x∈R，恒有f（x）=f（2a-x），求證f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

在高一年級(jí)的同課異構(gòu)活動(dòng)中，兩位老師都講到這個(gè)例題.一個(gè)教師在講授中直接就取y=f（x）圖像上的任意一點(diǎn)P（x0，y0），這一點(diǎn)關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)為P′（2a-x0，y0），由于y0=f（x0），且對(duì)任意x∈R，恒有f（x）=f（2a-x），所以y0=f（2a-x0），也就是說(shuō)點(diǎn)P（x0，y0）在函數(shù)f（x）的圖像上時(shí)，點(diǎn)P′（2a-x0，y0）也在函數(shù)f（x）的圖像上，此兩點(diǎn)關(guān)于直線x=a對(duì)稱，由任意性可知f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

一個(gè)學(xué)生說(shuō)：“老師，為什么要這樣證明呢？不是很明白.”結(jié)果，老師又重新再講一遍.

另一位教師，先從y=x2講起，指出它的對(duì)稱軸是y軸，即直線x=0.這是大家都知道的事實(shí)，教師進(jìn)一步啟發(fā)：“為什么對(duì)稱軸是x=0.”

學(xué)生1回答：“因?yàn)閳D像上的點(diǎn)（1，1），（-1，1）關(guān)于x=0對(duì)稱；（-2，4），（2，4）也關(guān)于x=0對(duì)稱，還有無(wú)數(shù)這樣的對(duì)稱點(diǎn)，所以圖像關(guān)于x=0對(duì)稱.”

教師：“這位同學(xué)的思路是對(duì)的，但不能僅用幾個(gè)點(diǎn)來(lái)說(shuō)明——即使說(shuō)明了還有無(wú)數(shù)這樣的對(duì)稱點(diǎn)，也不能說(shuō)，圖像就對(duì)稱，要怎么表述才準(zhǔn)確呢？”

學(xué)生2：“任意取一點(diǎn)，再說(shuō)明這個(gè)點(diǎn)關(guān)于x=0的對(duì)稱點(diǎn)也在圖像上就可以了.”

教師：“是的，只要取一點(diǎn)P（x0，y0），再說(shuō)明P′（-x0，y0）也在圖像上即可.”

教師再問(wèn)：“如何證明y=x2+2x+3關(guān)于x=-1對(duì)稱？”

……

經(jīng)過(guò)這一番討論和思考，再來(lái)證明上面的例題，就水到渠成了.學(xué)生也就不會(huì)說(shuō)聽(tīng)不明白了.

前一個(gè)教師的講解，讓人覺(jué)得突兀，沒(méi)有抓手，高估了學(xué)生.后一個(gè)教師的講解，有鋪墊，有啟發(fā)，符合由特殊到一般、由具體到抽象的認(rèn)識(shí)規(guī)律.當(dāng)然，效果就不一樣.這個(gè)顯然與教師的備課有關(guān)，即與備課時(shí)的預(yù)設(shè)有關(guān).

生成，不僅僅是旁逸斜出才叫生成，正確理解知識(shí)、理解方法也是一種生成.2 教師的啟發(fā)誘導(dǎo)是學(xué)生生成的重要來(lái)源

學(xué)習(xí)是一種生成，運(yùn)用也是一種生成.只有不斷生成，學(xué)習(xí)才會(huì)進(jìn)步.而學(xué)生內(nèi)部的生成，教師往往是看不到的，但卻是潛藏在學(xué)生的心里，增厚在大腦皮層里.所以，教師的啟發(fā)誘導(dǎo)就很重要.比如：

例2 已知△ABC是銳角三角形，求證：sinA+sinB+sinC>；cosA+cosB+cosC.

很多學(xué)生無(wú)從下手，老師想到的往往也是和差化積，不會(huì)用△ABC是銳角三角形的隱含條件.其實(shí)，△ABC是銳角三角形可轉(zhuǎn)化為下列式子：

A+B>；π2，

B+C>；π2，

C+A>；π2，

0<；A，B，C<；π2，可得π2>；A>；π2-B>；0，

π2>；B>；π2-C>；0，

π2>；C>；π2-A>；0，可得sinA>；sin（π2-B）=cosB，

sinB>；cosC，

sinC>；cosA.

三式相加即得sinA+sinB+sinC>；cosA+cosB+cosC.

經(jīng)過(guò)講解，學(xué)生理解了，掌握了，以后碰到類似問(wèn)題能想到這樣的方法.比如：

題目 已知偶函數(shù)f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減，α，β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則（ ）.

A.f（sinα）>；f（sinβ）B.f（sinα）<；f（cosβ）

C.f（sinα）>；f（cosβ）D.f（cosα）<；f（cosβ）

學(xué)生分析 由π2<；α+β<；π，得0<；π2-β<；α<；π2，根據(jù)y=sinx在[0，π2]是遞增的，得0<；sin（π2-β）=cosβ<；sinα<；1.又偶函數(shù)f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減，所以f（x）在[0，1]單調(diào)遞增，所以f（cosβ）<；f（sinα），選C.

由此可見(jiàn)，教師先前的講解起到了作用.也就是說(shuō)，教師的啟發(fā)誘導(dǎo)是學(xué)生生成的重要來(lái)源.3 了解學(xué)情是有效生成的重要途徑

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師只有全面了解學(xué)生，才能使教師的教更有效地服務(wù)于學(xué)生的學(xué)，促進(jìn)學(xué)生的生成.正如著名特級(jí)教師于猗所指出的：學(xué)生的情況、特點(diǎn)，要努力認(rèn)識(shí)，悉心研究，知之準(zhǔn)，識(shí)之深，才能教在點(diǎn)子上，教出好效果.

例3 已知數(shù)列{an}滿足an+1+an-1=2an，n≥2，點(diǎn)O是平面上不在l上的任意一點(diǎn)，l上有不重合的點(diǎn)A，B，C，又知a2OA+a2015OC=OB，則S2016=（ ）.

A.1007 B.2016 C.2015 D.1008

數(shù)列{an}滿足an+1+an-1=2an，n≥2，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，這是學(xué)生知道的，如果由A，B，C共線，且滿足a2OA+a2015OC=OB，可以得到a2+a2015=1，若學(xué)生不知道，此時(shí)，要生成就比較困難.

所以引入這個(gè)例子的時(shí)候，最好能先證明：點(diǎn)O是平面上不在l上的任意一點(diǎn)，A，B，C在l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使λOA+（1-λ）OC=OB.

否則，要由這些條件得到a2+a2015=1，就增加了生成的難度.

我們不時(shí)看到，學(xué)生有聽(tīng)不明白的情況，往往就是沒(méi)有充分了解學(xué)生造成的.要了解學(xué)生，包括了解學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)、前概念、認(rèn)知方式以及學(xué)生的情感、態(tài)度、價(jià)值觀等.只有了解學(xué)情，教學(xué)才可能有的放矢.4 學(xué)生的生澀生成是教師幫助學(xué)生正確生成的重要通道

4.1 利用錯(cuò)誤資源

錯(cuò)誤不可怕，可怕的是不去改正錯(cuò)誤.利用錯(cuò)誤資源，一方面是修正錯(cuò)誤，另一方面是從錯(cuò)誤中得到啟發(fā)，生成正確的東西.

例4 設(shè)M={a，b，c}，N={xxM}，則M與N的關(guān)系是（ ）.

A.M∈N B.N∈M C.MN D.NM

這是一道很容易出錯(cuò)的題，學(xué)生容易從M，N為集合這個(gè)表面現(xiàn)象選C或D.

事實(shí)上，因?yàn)镹={xxM}，所以N={φ，{a}，，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}}，此時(shí)M，N不是集合與集合的關(guān)系，而是元素與集合的關(guān)系，故選A.

無(wú)獨(dú)有偶，我們來(lái)看看一道由韓國(guó)高考數(shù)學(xué)題改編的問(wèn)題：

題目 下面是學(xué)生甲和學(xué)生乙爭(zhēng)論集合的部分內(nèi)容：

甲：我們能夠想象到的集合之全體的集合叫做S，那么

（a）S將S自身作為元素所有，是吧？

乙：那不成體統(tǒng)，哪有那樣的事？

甲：好，那么（b）不把自己本身作為元素的集合之全體的集合又怎么樣呢？

以數(shù)學(xué)方式表達(dá)上述爭(zhēng)論中帶有底線的（a），（b），哪一項(xiàng)最好？（ ）

A.S∈S，{A|A∈A，A是集合}；

B.S∈S，{A|AA，A是集合}；

C.S∈S，{A|AA，A是集合}；

D.SS，{A|AA，A是集合}.

試題通過(guò)考查學(xué)生對(duì)集合主要符號(hào)和不同含義的思考和理解來(lái)檢驗(yàn)學(xué)生是否真正懂得了集合和元素之間的關(guān)系，涉及對(duì)集合本質(zhì)的認(rèn)識(shí)理解，帶有邏輯思維訓(xùn)練的因素，與例4有異曲同工之妙.本題選項(xiàng)C是比較準(zhǔn)確的選擇.

4.2 利用正確生成卻生成不下去的資源

利用生成性資源，包括正確生成卻生成不下去的資源的利用.比如：

例5 已知△ABC中∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別是a，b，c，acosA+bcosB=ccosC，試判斷△ABC的形狀.

把式子acosA+bcosB=ccosC化角或者化邊，是常見(jiàn)思路，學(xué)生也懂.一些學(xué)生把式子化成

a·b2+c2-a22bc+b·c2+a2-b22ca=c·a2+b2-c22ab后，以為太繁就做不下去了，其實(shí)兩邊同乘以2abc，可得

a2（b2+c2-a2）+b2（c2+a2-b2）=c2（a2+b2-c2），整理可得

2a2b2-a4-b4+c4=0，即c4-（a2-b2）2=0，即（c2+a2-b2）（c2-a2+b2）=0，即c2+a2=b2或c2+b2=a2，所以△ABC是∠B或∠A為直角的直角三角形.

同樣化角也會(huì)遇到一些困難，教師要幫助學(xué)生掃清障礙：

因?yàn)閍cosA+bcosB=ccosC，所以sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，所以sin2A+sin2B=sin2C=sin（2π-2A-2B）=-sin（2A+2B），

所以0=sin2A+sin2B+sin（2A+2B）

=sin2A+sin2B+sin2Acos2B+sin2Bcos2A

=sin2A（1+cos2B）+sin2B（1+cos2A）

=4sinAcosA（cosB）2+4sinBcosB（cosA）2

=4cosAcosBsin（A+B）.

因?yàn)閟in（A+B）=sin（π-C）=sinC>；0，所以cosA=0或cosB=0，所以A=π2或B=π2.所以△ABC是∠B或∠A為直角的直角三角形.

知識(shí)不夠，不可能生成，或者生成不下去，同樣，方法不對(duì)、能力不強(qiáng)，也會(huì)生成得不好.此時(shí)，教師的幫助就很重要.5 教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生敢于表達(dá)

有些學(xué)生生怕自己的生成不夠成熟，羞于表達(dá)，教師應(yīng)給學(xué)生足夠的心理安全空間，就是有錯(cuò)誤，有瑕疵，也要鼓勵(lì).比如：

例6 如圖，已知單位圓上有四點(diǎn)E1，0，Acosθ，sinθ，Bcos2θ，sin2θ，Ccos3θ，sin3θ，0<；θ≤π3，

分別設(shè)△OAC、△ABC的面積為S1和S2.

（1）用sinθ，cosθ表示S1和S2；

（2）求S1cosθ+S2sinθ的最大值及取最大值時(shí)θ的值.

教師解析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，知∠x(chóng)OA=θ，∠x(chóng)OB=2θ，∠x(chóng)OC=3θ，所以∠x(chóng)OA=∠AOB=∠BOC=θ，所S1=12·1·1·sin3θ-θ=12sin2θ=sinθcosθ.

又因?yàn)镾1+S2=四邊形OABC的面積=12·1·1·sinθ+12·1·1·sinθ=sinθ，所以S2=sinθ-12sin2θ=sinθ1-cosθ.

（2）由（1）知S1cosθ+S2sinθ=sinθcosθcosθ+sinθ1-cosθsinθ=sinθ-cosθ+1=2sinθ-π4+1.因?yàn)?<；θ≤π3，所以-π4<；θ-π4≤π12，所以-22<；sin（θ-π4）≤sinπ12=6-24，

所以S1cosθ+S2sinθ的最大值為3+12，此時(shí)θ的值為π3.

講到這里，一個(gè)學(xué)生提出：“老師，得到sinθ-cosθ+1，在0<；θ≤π3條件下，可以直接求出最值.”

老師鼓勵(lì)：“說(shuō)說(shuō)看.”

學(xué)生：“因?yàn)楫?dāng)0<；θ≤π3時(shí)，y=sinθ是增函數(shù)，cosθ是減函數(shù)，所以-cosθ是增函數(shù)，所以sinθ-cosθ+1是關(guān)于θ的增函數(shù)，θ=π3時(shí)可得到最大值.”

老師點(diǎn)頭表示贊許：“很好.多數(shù)情況下，都要把類似問(wèn)題化為一個(gè)角的三角函數(shù)，但針對(duì)本題的特殊情況，用此方法確實(shí)節(jié)省了時(shí)間.”

鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)，不僅該學(xué)生受益，其它學(xué)生也得到了啟發(fā)，也是一種生成.

總之，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)生成，是教師的一項(xiàng)重要任務(wù).幫助學(xué)生生成，教師要加強(qiáng)理論學(xué)習(xí)，要增強(qiáng)實(shí)踐性智慧，要能容納不同的聲音，要了解學(xué)情，要精心預(yù)設(shè)，等等.

作者簡(jiǎn)介 童其林，男，1963年生，福建永定人，中學(xué)高級(jí)教師，省級(jí)骨干教師，省級(jí)學(xué)科帶頭人，福建省特級(jí)教師，龍巖市杰出人民教師，曾有200余篇文章發(fā)表，主要從事教學(xué)管理研究與數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

所以引入這個(gè)例子的時(shí)候，最好能先證明：點(diǎn)O是平面上不在l上的任意一點(diǎn)，A，B，C在l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使λOA+（1-λ）OC=OB.

否則，要由這些條件得到a2+a2015=1，就增加了生成的難度.

我們不時(shí)看到，學(xué)生有聽(tīng)不明白的情況，往往就是沒(méi)有充分了解學(xué)生造成的.要了解學(xué)生，包括了解學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)、前概念、認(rèn)知方式以及學(xué)生的情感、態(tài)度、價(jià)值觀等.只有了解學(xué)情，教學(xué)才可能有的放矢.4 學(xué)生的生澀生成是教師幫助學(xué)生正確生成的重要通道

4.1 利用錯(cuò)誤資源

錯(cuò)誤不可怕，可怕的是不去改正錯(cuò)誤.利用錯(cuò)誤資源，一方面是修正錯(cuò)誤，另一方面是從錯(cuò)誤中得到啟發(fā)，生成正確的東西.

例4 設(shè)M={a，b，c}，N={xxM}，則M與N的關(guān)系是（ ）.

A.M∈N B.N∈M C.MN D.NM

這是一道很容易出錯(cuò)的題，學(xué)生容易從M，N為集合這個(gè)表面現(xiàn)象選C或D.

事實(shí)上，因?yàn)镹={xxM}，所以N={φ，{a}，，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}}，此時(shí)M，N不是集合與集合的關(guān)系，而是元素與集合的關(guān)系，故選A.

無(wú)獨(dú)有偶，我們來(lái)看看一道由韓國(guó)高考數(shù)學(xué)題改編的問(wèn)題：

題目 下面是學(xué)生甲和學(xué)生乙爭(zhēng)論集合的部分內(nèi)容：

甲：我們能夠想象到的集合之全體的集合叫做S，那么

（a）S將S自身作為元素所有，是吧？

乙：那不成體統(tǒng)，哪有那樣的事？

甲：好，那么（b）不把自己本身作為元素的集合之全體的集合又怎么樣呢？

以數(shù)學(xué)方式表達(dá)上述爭(zhēng)論中帶有底線的（a），（b），哪一項(xiàng)最好？（ ）

A.S∈S，{A|A∈A，A是集合}；

B.S∈S，{A|AA，A是集合}；

C.S∈S，{A|AA，A是集合}；

D.SS，{A|AA，A是集合}.

試題通過(guò)考查學(xué)生對(duì)集合主要符號(hào)和不同含義的思考和理解來(lái)檢驗(yàn)學(xué)生是否真正懂得了集合和元素之間的關(guān)系，涉及對(duì)集合本質(zhì)的認(rèn)識(shí)理解，帶有邏輯思維訓(xùn)練的因素，與例4有異曲同工之妙.本題選項(xiàng)C是比較準(zhǔn)確的選擇.

4.2 利用正確生成卻生成不下去的資源

利用生成性資源，包括正確生成卻生成不下去的資源的利用.比如：

例5 已知△ABC中∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別是a，b，c，acosA+bcosB=ccosC，試判斷△ABC的形狀.

把式子acosA+bcosB=ccosC化角或者化邊，是常見(jiàn)思路，學(xué)生也懂.一些學(xué)生把式子化成

a·b2+c2-a22bc+b·c2+a2-b22ca=c·a2+b2-c22ab后，以為太繁就做不下去了，其實(shí)兩邊同乘以2abc，可得

a2（b2+c2-a2）+b2（c2+a2-b2）=c2（a2+b2-c2），整理可得

2a2b2-a4-b4+c4=0，即c4-（a2-b2）2=0，即（c2+a2-b2）（c2-a2+b2）=0，即c2+a2=b2或c2+b2=a2，所以△ABC是∠B或∠A為直角的直角三角形.

同樣化角也會(huì)遇到一些困難，教師要幫助學(xué)生掃清障礙：

因?yàn)閍cosA+bcosB=ccosC，所以sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，所以sin2A+sin2B=sin2C=sin（2π-2A-2B）=-sin（2A+2B），

所以0=sin2A+sin2B+sin（2A+2B）

=sin2A+sin2B+sin2Acos2B+sin2Bcos2A

=sin2A（1+cos2B）+sin2B（1+cos2A）

=4sinAcosA（cosB）2+4sinBcosB（cosA）2

=4cosAcosBsin（A+B）.

因?yàn)閟in（A+B）=sin（π-C）=sinC>；0，所以cosA=0或cosB=0，所以A=π2或B=π2.所以△ABC是∠B或∠A為直角的直角三角形.

知識(shí)不夠，不可能生成，或者生成不下去，同樣，方法不對(duì)、能力不強(qiáng)，也會(huì)生成得不好.此時(shí)，教師的幫助就很重要.5 教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生敢于表達(dá)

有些學(xué)生生怕自己的生成不夠成熟，羞于表達(dá)，教師應(yīng)給學(xué)生足夠的心理安全空間，就是有錯(cuò)誤，有瑕疵，也要鼓勵(lì).比如：

例6 如圖，已知單位圓上有四點(diǎn)E1，0，Acosθ，sinθ，Bcos2θ，sin2θ，Ccos3θ，sin3θ，0<；θ≤π3，

分別設(shè)△OAC、△ABC的面積為S1和S2.

（1）用sinθ，cosθ表示S1和S2；

（2）求S1cosθ+S2sinθ的最大值及取最大值時(shí)θ的值.

教師解析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，知∠x(chóng)OA=θ，∠x(chóng)OB=2θ，∠x(chóng)OC=3θ，所以∠x(chóng)OA=∠AOB=∠BOC=θ，所S1=12·1·1·sin3θ-θ=12sin2θ=sinθcosθ.

又因?yàn)镾1+S2=四邊形OABC的面積=12·1·1·sinθ+12·1·1·sinθ=sinθ，所以S2=sinθ-12sin2θ=sinθ1-cosθ.

（2）由（1）知S1cosθ+S2sinθ=sinθcosθcosθ+sinθ1-cosθsinθ=sinθ-cosθ+1=2sinθ-π4+1.因?yàn)?<；θ≤π3，所以-π4<；θ-π4≤π12，所以-22<；sin（θ-π4）≤sinπ12=6-24，

所以S1cosθ+S2sinθ的最大值為3+12，此時(shí)θ的值為π3.

講到這里，一個(gè)學(xué)生提出：“老師，得到sinθ-cosθ+1，在0<；θ≤π3條件下，可以直接求出最值.”

老師鼓勵(lì)：“說(shuō)說(shuō)看.”

學(xué)生：“因?yàn)楫?dāng)0<；θ≤π3時(shí)，y=sinθ是增函數(shù)，cosθ是減函數(shù)，所以-cosθ是增函數(shù)，所以sinθ-cosθ+1是關(guān)于θ的增函數(shù)，θ=π3時(shí)可得到最大值.”

老師點(diǎn)頭表示贊許：“很好.多數(shù)情況下，都要把類似問(wèn)題化為一個(gè)角的三角函數(shù)，但針對(duì)本題的特殊情況，用此方法確實(shí)節(jié)省了時(shí)間.”

鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)，不僅該學(xué)生受益，其它學(xué)生也得到了啟發(fā)，也是一種生成.

總之，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)生成，是教師的一項(xiàng)重要任務(wù).幫助學(xué)生生成，教師要加強(qiáng)理論學(xué)習(xí)，要增強(qiáng)實(shí)踐性智慧，要能容納不同的聲音，要了解學(xué)情，要精心預(yù)設(shè)，等等.

作者簡(jiǎn)介 童其林，男，1963年生，福建永定人，中學(xué)高級(jí)教師，省級(jí)骨干教師，省級(jí)學(xué)科帶頭人，福建省特級(jí)教師，龍巖市杰出人民教師，曾有200余篇文章發(fā)表，主要從事教學(xué)管理研究與數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

所以引入這個(gè)例子的時(shí)候，最好能先證明：點(diǎn)O是平面上不在l上的任意一點(diǎn)，A，B，C在l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使λOA+（1-λ）OC=OB.

否則，要由這些條件得到a2+a2015=1，就增加了生成的難度.

我們不時(shí)看到，學(xué)生有聽(tīng)不明白的情況，往往就是沒(méi)有充分了解學(xué)生造成的.要了解學(xué)生，包括了解學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)、前概念、認(rèn)知方式以及學(xué)生的情感、態(tài)度、價(jià)值觀等.只有了解學(xué)情，教學(xué)才可能有的放矢.4 學(xué)生的生澀生成是教師幫助學(xué)生正確生成的重要通道

4.1 利用錯(cuò)誤資源

錯(cuò)誤不可怕，可怕的是不去改正錯(cuò)誤.利用錯(cuò)誤資源，一方面是修正錯(cuò)誤，另一方面是從錯(cuò)誤中得到啟發(fā)，生成正確的東西.

例4 設(shè)M={a，b，c}，N={xxM}，則M與N的關(guān)系是（ ）.

A.M∈N B.N∈M C.MN D.NM

這是一道很容易出錯(cuò)的題，學(xué)生容易從M，N為集合這個(gè)表面現(xiàn)象選C或D.

事實(shí)上，因?yàn)镹={xxM}，所以N={φ，{a}，，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}}，此時(shí)M，N不是集合與集合的關(guān)系，而是元素與集合的關(guān)系，故選A.

無(wú)獨(dú)有偶，我們來(lái)看看一道由韓國(guó)高考數(shù)學(xué)題改編的問(wèn)題：

題目 下面是學(xué)生甲和學(xué)生乙爭(zhēng)論集合的部分內(nèi)容：

甲：我們能夠想象到的集合之全體的集合叫做S，那么

（a）S將S自身作為元素所有，是吧？

乙：那不成體統(tǒng)，哪有那樣的事？

甲：好，那么（b）不把自己本身作為元素的集合之全體的集合又怎么樣呢？

以數(shù)學(xué)方式表達(dá)上述爭(zhēng)論中帶有底線的（a），（b），哪一項(xiàng)最好？（ ）

A.S∈S，{A|A∈A，A是集合}；

B.S∈S，{A|AA，A是集合}；

C.S∈S，{A|AA，A是集合}；

D.SS，{A|AA，A是集合}.

試題通過(guò)考查學(xué)生對(duì)集合主要符號(hào)和不同含義的思考和理解來(lái)檢驗(yàn)學(xué)生是否真正懂得了集合和元素之間的關(guān)系，涉及對(duì)集合本質(zhì)的認(rèn)識(shí)理解，帶有邏輯思維訓(xùn)練的因素，與例4有異曲同工之妙.本題選項(xiàng)C是比較準(zhǔn)確的選擇.

4.2 利用正確生成卻生成不下去的資源

利用生成性資源，包括正確生成卻生成不下去的資源的利用.比如：

例5 已知△ABC中∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別是a，b，c，acosA+bcosB=ccosC，試判斷△ABC的形狀.

把式子acosA+bcosB=ccosC化角或者化邊，是常見(jiàn)思路，學(xué)生也懂.一些學(xué)生把式子化成

a·b2+c2-a22bc+b·c2+a2-b22ca=c·a2+b2-c22ab后，以為太繁就做不下去了，其實(shí)兩邊同乘以2abc，可得

a2（b2+c2-a2）+b2（c2+a2-b2）=c2（a2+b2-c2），整理可得

2a2b2-a4-b4+c4=0，即c4-（a2-b2）2=0，即（c2+a2-b2）（c2-a2+b2）=0，即c2+a2=b2或c2+b2=a2，所以△ABC是∠B或∠A為直角的直角三角形.

同樣化角也會(huì)遇到一些困難，教師要幫助學(xué)生掃清障礙：

因?yàn)閍cosA+bcosB=ccosC，所以sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，所以sin2A+sin2B=sin2C=sin（2π-2A-2B）=-sin（2A+2B），

所以0=sin2A+sin2B+sin（2A+2B）

=sin2A+sin2B+sin2Acos2B+sin2Bcos2A

=sin2A（1+cos2B）+sin2B（1+cos2A）

=4sinAcosA（cosB）2+4sinBcosB（cosA）2

=4cosAcosBsin（A+B）.

因?yàn)閟in（A+B）=sin（π-C）=sinC>；0，所以cosA=0或cosB=0，所以A=π2或B=π2.所以△ABC是∠B或∠A為直角的直角三角形.

知識(shí)不夠，不可能生成，或者生成不下去，同樣，方法不對(duì)、能力不強(qiáng)，也會(huì)生成得不好.此時(shí)，教師的幫助就很重要.5 教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生敢于表達(dá)

有些學(xué)生生怕自己的生成不夠成熟，羞于表達(dá)，教師應(yīng)給學(xué)生足夠的心理安全空間，就是有錯(cuò)誤，有瑕疵，也要鼓勵(lì).比如：

例6 如圖，已知單位圓上有四點(diǎn)E1，0，Acosθ，sinθ，Bcos2θ，sin2θ，Ccos3θ，sin3θ，0<；θ≤π3，

分別設(shè)△OAC、△ABC的面積為S1和S2.

（1）用sinθ，cosθ表示S1和S2；

（2）求S1cosθ+S2sinθ的最大值及取最大值時(shí)θ的值.

教師解析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，知∠x(chóng)OA=θ，∠x(chóng)OB=2θ，∠x(chóng)OC=3θ，所以∠x(chóng)OA=∠AOB=∠BOC=θ，所S1=12·1·1·sin3θ-θ=12sin2θ=sinθcosθ.

又因?yàn)镾1+S2=四邊形OABC的面積=12·1·1·sinθ+12·1·1·sinθ=sinθ，所以S2=sinθ-12sin2θ=sinθ1-cosθ.

（2）由（1）知S1cosθ+S2sinθ=sinθcosθcosθ+sinθ1-cosθsinθ=sinθ-cosθ+1=2sinθ-π4+1.因?yàn)?<；θ≤π3，所以-π4<；θ-π4≤π12，所以-22<；sin（θ-π4）≤sinπ12=6-24，

所以S1cosθ+S2sinθ的最大值為3+12，此時(shí)θ的值為π3.

講到這里，一個(gè)學(xué)生提出：“老師，得到sinθ-cosθ+1，在0<；θ≤π3條件下，可以直接求出最值.”

老師鼓勵(lì)：“說(shuō)說(shuō)看.”

學(xué)生：“因?yàn)楫?dāng)0<；θ≤π3時(shí)，y=sinθ是增函數(shù)，cosθ是減函數(shù)，所以-cosθ是增函數(shù)，所以sinθ-cosθ+1是關(guān)于θ的增函數(shù)，θ=π3時(shí)可得到最大值.”

老師點(diǎn)頭表示贊許：“很好.多數(shù)情況下，都要把類似問(wèn)題化為一個(gè)角的三角函數(shù)，但針對(duì)本題的特殊情況，用此方法確實(shí)節(jié)省了時(shí)間.”

鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)，不僅該學(xué)生受益，其它學(xué)生也得到了啟發(fā)，也是一種生成.

總之，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)生成，是教師的一項(xiàng)重要任務(wù).幫助學(xué)生生成，教師要加強(qiáng)理論學(xué)習(xí)，要增強(qiáng)實(shí)踐性智慧，要能容納不同的聲音，要了解學(xué)情，要精心預(yù)設(shè)，等等.

作者簡(jiǎn)介 童其林，男，1963年生，福建永定人，中學(xué)高級(jí)教師，省級(jí)骨干教師，省級(jí)學(xué)科帶頭人，福建省特級(jí)教師，龍巖市杰出人民教師，曾有200余篇文章發(fā)表，主要從事教學(xué)管理研究與數(shù)學(xué)教學(xué)研究.