基于改進(jìn)圓球覆蓋算法的階梯狀偽影去除方法

陳 中，段黎明，吳志芳

（1.重慶大學(xué) 光電技術(shù)及系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室ICT 研究中心，重慶 400030；2.重慶大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，重慶 400030；3.機(jī)械工業(yè)第三設(shè)計(jì)研究院，重慶 400039）

0 引言

在逆向工程領(lǐng)域，工業(yè)CT（Industrial Computed Tomography，ICT）技術(shù)是一種先進(jìn)的非接觸測(cè)量方法，通過(guò)該方法可以得到工件的外表面和復(fù)雜內(nèi)腔的測(cè)量數(shù)據(jù)。由于受工業(yè)CT 掃描成本和掃描工藝的限制，工件的掃描間距較大，導(dǎo)致斷層切片圖像的層間距離遠(yuǎn)大于切片圖像的平面分辨率，使用這些CT 斷層序列圖像重建工件的三維表面網(wǎng)格模型時(shí)，會(huì)產(chǎn)生明顯的階梯狀偽影，影響了后續(xù)的特征提取及三維實(shí)體模型的逆向重構(gòu)［1-2］。

目前，消除階梯狀偽影的主要途徑是使用光順?biāo)惴▽?duì)重建的網(wǎng)格模型進(jìn)行表面平滑處理。然而，光順?biāo)惴ㄒ话銜?huì)產(chǎn)生過(guò)光順現(xiàn)象，例如拉普拉斯［3］（Laplacian）光順?biāo)惴ú荒鼙３帜Ｐ偷木?，也不能有效去除階梯狀偽影。保特征的光順?biāo)惴ǎ?-6］在去除表面模型噪聲的同時(shí)能有效保持模型特征，但是該算法會(huì)將階梯狀偽影作為模型特征加以保留。文獻(xiàn)［7］針對(duì)醫(yī)學(xué)表面模型提出一種基于微分域的自適應(yīng)光順?lè)椒?，該方法可以去除噪聲和表面?zhèn)斡?，但是效果不明顯。以上光順?biāo)惴ǘ际窃诰W(wǎng)格模型生成后對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)格平滑處理，而且都不能有效去除階梯狀偽影。近些年，隱式曲面重構(gòu)光順網(wǎng)格模型方法的應(yīng)用日益廣泛，這種方法通過(guò)局部擬合的方式消除一部分表面網(wǎng)格偽影。文獻(xiàn)［8］采用正交多項(xiàng)式作為擬合函數(shù)，對(duì)多層次單元分解（Multi-level Partition of Unity，MPU）方法進(jìn)行改進(jìn)，直接從點(diǎn)云數(shù)據(jù)中重構(gòu)出光順的三維網(wǎng)格模型，但是該方法不能生成封閉的高質(zhì)量網(wǎng)格模型。文獻(xiàn)［9］提出一種點(diǎn)云網(wǎng)格化的集成方法，集成了網(wǎng)格重建和孔洞修補(bǔ)等功能，該方法主要通過(guò)構(gòu)造二次誤差函數(shù)來(lái)擬合點(diǎn)云，從點(diǎn)云直接重建成封閉的高質(zhì)量網(wǎng)格模型，但是該方法對(duì)夾雜在點(diǎn)云中的噪聲比較敏感。如果點(diǎn)云中夾雜的噪聲較多，則會(huì)生成低質(zhì)量網(wǎng)格模型，甚至導(dǎo)致網(wǎng)格重建失敗。文獻(xiàn)［10］對(duì)文獻(xiàn)［9］中的相關(guān)方法進(jìn)行了改進(jìn)，在結(jié)構(gòu)噪聲較少的情況下，通過(guò)自適應(yīng)采樣處理分布非常不均勻的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，使得點(diǎn)云法向量方向一致化，從而正確重構(gòu)曲面。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文根據(jù)工業(yè)CT 逆向數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，提出一種新的去除表面階梯狀偽影的方法，從工業(yè)CT 點(diǎn)云數(shù)據(jù)中直接重建光順的網(wǎng)格模型。首先采用高斯加權(quán)的協(xié)方差矩陣估算出工業(yè)CT 點(diǎn)云的法矢量，然后使用雙邊濾波去除點(diǎn)云中的噪聲，最后通過(guò)二次誤差函數(shù)擬合點(diǎn)云，使用自適應(yīng)圓球覆蓋方法對(duì)點(diǎn)云進(jìn)行網(wǎng)格化處理。通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證表明，本方法可以從工業(yè)CT 點(diǎn)云模型直接生成光順的封閉網(wǎng)格模型，而且在生成高質(zhì)量網(wǎng)格模型的同時(shí)有效去除了階梯狀偽影，避免了后期的網(wǎng)格優(yōu)化處理。

1 點(diǎn)云法矢量估算

點(diǎn)云去噪和網(wǎng)格重建需要估算點(diǎn)云的法矢量。目前對(duì)點(diǎn)云法矢量估算的方法較多［11-14］，主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）法［15］是其中比較經(jīng)典的方法，但是傳統(tǒng)PCA 法的魯棒性較差，當(dāng)點(diǎn)云含有較多噪聲時(shí)，會(huì)使法矢量產(chǎn)生偏差，不能正確估算點(diǎn)云法矢量，甚至導(dǎo)致曲面重建失敗。產(chǎn)生上述問(wèn)題的主要原因是在擬合最小二乘平面時(shí)，噪聲點(diǎn)與采樣點(diǎn)使用了相同的權(quán)值。CT 圖像的噪聲一般近似為符合高斯分布的加性噪聲［16-17］。在CT 序列圖像轉(zhuǎn)化為三維點(diǎn)云的過(guò)程中，序列圖像含有的高斯噪聲也轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的噪聲點(diǎn)存在于點(diǎn)云中，點(diǎn)云局部呈現(xiàn)高斯分布。本文采用高斯加權(quán)的協(xié)方差矩陣估算點(diǎn)云法矢量，可以根據(jù)點(diǎn)云中的局部不同點(diǎn)對(duì)整體影響程度的不同賦予相應(yīng)的權(quán)值，另外高斯函數(shù)對(duì)去除服從正態(tài)分布的噪聲有很好的效果，因此權(quán)重函數(shù)選擇高斯函數(shù)，從而有效降低高斯噪聲的干擾，比較準(zhǔn)確地估算出點(diǎn)云法矢量。

為了準(zhǔn)確重建掃描工件的三維表面網(wǎng)格模型，首先建立工業(yè)CT 點(diǎn)云的k-鄰域，用pj表示為k-鄰域中的點(diǎn)表示為k-鄰域的質(zhì)心。本文采用kd-tree作為鄰近點(diǎn)查詢的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，選用k-鄰域查詢方式處理非規(guī)則模型，其自適應(yīng)性較強(qiáng)。k 值反映模型的局部性質(zhì)，考慮到工業(yè)CT 點(diǎn)云分布的情況和查詢效率，本文選擇k=10。

對(duì)以下高斯加權(quán)的協(xié)方差矩陣C 作特征值分解：

式中：ψj為高斯函數(shù)，μ為點(diǎn)pi到其k-鄰域中所有點(diǎn)的平均距離，dj為點(diǎn)pi到其k-鄰域中任一點(diǎn)pj的距離。求解出的三個(gè)特征值記為λ3≥λ2≥λ1，該協(xié)方差矩陣的最小特征值λ1對(duì)應(yīng)的單位特征向量可以作為點(diǎn)pi的單位法矢量ni。

2 點(diǎn)云去噪

常用去噪技術(shù)是通過(guò)濾波來(lái)實(shí)現(xiàn)的［18］，對(duì)含有噪聲的點(diǎn)云進(jìn)行濾波處理，可以有效降低點(diǎn)云的隨機(jī)誤差，提高網(wǎng)格模型重建的精度。雙邊濾波方法最早被用于圖像的濾波去噪處理，F(xiàn)leishman［4］和Jones［5］等將雙邊濾波法推廣到三維網(wǎng)格模型的光順操作，該方法可以有效去除網(wǎng)格模型的噪聲并保持模型的特征。雙邊濾波法只與濾波點(diǎn)的鄰域有關(guān)，也適用于點(diǎn)云模型的濾波去噪。通過(guò)雙邊濾波函數(shù)計(jì)算出點(diǎn)的移動(dòng)量d，結(jié)合點(diǎn)pi的單位法矢量ni，可以得到濾波后的點(diǎn)。本文通過(guò)雙邊濾波方法進(jìn)行多次迭代能夠有效去除工業(yè)CT 點(diǎn)云數(shù)據(jù)中大量的噪聲。

式中：k 為距離點(diǎn)pi最近的鄰域點(diǎn)數(shù)，Wc（x）為空間權(quán)函數(shù)，Ws（x）為特征保持權(quán)函數(shù)，σc為切平面的高斯濾波系數(shù)，σs為法向的高斯濾波系數(shù)。

3 點(diǎn)云網(wǎng)格化

對(duì)于切片間距過(guò)大引起的階梯狀偽影表面，可以根據(jù)表面階梯情況選擇合適的參數(shù)，通過(guò)自適應(yīng)圓球?qū)⑺袑娱g階梯進(jìn)行覆蓋，使用局部擬合的方式逼近光順的表面。工業(yè)CT 點(diǎn)云數(shù)據(jù)是均勻有序分布的［19］，沒(méi)有非常不均勻的點(diǎn)數(shù)據(jù)，不會(huì)出現(xiàn)覆蓋球體集完全分離的情況［20］。對(duì)工業(yè)CT 點(diǎn)云去噪后，得到新的點(diǎn)云是濾波后點(diǎn)的k-鄰域中的任一點(diǎn)。

定義二次誤差函數(shù)

式中：c為圓球的球心｛c1，…，cm｝∈P′，r為圓球的半徑｛r1，…，rm｝，x為輔助點(diǎn)，wi為點(diǎn)云的權(quán)值，Gσ（ρ）為類高斯函數(shù)，Tq為用戶控制圓球的參數(shù)。

求解二次誤差函數(shù)的最小值，可以轉(zhuǎn)換為求解xmin。

式中：E（r）為誤差函數(shù)，L 為點(diǎn)云P′的包圍盒主對(duì)角線長(zhǎng)度。

通過(guò)用戶自定義的精度Terr可以計(jì)算出xmin。根據(jù)‖x-c‖≤r判斷，如果xmin在圓球內(nèi)部，則將xmin作為輔助點(diǎn)，如果xmin在圓球外部，則球心c為輔助點(diǎn)，最后將m 個(gè)相交圓球的輔助點(diǎn)連接起來(lái)得到三角網(wǎng)格模型。本方法總體流程示意圖如圖1所示，算法流程如下：

步驟1 輸入工業(yè)CT 點(diǎn)云數(shù)據(jù)，用戶設(shè)定相關(guān)參數(shù)。

步驟3 點(diǎn)云P 中任意一點(diǎn)pi經(jīng)過(guò)雙邊濾波后變?yōu)閜i′，形成新的點(diǎn)云。

步驟4 通過(guò)用戶自定義的精度，使用二次誤差函數(shù)擬合去噪后的點(diǎn)云，根據(jù)‖x-c‖≤r判斷，將m 個(gè)相交圓球的輔助點(diǎn)相互連接得到三角網(wǎng)格模型。

4 應(yīng)用實(shí)例

本文在VC++6.0的環(huán)境下實(shí)現(xiàn)了上述算法，在Intel（R）Core（TM）i3CPU 2.53GHz，2GB內(nèi)存的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。本文算法的時(shí)間復(fù)雜度為O（nlog n），空間復(fù)雜度為O（n），n為輸入點(diǎn)云的點(diǎn)數(shù)。以汽車(chē)輪轂和茶壺的CT 數(shù)據(jù)重建網(wǎng)格模型為例，介紹使用自適應(yīng)表面網(wǎng)格重建法去除階梯狀偽影的整個(gè)過(guò)程。輪轂通過(guò)工業(yè)CT 掃描獲得67張斷層序列圖像，如圖2a所示。輪轂CT 數(shù)據(jù)的體素大小為0.315mm×0.315mm×3mm，即切片平面xy 像素大小為0.315 mm×0.315 mm，切片層間距z 為3mm。茶壺層間距為3mm，共有59張斷層序列圖像，如圖2b所示。目前針對(duì)CT 數(shù)據(jù)的可視化主要是將切片序列圖像直接生成三維模型，一般使用體繪制和面繪制方法。體繪制方法可以比較真實(shí)地反映工件的內(nèi)外結(jié)構(gòu)，面繪制方法可以重建工件的三維表面網(wǎng)格模型。圖3所示為輪轂?zāi)Ｐ秃筒鑹啬Ｐ偷捏w繪制效果圖，圖4所示為輪轂?zāi)Ｐ秃筒鑹啬Ｐ偷拿胬L制效果圖。從圖3和圖4中可以看出，輪轂曲面和茶壺曲面呈階梯狀，但是真實(shí)輪轂和茶壺的曲面是光滑的，這是因?yàn)閽呙栝g距過(guò)大而在重建時(shí)產(chǎn)生表面?zhèn)斡啊?/p>

本文首先將工業(yè)CT 的序列圖像轉(zhuǎn)化為三維點(diǎn)云并估算出點(diǎn)云的法矢量，然后通過(guò)雙邊濾波去除點(diǎn)云噪聲，接著使用自適應(yīng)圓球覆蓋方法對(duì)點(diǎn)云進(jìn)行網(wǎng)格化處理。自適應(yīng)調(diào)整圓球的大小，曲率變化較大的表面區(qū)域圓球半徑較小，曲率變化較小的區(qū)域圓球半徑較大，相交圓球的輔助點(diǎn)相互連接最終形成三角網(wǎng)格模型。

為驗(yàn)證本文方法去除階梯狀表面?zhèn)斡暗男Ч?，與常用的去除階梯狀偽影的方法——拉普拉斯方法和Fleishman網(wǎng)格光順?biāo)惴ㄟM(jìn)行對(duì)比，待光順的模型是由工業(yè)CT 序列圖像通過(guò)面繪制MC（marching cubes）算法生成的網(wǎng)格模型。不同方法的對(duì)比實(shí)驗(yàn)都是以去除階梯狀偽影為準(zhǔn)則，偽影去除為上述方法處理的最佳結(jié)果。使用拉普拉斯光順?lè)椒▽?duì)輪轂網(wǎng)格模型經(jīng)過(guò)15次迭代后能去除部分階梯狀偽影，23次迭代后能去除所有階梯狀偽影，但是模型變形非常嚴(yán)重。依次使用15～23之間的次數(shù)進(jìn)行迭代實(shí)驗(yàn)，在不破壞原有模型結(jié)構(gòu)的情況下，迭代19次時(shí)能取得最佳的去偽影效果；茶壺模型迭代21次時(shí)能取得最佳效果。Fleishman方法具有很好的特征保持性，會(huì)將階梯狀作為模型特征保留下來(lái)，該方法經(jīng)過(guò)2 次迭代，就能夠獲得最佳的去偽影效果。本文算法參數(shù)取值經(jīng)過(guò)驗(yàn)證取值為：去噪迭代次數(shù)n=3，σc=3，σs=2，Terr=1.0×10-5，Tq=2。圖5所示為不同方法處理輪轂?zāi)Ｐ秃蟮男Ч麍D，圖6所示為圓球覆蓋算法改進(jìn)前后輪轂?zāi)Ｐ偷膶?duì)比效果圖，圖7所示為不同方法處理茶壺模型后的效果圖，圖8所示為圓球覆蓋算法改進(jìn)前后茶壺模型的對(duì)比效果圖。從圖5和圖7可以看出，拉普拉斯光順?lè)椒m然經(jīng)過(guò)多次迭代去除了表面階梯狀偽影，但是產(chǎn)生了較為嚴(yán)重的過(guò)光順現(xiàn)象，輪轂?zāi)Ｐ妥冃屋^大且螺孔邊緣位置收縮明顯，茶壺蓋頂部的把手變形嚴(yán)重。Fleishman 方法有較好的特征保持性，輪轂螺孔邊緣沒(méi)有明顯變化，茶壺蓋頂部的把手也沒(méi)有明顯變形，但是階梯狀偽影被作為特征保留下來(lái)。本文方法有效去除了輪轂和茶壺表面的階梯狀偽影，輪轂的螺孔邊緣保持較好，茶壺蓋頂部的把手沒(méi)有產(chǎn)生嚴(yán)重變形，但由于受圓球半徑選取大小等情況的影響，輪轂邊緣有些粗糙。

文獻(xiàn)［9］是一種集成的方法。本文方法針對(duì)工業(yè)CT 點(diǎn)云數(shù)據(jù)的特點(diǎn)改進(jìn)了點(diǎn)云法矢量估算方法，并且將雙邊濾波集成到該方法中，為了直觀顯示改進(jìn)后的效果，與文獻(xiàn)［9］的方法進(jìn)行了詳細(xì)對(duì)比。文獻(xiàn)［9］方法的參數(shù)設(shè)置為k=10，Terr=1.0×10-5，Tq=2。圖6a～圖6c以及圖8a～圖8c為文獻(xiàn)［9］方法的處理結(jié)果，圖6d～圖6f以及圖8d～圖8f為本文方法的處理結(jié)果。雖然兩種方法設(shè)置的參數(shù)k，Terr和Tq相同，輸入的點(diǎn)云相同，但是由于受噪聲影響，文獻(xiàn)［9］方法的圓球覆蓋數(shù)量較多，最終重建的網(wǎng)格模型表面比較粗糙，網(wǎng)格數(shù)量較多，具體對(duì)比數(shù)據(jù)如表1所示。表2所示為四種方法處理后的網(wǎng)格模型與離散化的原始計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（Computer Aided Design，CAD）模型的誤差比較，從表2可以看出，采用本文方法重建的模型誤差較小。

表1 算法改進(jìn)前后的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

續(xù)表1

表2 各種方法的誤差比較 mm

5 結(jié)束語(yǔ)

本文實(shí)現(xiàn)了一種去除階梯狀偽影的網(wǎng)格重建方法。該方法通過(guò)高斯加權(quán)的協(xié)方差矩陣估算出工業(yè)CT 點(diǎn)云的法矢量，引入雙邊濾波去除點(diǎn)云噪聲，使用二次誤差函數(shù)擬合點(diǎn)云，自適應(yīng)圓球覆蓋對(duì)點(diǎn)云進(jìn)行網(wǎng)格化處理，最終形成三角網(wǎng)格模型。將該方法應(yīng)用于工程實(shí)際，實(shí)例表明，本文方法在生成高質(zhì)量三角網(wǎng)格模型的同時(shí)能有效去除階梯狀偽影，并且網(wǎng)格模型精度保持較好。本文方法受圓球半徑選取大小等情況的影響，重建的模型邊緣有些粗糙，擬集成一種邊緣特征增強(qiáng)方法進(jìn)行改進(jìn)，這是下一步的研究方向。

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